Cuadrados mágicos - Vicente Trigo

AUTORES CIENTÍFICO-TÉCNICOS Y ACADÉMICOS 

Cuadrados mágicos 

Vicente Trigo Aranda 

www.vicentetrigo.com 

Desde la antigüedad los pasatiempos numéricos han ocupado un 

lugar destacado en las Matemáticas, no sólo por su aspecto lúdico 

sino también porque algunos de ellos han dado lugar al nacimiento 

de nuevas ramas de esta ciencia: “La teoría de ecuaciones, la probabilidad, 

el cálculo, la teoría de conjuntos, la topología, etc., son 

frutos que se han desarrollado de semillas sembradas en el fértil suelo 

de la imaginación creadora, pues todas ellas han nacido de problemas 

planteados, en un principio, en forma de rompecabezas” (Matemáticas 

e imaginación, Kasner y Newman). 

La primera recopilación de rompecabezas 

y pasatiempos apareció 

en 1612, cuando se publicó Problèmes 

plaisants et delectables qui se 

font par les nombres (Los problemas 

placenteros y deleitosos que se 

hacen con números), del francés 

Claude-Gaspard Bachet (9-X-1581, 

26-II-1638), que todavía sigue editándose, 

como se aprecia en la figura 

1. Curiosamente, cuando se cita 

a este autor en la historia de las 

Matemáticas suele ser por otra de 

sus obras, su traducción de la Arithmetica 

de Diofanto (1621), ya que 

en un comentario a este libro Fermat 

escribió su famosa nota marginal, 

conocida como “El último teorema 

de Fermat”, cuya demostración 

resistió el ataque de todos los matemáticos 

hasta 1993, en que Andrew 

Wiles por fin lo consiguió. Figura 1. Portada de una edición de 1993 

89

ACTA 


90 

Continuando con las 

obras dedicadas a pasatiempos 

y rompecabezas, 

con el paso de los años 

fueron surgiendo otras 

varias, entre las que destaca 

con luz propia 

Figura 2. Las torres de Hanoi 

Récréations mathématiques 

(Recreaciones matemáticas), 

del también 

francés Edouard Lucas 

(4-IV-1842, 3-X-1891), 

que fue publicada en 

cuatro tomos entre 1881 

y 1894. En uno de ellos 

aparecía el famoso problema 

de las torres de 

Hanoi, que vemos en la 

figura 2. 

A lo largo de siglos 

fueron muchos los matemáticos 

célebres que disfrutaron 

analizando determinados 

problemas de 

matemáticas recreativas, 

como Fermat, Euler, Mersenne, 

Leibnitz, Lagrange, 

Hamilton, Caley, etc.; sin olvidarnos del norteamericano 

Martin Gardner, que es, sin duda, la figura 

más destacada en este terreno durante el segundo 

tercio del siglo XX. 

Claro que todo lo relativo a pasatiempos matemáticos 

hay que tomarlo con cierta mesura, porque si 

bien es cierto que han sido la semilla de muchos 

avances y son un buen complemento introductorio a 

determinadas ramas del saber matemático, tampoco 

son la panacea universal en la enseñanza de esta 

siempre difícil disciplina científica. 

De hecho, contra los peligros de los acertijos, tan 

populares en el siglo XIX, ya advertía irónicamente 

Flaubert en el célebre problema que envió a su hermana 

Caroline en 1843: 

“Puisque vous étudiez la géométrie et la 

trigonométrie, je vais vous soumettre un problème: 

Un bateau vogue sur l’Océan. Il a quitté 

Boston avec un chargement de laine. Il 

jauge 200 tonneaux. Il se dirige vers le Havre. 

Le grand mat est cassé, le garçon de cabine 

est sur le pont, il y a douze passagers àbord. 

Le vent souffle ENE, l’horloge marque 3 h; on 

est au mois de mai. Quel est l’âge du capitaine?” 

1 

Y como el abanico de los pasatiempos matemáticos 

es amplísimo, en este artículo vamos a centrarnos 

en un caso muy concreto: los cuadrados mágicos. Eso 

sí, para hacer este artículo más comprensible y 

ameno, nos olvidaremos de las propiedades matemáticas 

de estos objetos y nos quedaremos únicamente 

con los temas históricos y lúdicos, sin olvidar los esotéricos. 

