Cuadrados mágicos - Vicente Trigo
Cuadrados mágicos - Vicente Trigo
Cuadrados mágicos - Vicente Trigo
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
AUTORES CIENTÍFICO-TÉCNICOS Y ACADÉMICOS<br />
<strong>Cuadrados</strong> <strong>mágicos</strong><br />
<strong>Vicente</strong> <strong>Trigo</strong> Aranda<br />
www.vicentetrigo.com<br />
Desde la antigüedad los pasatiempos numéricos han ocupado un<br />
lugar destacado en las Matemáticas, no sólo por su aspecto lúdico<br />
sino también porque algunos de ellos han dado lugar al nacimiento<br />
de nuevas ramas de esta ciencia: “La teoría de ecuaciones, la probabilidad,<br />
el cálculo, la teoría de conjuntos, la topología, etc., son<br />
frutos que se han desarrollado de semillas sembradas en el fértil suelo<br />
de la imaginación creadora, pues todas ellas han nacido de problemas<br />
planteados, en un principio, en forma de rompecabezas” (Matemáticas<br />
e imaginación, Kasner y Newman).<br />
La primera recopilación de rompecabezas<br />
y pasatiempos apareció<br />
en 1612, cuando se publicó Problèmes<br />
plaisants et delectables qui se<br />
font par les nombres (Los problemas<br />
placenteros y deleitosos que se<br />
hacen con números), del francés<br />
Claude-Gaspard Bachet (9-X-1581,<br />
26-II-1638), que todavía sigue editándose,<br />
como se aprecia en la figura<br />
1. Curiosamente, cuando se cita<br />
a este autor en la historia de las<br />
Matemáticas suele ser por otra de<br />
sus obras, su traducción de la Arithmetica<br />
de Diofanto (1621), ya que<br />
en un comentario a este libro Fermat<br />
escribió su famosa nota marginal,<br />
conocida como “El último teorema<br />
de Fermat”, cuya demostración<br />
resistió el ataque de todos los matemáticos<br />
hasta 1993, en que Andrew<br />
Wiles por fin lo consiguió. Figura 1. Portada de una edición de 1993<br />
89
ACTA<br />
<strong>Cuadrados</strong> <strong>mágicos</strong><br />
90<br />
Continuando con las<br />
obras dedicadas a pasatiempos<br />
y rompecabezas,<br />
con el paso de los años<br />
fueron surgiendo otras<br />
varias, entre las que destaca<br />
con luz propia<br />
Figura 2. Las torres de Hanoi<br />
Récréations mathématiques<br />
(Recreaciones matemáticas),<br />
del también<br />
francés Edouard Lucas<br />
(4-IV-1842, 3-X-1891),<br />
que fue publicada en<br />
cuatro tomos entre 1881<br />
y 1894. En uno de ellos<br />
aparecía el famoso problema<br />
de las torres de<br />
Hanoi, que vemos en la<br />
figura 2.<br />
A lo largo de siglos<br />
fueron muchos los matemáticos<br />
célebres que disfrutaron<br />
analizando determinados<br />
problemas de<br />
matemáticas recreativas,<br />
como Fermat, Euler, Mersenne,<br />
Leibnitz, Lagrange,<br />
Hamilton, Caley, etc.; sin olvidarnos del norteamericano<br />
Martin Gardner, que es, sin duda, la figura<br />
más destacada en este terreno durante el segundo<br />
tercio del siglo XX.<br />
Claro que todo lo relativo a pasatiempos matemáticos<br />
hay que tomarlo con cierta mesura, porque si<br />
bien es cierto que han sido la semilla de muchos<br />
avances y son un buen complemento introductorio a<br />
determinadas ramas del saber matemático, tampoco<br />
son la panacea universal en la enseñanza de esta<br />
siempre difícil disciplina científica.<br />
De hecho, contra los peligros de los acertijos, tan<br />
populares en el siglo XIX, ya advertía irónicamente<br />
Flaubert en el célebre problema que envió a su hermana<br />
Caroline en 1843:<br />
“Puisque vous étudiez la géométrie et la<br />
trigonométrie, je vais vous soumettre un problème:<br />
Un bateau vogue sur l’Océan. Il a quitté<br />
Boston avec un chargement de laine. Il<br />
jauge 200 tonneaux. Il se dirige vers le Havre.<br />
Le grand mat est cassé, le garçon de cabine<br />
est sur le pont, il y a douze passagers àbord.<br />
Le vent souffle ENE, l’horloge marque 3 h; on<br />
est au mois de mai. Quel est l’âge du capitaine?”<br />
1<br />
Y como el abanico de los pasatiempos matemáticos<br />
es amplísimo, en este artículo vamos a centrarnos<br />
en un caso muy concreto: los cuadrados <strong>mágicos</strong>. Eso<br />
sí, para hacer este artículo más comprensible y<br />
ameno, nos olvidaremos de las propiedades matemáticas<br />