¿Y qué relación hay entre la magia y los pasatiempos 

matemáticos? Ninguna, desde el punto de vista 

científico actual, como es evidente; sin embargo, es 

innegable que ha existido una cierta conexión entre 

ambas cuestiones a lo largo de la historia y siempre es 

interesante conocer el presunto “poder de los números”; 

así que, antes de pasar a analizar los cuadrados 

mágicos, vamos a hacer una breve referencia a la 

popular cábala de nuestro Medievo, que tanta importancia 

tuvo. 

àLa cábala como estudio 

de los números 

La cábala parece ser que apareció en la comunidad 

judía española durante los siglos XII y XIII y, entre 

otras facetas, buscaba significados ocultos en los textos 

de la Biblia. ¿Qué nexo puede existir entre números 

y textos para pretender encontrar mensajes ocultos 

en la Biblia? 

Tengamos en cuenta que el sistema de numeración 

hebreo era muy similar al griego; es decir, a 

cada letra del alefato (alfabeto hebreo) se le asignaba 

un valor numérico, de modo que a cada palabra 

o frase también le corresponde un determinado valor 

numérico. Así, en la figura 3, observamos la equivalencia 

numérica de las primeras letras de dichos alfabetos. 

1 Puesto que estudias geometría y trigonometría voy a proponerte un problema: Un barco navega en el océano. Salió de Boston con 

un cargamento de lana. Desplaza 200 toneladas. Se dirige hacia Le Havre. El palo mayor se quebró, el camarero está en el puente, 

a bordo hay doce pasajeros. El viento sopla ENE, el reloj marca las tres; es el mes de mayo. ¿Qué edad tiene el capitán?

Figura 3. Valores numéricos de las primeras 

letras griegas y hebreas 

Al igual que los griegos se tomaban muy en serio 

las relaciones entre los valores numéricos de los nombres, 

surgiendo así el estudio de los números primos, 

amigos o perfectos, también es posible hacer algo 

similar con los textos bíblicos. Por ejemplo, si en una 

frase se habla del enviado de Dios y resulta que la 

suma de sus letras equivale a la suma de las letras de 

un nombre en concreto, la cábala daba por supuesto 

que ahí existía una cierta conexión. 

Basta dar un breve paseo por determinadas páginas 

de Internet para leer que las letras del césar Nerón 

equivalen al famoso 666 (el número de la bestia del 

Apocalipsis), que las letras de Adán y Eva se diferencian 

en 26 (las generaciones que separan Adán de 

Moisés); el valor numérico de la primera palabra de la 

Biblia es igual al número de años que median entre la 

creación y la llegada de Cristo al mundo, etc. 

Sí, ya sé que hoy en día hoy estas afirmaciones 

nos hacen sonreír a la mayoría de la gente, pero no 

siempre ha sido así, ni mucho menos. En realidad, 

muchas personas todavía creen que “La Biblia tiene 

la forma de un gigantesco crucigrama. Está codificada 

de principio a fin con palabras que, al conectar 

entre sí, revelan una historia oculta”, como se apunta 

en el muy vendido libro El código secreto de la Biblia 

de Michael Drosnin. 

Es incontrovertible que enredando con números 

podemos llegar casi a cualquier resultado que nos 

interese, pero esta afirmación no resulta tan evidente 

para las personas que carecen de formación científica, 

que aceptan las coincidencias numéricas, por muy 

rebuscadas que sean, como una muestra más de lo 

divino o sobrenatural. Por esta razón, la cábala, 

entendida como el estudio de los números, tuvo un 

gran auge durante muchos siglos y adquirió suma 

relevancia, porque se consideraba que los números 

no sólo representaban una cantidad sino que encerra- 

ban un mensaje oculto que era necesario descifrar 

para alcanzar sabe Dios qué. 

Tampoco sonriamos demasiado, porque en la 

actualidad tenemos un equivalente en los superpopulares 

horóscopos, que pululan en periódicos, revistas, 

etc. ¡Alucinante! Estamos en el tercer milenio y todavía 

hay gente que se toma en serio esas cosas. Pase 

que hace siglos hubiese grandes científicos que creyesen 

en esas cosas, como Kepler (figura 4) o Newton, 

sin ir más lejos, pero la astrología hace tiempo que 

debería haber caído en el olvido. 

Figura 4. En 1608 Kepler hizo este horóscopo a 

Albrecht von Wallenstein 

àLa historia de los cuadrados 

mágicos 

Y después de todos los prolegómenos anteriores, 

todavía debemos entrar en el núcleo central del 

artículo. Así pues, ¿qué es un cuadrado mágico? Simplemente 

una tabla de números (matriz, en terminología 

matemática) que satisface la condición de que la 

suma de todas las filas, columnas y las dos diagonales 

principales es siempre el 

mismo número, denominado 

constante mágica. El más famoso 

de todos ellos es el que vemos en 

la figura 5, cuya constante mágica 

es 15, como resulta sencillo 

comprobar. 

Los cuadrados mágicos ya 

eran conocidos en China muchos 

siglos antes de nuestra era. 

Según cuenta la leyenda, el río Lo 

estaba desbordado y, a pesar de 

Cuadrados 


Figura 5. Cuadrado mágico 

de orden 3 

91

ACTA 


92 

las ofrendas que hacían al dios del río, no conseguían 

que disminuyera su caudal. Por suerte para los habitantes 

de la región, alguien observó que tras cada 

ofrenda aparecía una misma tortuga y, curiosamente, 

en las divisiones de su caparazón, tenía unas marcas 

similares a las mostradas en la figura 6, que equivalen 

a los números de la figura 5. Al percatarse de que se 

trataba de un cuadrado mágico de constante 15, 

hicieron quince ofrendas seguidas (o incluyeron quince 

objetos en la ofrenda, ¡quién sabe!) y las aguas del 

río retornaron al cauce habitual. 

Figura 6. Lo Shu 

Con tamaña publicidad, no es extraño que los 

cuadrados mágicos pasasen a ser considerados talis- 

manes y se incorporasen a amuletos para muy 

diversas aplicaciones: protegerse de las enfermedades, 

prevenir desastres naturales, predecir el futuro, 

etc. Claro que, como siempre, no cuesta nada enredar 

con la cabalística y los números para llegar a 

donde se quiere; así, por ejemplo, en la figura 7, que 

forma parte de una página web sobre vivienda, se 

utiliza ese cuadrado mágico para averiguar a qué fin 

debe destinarse cada habitación de la casa. ¡Sin 

comentarios! 

Con el tiempo, y siguiendo una trayectoria similar 

a la de otras áreas del saber y el conocimiento, los 

cuadrados mágicos pasaron a la India; de ahí a los 

árabes y, finalmente, aparecieron en Europa, alrededor 

del siglo XIV. Debido a sus supuestos poderes 

sobrenaturales, atribuidos por los alquimistas y cabalistas, 

a esos cuadrados numéricos se les asoció el 

calificativo de “mágicos”. 

En nuestro continente, además de todas las prestaciones 

mágicas que habían ido incorporando a lo 

largo de los milenios, se les asignaron otras nuevas, 

especialmente en el ámbito de la astrología. Por ejemplo, 

el alemán Cornelius Agrippa (1486-1535) en su 

obra De occulta philosophia libri tres (1533) presentaba 

siete cuadrados mágicos y los asociaba a los planetas 

conocidos, con el añadido del Sol y la Luna, en 

función de su constante mágica (en astrología los 

cuerpos celestes tienen asignados determinados 

números: 9, 15 y 45 para Saturno; 25, 65 y 325 

Figura 7. http://www.euroresidentes.com/vivienda/feng-shui/lo-shu-basico-cuadrado-magico.htm

Marte; 36, 111 y 666 el Sol, etc.). Por ejemplo, en la 

figura 8, vemos un talismán dedicado a Saturno. 

Figura 8. Talismán de Saturno 

Tanta difusión adquirieron los cuadrados mágicos 

que resulta fácil encontrarlos en obras artísticas. 