de estos objetos y nos quedaremos únicamente<br />
con los temas históricos y lúdicos, sin olvidar los esotéricos.<br />
¿Y qué relación hay entre la magia y los pasatiempos<br />
matemáticos? Ninguna, desde el punto de vista<br />
científico actual, como es evidente; sin embargo, es<br />
innegable que ha existido una cierta conexión entre<br />
ambas cuestiones a lo largo de la historia y siempre es<br />
interesante conocer el presunto “poder de los números”;<br />
así que, antes de pasar a analizar los cuadrados<br />
<strong>mágicos</strong>, vamos a hacer una breve referencia a la<br />
popular cábala de nuestro Medievo, que tanta importancia<br />
tuvo.<br />
àLa cábala como estudio<br />
de los números<br />
La cábala parece ser que apareció en la comunidad<br />
judía española durante los siglos XII y XIII y, entre<br />
otras facetas, buscaba significados ocultos en los textos<br />
de la Biblia. ¿Qué nexo puede existir entre números<br />
y textos para pretender encontrar mensajes ocultos<br />
en la Biblia?<br />
Tengamos en cuenta que el sistema de numeración<br />
hebreo era muy similar al griego; es decir, a<br />
cada letra del alefato (alfabeto hebreo) se le asignaba<br />
un valor numérico, de modo que a cada palabra<br />
o frase también le corresponde un determinado valor<br />
numérico. Así, en la figura 3, observamos la equivalencia<br />
numérica de las primeras letras de dichos alfabetos.<br />
1 Puesto que estudias geometría y trigonometría voy a proponerte un problema: Un barco navega en el océano. Salió de Boston con<br />
un cargamento de lana. Desplaza 200 toneladas. Se dirige hacia Le Havre. El palo mayor se quebró, el camarero está en el puente,<br />
a bordo hay doce pasajeros. El viento sopla ENE, el reloj marca las tres; es el mes de mayo. ¿Qué edad tiene el capitán?
Figura 3. Valores numéricos de las primeras<br />
letras griegas y hebreas<br />
Al igual que los griegos se tomaban muy en serio<br />
las relaciones entre los valores numéricos de los nombres,<br />
surgiendo así el estudio de los números primos,<br />
amigos o perfectos, también es posible hacer algo<br />
similar con los textos bíblicos. Por ejemplo, si en una<br />
frase se habla del enviado de Dios y resulta que la<br />
suma de sus letras equivale a la suma de las letras de<br />
un nombre en concreto, la cábala daba por supuesto<br />
que ahí existía una cierta conexión.<br />
Basta dar un breve paseo por determinadas páginas<br />
de Internet para leer que las letras del césar Nerón<br />
equivalen al famoso 666 (el número de la bestia del<br />
Apocalipsis), que las letras de Adán y Eva se diferencian<br />
en 26 (las generaciones que separan Adán de<br />
Moisés); el valor numérico de la primera palabra de la<br />
Biblia es igual al número de años que median entre la<br />
creación y la llegada de Cristo al mundo, etc.<br />
Sí, ya sé que hoy en día hoy estas afirmaciones<br />
nos hacen sonreír a la mayoría de la gente, pero no<br />
siempre ha sido así, ni mucho menos. En realidad,<br />
muchas personas todavía creen que “La Biblia tiene<br />
la forma de un gigantesco crucigrama. Está codificada<br />
de principio a fin con palabras que, al conectar<br />
entre sí, revelan una historia oculta”, como se apunta<br />
en el muy vendido libro El código secreto de la Biblia<br />
de Michael Drosnin.<br />
Es incontrovertible que enredando con números<br />
podemos llegar casi a cualquier resultado que nos<br />
interese, pero esta afirmación no resulta tan evidente<br />
para las personas que carecen de formación científica,<br />
que aceptan las coincidencias numéricas, por muy<br />
rebuscadas que sean, como una muestra más de lo<br />
divino o sobrenatural. Por esta razón, la cábala,<br />
entendida como el estudio de los números, tuvo un<br />
gran auge durante muchos siglos y adquirió suma<br />
relevancia, porque se consideraba que los números<br />
no sólo representaban una cantidad sino que encerra-<br />
ban un mensaje oculto que era necesario descifrar<br />
para alcanzar sabe Dios qué.<br />
Tampoco sonriamos demasiado, porque en la<br />
actualidad tenemos un equivalente en los superpopulares<br />
horóscopos, que pululan en periódicos, revistas,<br />
etc. ¡Alucinante! Estamos en el tercer milenio y todavía<br />