Seguramente la más popular es el grabado Melancolía 

del alemán Albert Durero (21-V-1471, 6-IV-1528) 

que vemos en la figura 9. En él, entre tantos símbolos 

alquimistas (reloj de arena, balanza, rueda de molino, 

etc.), observamos en su esquina superior derecha el 

cuadrado mágico de la figura 10, precisamente el 

asociado a Júpiter, por lo que todas las virtudes inhe- 

Figura 9. Melancolía de Durero 

rentes a este planeta (prosperidad, 

larga vida, felicidad, etc.) se 

trasladan a quien esté bajo el 

influjo del cuadrado mágico. 2 

¡Cuánta tontería, verdad! En 

efecto, pero no olvidemos que la 

credulidad humana en ocasiones 

parece como si fuese infinita. De 

hecho, en un revista (omito su 

nombre por pudor) aparece la 

siguiente “prueba” de que el cuadrado 

mágico de Durero es el 

símbolo de la felicidad total: 

“Y por otro lado, si sumamos las 16 cifras que 

componen el cuadrado o multiplicamos 34 por cuatro 

obtenemos 136, cifra que, al ser reducida a su 

mínima expresión (1+3+6=10) (1+0=1), nos da un 

1, dígito considerado en magia planetaria como el de 

la perfecta felicidad”. 

No sé si reírme o llorar ante esa presunta demostración. 

Si sumamos las cifras de la fecha de mi nacimiento 

(26 del 9 de 1955), resulta 37 y al sumar sus 

dos cifras obtenemos 10 y, como ya sabemos, 

1+0=1. ¿Seré la prueba viviente de la perfecta felicidad? 

Claro que si cambiamos al calendario árabe o 

judío las cifras son diferentes e igual paso a ser la 

representación del mal. 

¡Qué manera más sencilla de dejar al descubierto 

la superchería! Si piensa eso es que no ha escuchado 

la voz de la credulidad, que tomaría ese razonamiento 

precisamente como la prueba del yin y yang y, a 

partir de ahí, enlazaría la dualidad universal con otros 

números y cualquiera sabe dónde nos llevaría. ¡Qué 

atrevida es la ignorancia! 

àUnos cuadrados mágicos 

para completar 

2 Los dos números centrales de su fila inferior conforman el año de creación del grabado, 1514. 

En su origen los cuadrados mágicos de orden n 

debían estar formados por los n 2 primeros números 

naturales, como sucede con los mostrados en las figuras 

anteriores. Sin embargo, posteriormente la definición 

se fue generalizando a cualquiera tabla numérica 

que cumpliese la condición de que fuese idéntica 

la suma de todas las filas, columnas y las dos diagonales 

principales. 




de Durero 

93

ACTA 


94 

Figura 11. El 7 tiene propiedades 

mágicas… y los 

números primos también 

Por ejemplo, también se considera 

cuadrado mágico al mostrado 

en la figura 11, compuesto 

por números primos finalizados 

en 7. 

Igualmente se asigna el calificativo 

de mágico al cuadrado 

presentado en la figura 12, que 

se encuentra en la Sagrada 

Familia de Barcelona. A diferencia 

de los anteriores, en este caso 

hay números que se repiten… la 

única forma de que la constante 

mágica sea 33 (la edad de Cristo). 

Después de todo cuanto llevamos 

visto sobre los cuadrados 

mágicos, quizás sea buena idea 

hacer una pausa en la lectura y 

cambiar a una cuestión más lúdi- 

Figura 12. Cuadrado mágico ca; es decir, la resolución de algu- 

en la Sagrada Familia nos cuadrados mágicos a modo 

de entretenimiento. Evidentemente 

no cuesta mucho escribir un programa de 

ordenador que haga el trabajo en nuestro lugar, pero 

resulta más gratificante hacer las cuentas a mano. De 

todas formas, si algún cuadrado mágico se resiste, al 

final del artículo se encuentran las soluciones de 

todos ellos. 

n Un cuadrado panmágico o 

diabólico es un cuadrado 

mágico que, además, verifica 

que la suma de los elementos 

de las diagonales secundarias 

es también la constante mágica. 

¿Resolvemos el de la figura 

13? 

Figura 13. Cuadrado 

panmágico para completar 

Figura 14. Cuadrado 

invertible para completar 

n Un cuadrado invertible es un 

cuadrado mágico que genera 

otro al girarse 180º, con la 

misma constante mágica; lógicamente 

sólo se manejan los 

dígitos 1, 6, 8 y 9. En concreto, 

el de la figura 14 está compuesto 

por números de dos 

cifras. 

n Los cuadrados mágicos formados 

exclusivamente por 

números primos son bastante 

escasos (y de sus propiedades 

cabalísticas mejor no hablar). 

Los números del presentado 

en la figura 15 son todos ellos 

primos inferiores a cien. 

Y para terminar con los cuadrados 

mágicos numéricos, 

comentar que se conocen diversos 

algoritmos que permiten 

generarlos. Si le interesa el tema, 

puede visitar las siguientes páginas 

web, donde también encontrará 

amplia información sobre 

ellos. 

http://www.geocities.com/cuadradosmagicos/como_hacerlos.htm 

http://enciclopedia.us.es/index.php/Cuadrado_mágico 

http://gaussianos.com/cuadrados-magicos/ 

àTambién las letras aparecen 

en cuadrados con magia 

Hasta el momento hemos hablado de cuadrados 

mágicos numéricos, pero las letras también están por 

ahí y no debemos desatenderlas. Por ejemplo, entre 

las ruinas de Pompeya se encontró un curioso palíndromo, 

ROTAS OPERA TENET AREPO SATOR, 

cuya traducción varía desde una especie de mensaje 

publicitario, “El sembrador Arepo guía con destreza 

las ruedas” o “El artesano Arepo tiene ruedas para el 

trabajo”, hasta un muy diferente “El creador tiene las 

inestables claves de su Obra”. 

¿Y qué tiene que ver con los 

cuadrados mágicos? Pues que 

dicho palíndromo tenía la peculiaridad 

de estar escrito formando 

un cuadrado, como vemos 

en la parte superior de la figura 

16. Ya que su legibilidad no es 

muy alta, debajo está escrito 

más claramente y ahí podemos 

comprobar que tiene la particularidad 

de leerse tanto en sentido 

horizontal como en vertical. 

A pesar de que las distancias 

en aquellos tiempos suponían 

una separación enorme, ese 

cuadrado debió de tener una 

popularidad inmensa, porque se 

han encontrado copias antiguas 

de él en sitios tan alejados de 

Pompeya como Gran Bretaña 

(figura 17) o Siria. 


primo para completar 


con letras

Figura 17. Cuadrado mágico del Corinium Museum 

Y es que, buscando significados ocultos, podemos 

reordenar las letras y obtener “Pater noster” por 

duplicado. Claro que sobran 

dos A y O, como se aprecia 

en la figura 18, pero no hay 

problema; basta decir que se 

trata de alfa y omega, el principio 

y el fin, y así tenemos 

una oración en toda regla. 

Por esta razón, mucha gente 

asocia este cuadrado literal 

con el cristianismo y quiere 

Figura 18. Texto en forma 

de cruz 

verlo como una primera 

prueba de su llegada a los 

sitios citados anteriormente. 

Por si fuera poco, con nuevas reordenaciones se 

obtienen frases como “El pater, ores, pro aetate nostra” 

o “Satan, oro te, reparato opes”, que pueden 

emplearse en las más diversas circunstancias. En 

resumen, no es extraño que en aquellos tiempos de 

ignorancia se le atribuyesen propiedades mágicas, 

siendo considerado un remedio contra las enfermedades, 

un talismán para evitar incendios, un amuleto 

para que los demonios no se apoderasen del alma del 

feto de las embarazadas, etc. Debido a tantísimas 

cualidades milagrosas, no es extraño encontrarlo en 

palacios e iglesias, en escudos heráldicos, en obras de 

arte e, incluso, en lápidas más modernas, como 

vemos en la figura 19 3 . 

Figura 19. Curiosa lápida 

¡Qué crédula era la gente en aquellos tiempos! Sí, 

desde luego, pero, ¿seguro que la cosa ha cambiado 

mucho? Acabo de encontrar en Internet sitios donde 

se afirma sin el menor rubor que el cuadrado SATOR 

es un talismán para evitar la adicción a la heroína, 

conseguir el amor de una chica, etc. 

àEl Taquin (Puzzle 14-15) 

Olvidémonos de tantas patrañas sin sentido y 

regresemos al más divertido mundo de los pasatiempos. 