hay gente que se toma en serio esas cosas. Pase<br />
que hace siglos hubiese grandes científicos que creyesen<br />
en esas cosas, como Kepler (figura 4) o Newton,<br />
sin ir más lejos, pero la astrología hace tiempo que<br />
debería haber caído en el olvido.<br />
Figura 4. En 1608 Kepler hizo este horóscopo a<br />
Albrecht von Wallenstein<br />
àLa historia de los cuadrados<br />
<strong>mágicos</strong><br />
Y después de todos los prolegómenos anteriores,<br />
todavía debemos entrar en el núcleo central del<br />
artículo. Así pues, ¿qué es un cuadrado mágico? Simplemente<br />
una tabla de números (matriz, en terminología<br />
matemática) que satisface la condición de que la<br />
suma de todas las filas, columnas y las dos diagonales<br />
principales es siempre el<br />
mismo número, denominado<br />
constante mágica. El más famoso<br />
de todos ellos es el que vemos en<br />
la figura 5, cuya constante mágica<br />
es 15, como resulta sencillo<br />
comprobar.<br />
Los cuadrados <strong>mágicos</strong> ya<br />
eran conocidos en China muchos<br />
siglos antes de nuestra era.<br />
Según cuenta la leyenda, el río Lo<br />
estaba desbordado y, a pesar de<br />
<strong>Cuadrados</strong><br />
<strong>mágicos</strong><br />
Figura 5. Cuadrado mágico<br />
de orden 3<br />
91
ACTA<br />
<strong>Cuadrados</strong> <strong>mágicos</strong><br />
92<br />
las ofrendas que hacían al dios del río, no conseguían<br />
que disminuyera su caudal. Por suerte para los habitantes<br />
de la región, alguien observó que tras cada<br />
ofrenda aparecía una misma tortuga y, curiosamente,<br />
en las divisiones de su caparazón, tenía unas marcas<br />
similares a las mostradas en la figura 6, que equivalen<br />
a los números de la figura 5. Al percatarse de que se<br />
trataba de un cuadrado mágico de constante 15,<br />
hicieron quince ofrendas seguidas (o incluyeron quince<br />
objetos en la ofrenda, ¡quién sabe!) y las aguas del<br />
río retornaron al cauce habitual.<br />
Figura 6. Lo Shu<br />
Con tamaña publicidad, no es extraño que los<br />
cuadrados <strong>mágicos</strong> pasasen a ser considerados talis-<br />
manes y se incorporasen a amuletos para muy<br />
diversas aplicaciones: protegerse de las enfermedades,<br />
prevenir desastres naturales, predecir el futuro,<br />
etc. Claro que, como siempre, no cuesta nada enredar<br />
con la cabalística y los números para llegar a<br />
donde se quiere; así, por ejemplo, en la figura 7, que<br />
forma parte de una página web sobre vivienda, se<br />
utiliza ese cuadrado mágico para averiguar a qué fin<br />
debe destinarse cada habitación de la casa. ¡Sin<br />
comentarios!<br />
Con el tiempo, y siguiendo una trayectoria similar<br />
a la de otras áreas del saber y el conocimiento, los<br />
cuadrados <strong>mágicos</strong> pasaron a la India; de ahí a los<br />
árabes y, finalmente, aparecieron en Europa, alrededor<br />
del siglo XIV. Debido a sus supuestos poderes<br />
sobrenaturales, atribuidos por los alquimistas y cabalistas,<br />
a esos cuadrados numéricos se les asoció el<br />
calificativo de “<strong>mágicos</strong>”.<br />
En nuestro continente, además de todas las prestaciones<br />
mágicas que habían ido incorporando a lo<br />
largo de los milenios, se les asignaron otras nuevas,<br />
especialmente en el ámbito de la astrología. Por ejemplo,<br />
el alemán Cornelius Agrippa (1486-1535) en su<br />
obra De occulta philosophia libri tres (1533) presentaba<br />
siete cuadrados <strong>mágicos</strong> y los asociaba a los planetas<br />
conocidos, con el añadido del Sol y la Luna, en<br />
función de su constante mágica (en astrología los<br />
cuerpos celestes tienen asignados determinados<br />
números: 9, 15 y 45 para Saturno; 25, 65 y 325<br />
Figura 7. http://www.euroresidentes.com/vivienda/feng-shui/lo-shu-basico-cuadrado-magico.htm
Marte; 36, 111 y 666 el Sol, etc.). Por ejemplo, en la<br />
figura 8, vemos un talismán dedicado a Saturno.<br />
Figura 8. Talismán de Saturno<br />
Tanta difusión adquirieron los cuadrados <strong>mágicos</strong><br />
que resulta fácil encontrarlos en obras artísticas.<br />
Seguramente la más popular es el grabado Melancolía<br />
del alemán Albert Durero (21-V-1471, 6-IV-1528)<br />
que vemos en la figura 9. En él, entre tantos símbolos<br />