En concreto, pasamos ahora a un juego que 

tiene relación con los cuadrados numéricos y que 

adquirió una notabilísima repercusión hace más de 

un siglo; de hecho, en la actualidad todavía lo podemos 

encontrar en muchas tiendas de juguetes, en 

consolas y sitios web donde se juega on-line. Se trata 

del Taquin, también conocido como “Puzzle 14-15”, 

cuya presentación original vemos en la figura 20. 

Figura 20. Ilustración del libro de Sam Lloyd 

3 Si comparamos el cuadrado de la lápida con el original, comprobaremos que las palabras están escritas ahora en orden inverso (lo 

que no importa mucho, por tratarse de un palíndromo). Esta segunda forma de escritura ha adquirido más popularidad y, por ello, a 

ese cuadrado mágico literal se le conoce por cuadrado SATOR. 



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ACTA 


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Este rompecabezas fue ideado en 1878 por un 

gran creador de pasatiempos: el estadounidense 

Sam Lloyd (31-1-1841, 10-4- 

1911). Consiste en una pequeña 

caja cuadrada en la que se insertan 

quince bloques móviles, 

numerados de 1 a 15, dejando 

un hueco libre que puede ser 

usado para desplazar los móviles 

lateralmente, colocados inicialmente 

tal y como se muestra en 

la figura 21. 

Figura 21. Configuración 

inicial 

¿Y dónde está la gracia del 

rompecabezas? Generalmente 

en, dada una posición determinada de los bloques, 

indicar los pasos a seguir para alcanzarla desde la 

posición inicial. 

Según señalan las crónicas de la época, los abundantes 

concursos que aparecieron al cobijo del 

Taquin supusieron una verdadera plaga. Así, por 

ejemplo, los empresarios colocaron anuncios prohibiendo 

jugar en horas de trabajo; un periodista escribió: 

“no hay ni una sola casa de campo en donde no 

anide esta araña, esperando a la víctima que caerá en 

sus redes”; incluso el matemático y diputado alemán 

S. Gunther afirmaba: “veo en el Parlamento a honorables 

señores jugando con la cajita”. 

Al cabo de unos años de salir al mercado, se 

demostró que sólo la mitad de las posiciones posibles 

permitían regresar a la posición inicial. Esa era 

la razón por la cual la mayoría de los grandes premios 

que se ofertaban eran imposibles de alcanzar. 

Precisamente este motivo le impidió a Lloyd patentar 

su invento, ya que si observamos detenidamente 

los cuadrados de las dos figuras anteriores, comprobaremos 

que hay una pequeña diferencia entre 

ellos: en el puzzle de Sam Lloyd las fichas de los dos 

últimos números están intercambiados, por lo que 

no existe ningún camino que nos lleve del uno al 

otro. 

¿Y cómo sabemos si una posición es posible? Sólo 

tenemos que sumar el número de inversiones que 

hay en toda la tabla (se produce una inversión cuando 

un número está colocado antes que otro inferior a 

él). La posición sólo es factible si el número de inversiones 

es par. 

Así, por ejemplo, podemos comprobar que sí es 

posible volver a la posición inicial a partir de la disposición 

de la figura 22 y, en cambio, resulta imposible 

hacerlo desde la mostrada en la figura 23. 

Figura 22. Configuración 

factible 

àEl cubo de Rubik 

En 1978 el profesor Erno 

Rubik presentó en la feria internacional 

de Budapest su famoso 

“cubo mágico”, que, como 

vemos en la figura 24, en cierto 

aspecto recuerda en cierto modo 

al Taquin. Cada una de las seis 

caras del cubo está dividida en 

nueve partes y en el centro del 

cubo hay un engranaje que articula 

las piezas, permitiendo hacer 

giros con ellas. 

Figura 23. Configuración no 

factible 

Figura 24. Cubo de Rubik 

Al igual que sucedió con el Taquin cien años 

antes, la creación de Rubik dio lugar a multitud de 

concursos y premios; de hecho, cuando se presentó 

en la feria de juguetes de 1980 la empresa distribuidora 

ofreció un premio de cinco mil marcos a quien 

lo resolviera en menos de tres minutos. Entonces 

nadie lo ganó, si bien ahora el récord ronda los diez 

segundos. 

A los pocos años su popularidad era ya inmensa, 

especialmente porque su manejo se aprende en unos 

segundos y su regla básica (volver a la posición inicial) 

resulta muy sencilla. Se han vendido más de trescientos 

millones en todo el mundo y, por aquello de 

ir actualizándolo, han ido surgiendo en el mercado 

versiones con más piezas, algunas de las cuales se 

muestran en la figura 25. 

Figura 25. También hay cubos de Rubik 4x4x4 y 5x5x5

Las personas que son capaces de resolver el cubo 

de Rubik (nunca lo he conseguido, palabra), saben 

que exige bastante práctica y dedicación, porque 

ir probando al azar no tiene mucho sentido. Tengamos 

en cuenta que el número teórico de posiciones 

distintas que admite el cubo de Rubik es 

519.024.039.293.878.272.000 (8! x 38 x 12! x 212), 

que, aunque se reducen en la práctica porque las piezas 

están engranadas, todavía queda un número bastante 

grande: 43.252.003.274.489.856.000. 

Lógicamente, en Internet es fácil encontrar muchísimas 

páginas dedicadas al cubo de Rubik. Las 

siguientes son sólo unas pocas, pero representativas: 

n Para descubrir cómo solucionarlo: 

http://www.rubikaz.com/resoluciones.html 

http://biboz.net/juegos/cubo-de-rubik/ 

http://www.angelfire.com/co/cubo/ 

n Para jugar con el cubo de Rubik online: 

http://biboz.net/juegos/cubo-de-rubik/ 

http://www.rubiks.com/cube_online.html 

n Para resolver online el cubo de Rubik, si no queremos 

utilizar el viejo truco de despegar las etiquetas 

y volverlas a pegar: 

http://www.wedran.com/?page=cube/ 

àLos sudokus 

El genial Leonhard Euler (15-4-1707, 18-9-1783) 

parece ser que fue el primero en estudiar las propiedades 

matemáticas de los llamados cuadrados latinos, 

que se caracterizan por el 

hecho de que cada símbolo 

(Euler utilizó letras latinas, de ahí 

su nombre) sólo aparece una vez 

en cada fila y en cada columna. 

Por ejemplo, el cuadrado de la 

figura 26 cumple esta propiedad. 

Figura 26. Un cuadrado 

latino 

Estos cuadrados latinos, que 

le surgieron a Euler al estudiar los 

cuadrados mágicos (de hecho el 

título de su texto era Recherches 

sur une nouvelle espece de qua- 

rre magique), hoy en día son muy utilizados en estadística, 

sobre todo en diseño de experimentos. 

También, claro está, aparecen en la sección de 

pasatiempos de las revistas y periódicos, en forma de 

sudokus, que, como resulta evidente de la definición 

anterior, son unos cuadrados 

latinos 9x9, con la limitación 

adicional de que cada uno de 

los nueve subcuadrados 3x3 

en que está dividido contiene 

los nueve dígitos del 1 al 9. 

Por ejemplo, en la figura 27 

vemos el típico sudoku para 

resolver. 

Los primeros sudokus de 

la historia publicados, mostrados 

en la figura 28, aparecie- 

ron en mayo de 1979, en el número 16 de la revista 

“Dell Pencil Puzzles & Word Games”. Se atribuye su 

autoría al arquitecto retirado Howard Garns, fallecido 

en 1989, y el nombre original de este pasatiempo era 

“Number place” (colocar el número). 

Figura 28. Primeros sudokus publicados 

En 1984 la editorial Nikoli 

exportó el juego a Japón, dándolo 

a conocer bajo el nombre 

“Suji wa dokushin ni kagiru” (los 

números están solo una vez, más 

o menos), abreviándose más 

adelante a sudoku, contracción 

de “su” (número) y “doku” 

(solo). 

Posteriormente, el juez neozelandés 

Wayne Gould desarrolló 

un programa que generaba sudokus 

y consiguió venderle el 

nuevo juego al prestigioso “The 

Times”, que lo dio a conocer en el 

mundo occidental en noviembre 

de 2004, desatando la fiebre por 

este pasatiempo numérico… y no 

hay peligro de que se agote el 

filón, porque pueden generarse 

6.670.903.752.021.072.936.960 

sudokus diferentes. 

Figura 27. Sudoku para 

resolver 

Figura 29. Soluciones a 

los cuadrados mágicos 

propuestos 



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Cuadrados mágicos - Vicente Trigo

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