alquimistas (reloj de arena, balanza, rueda de molino,<br />
etc.), observamos en su esquina superior derecha el<br />
cuadrado mágico de la figura 10, precisamente el<br />
asociado a Júpiter, por lo que todas las virtudes inhe-<br />
Figura 9. Melancolía de Durero<br />
rentes a este planeta (prosperidad,<br />
larga vida, felicidad, etc.) se<br />
trasladan a quien esté bajo el<br />
influjo del cuadrado mágico. 2<br />
¡Cuánta tontería, verdad! En<br />
efecto, pero no olvidemos que la<br />
credulidad humana en ocasiones<br />
parece como si fuese infinita. De<br />
hecho, en un revista (omito su<br />
nombre por pudor) aparece la<br />
siguiente “prueba” de que el cuadrado<br />
mágico de Durero es el<br />
símbolo de la felicidad total:<br />
“Y por otro lado, si sumamos las 16 cifras que<br />
componen el cuadrado o multiplicamos 34 por cuatro<br />
obtenemos 136, cifra que, al ser reducida a su<br />
mínima expresión (1+3+6=10) (1+0=1), nos da un<br />
1, dígito considerado en magia planetaria como el de<br />
la perfecta felicidad”.<br />
No sé si reírme o llorar ante esa presunta demostración.<br />
Si sumamos las cifras de la fecha de mi nacimiento<br />
(26 del 9 de 1955), resulta 37 y al sumar sus<br />
dos cifras obtenemos 10 y, como ya sabemos,<br />
1+0=1. ¿Seré la prueba viviente de la perfecta felicidad?<br />
Claro que si cambiamos al calendario árabe o<br />
judío las cifras son diferentes e igual paso a ser la<br />
representación del mal.<br />
¡Qué manera más sencilla de dejar al descubierto<br />
la superchería! Si piensa eso es que no ha escuchado<br />
la voz de la credulidad, que tomaría ese razonamiento<br />
precisamente como la prueba del yin y yang y, a<br />
partir de ahí, enlazaría la dualidad universal con otros<br />
números y cualquiera sabe dónde nos llevaría. ¡Qué<br />
atrevida es la ignorancia!<br />
àUnos cuadrados <strong>mágicos</strong><br />
para completar<br />
2 Los dos números centrales de su fila inferior conforman el año de creación del grabado, 1514.<br />
En su origen los cuadrados <strong>mágicos</strong> de orden n<br />
debían estar formados por los n 2 primeros números<br />
naturales, como sucede con los mostrados en las figuras<br />
anteriores. Sin embargo, posteriormente la definición<br />
se fue generalizando a cualquiera tabla numérica<br />
que cumpliese la condición de que fuese idéntica<br />
la suma de todas las filas, columnas y las dos diagonales<br />
principales.<br />
<strong>Cuadrados</strong><br />
<strong>mágicos</strong><br />
Figura 10. Cuadrado mágico<br />
de Durero<br />
93
ACTA<br />
<strong>Cuadrados</strong> <strong>mágicos</strong><br />
94<br />
Figura 11. El 7 tiene propiedades<br />
mágicas… y los<br />
números primos también<br />
Por ejemplo, también se considera<br />
cuadrado mágico al mostrado<br />
en la figura 11, compuesto<br />
por números primos finalizados<br />
en 7.<br />
Igualmente se asigna el calificativo<br />
de mágico al cuadrado<br />
presentado en la figura 12, que<br />
se encuentra en la Sagrada<br />
Familia de Barcelona. A diferencia<br />
de los anteriores, en este caso<br />
hay números que se repiten… la<br />
única forma de que la constante<br />
mágica sea 33 (la edad de Cristo).<br />
Después de todo cuanto llevamos<br />
visto sobre los cuadrados<br />
<strong>mágicos</strong>, quizás sea buena idea<br />
hacer una pausa en la lectura y<br />
cambiar a una cuestión más lúdi-<br />
Figura 12. Cuadrado mágico ca; es decir, la resolución de algu-<br />
en la Sagrada Familia nos cuadrados <strong>mágicos</strong> a modo<br />
de entretenimiento. Evidentemente<br />
no cuesta mucho escribir un programa de<br />
ordenador que haga el trabajo en nuestro lugar, pero<br />
resulta más gratificante hacer las cuentas a mano. De<br />
todas formas, si algún cuadrado mágico se resiste, al<br />
final del artículo se encuentran las soluciones de<br />
todos ellos.<br />
n Un cuadrado panmágico o<br />
diabólico es un cuadrado<br />
mágico que, además, verifica<br />
que la suma de los elementos<br />
de las diagonales secundarias<br />
es también la constante mágica.<br />
¿Resolvemos el de la figura<br />
13?<br />
Figura 13. Cuadrado<br />
panmágico para completar<br />
Figura 14. Cuadrado<br />
invertible para completar<br />
n Un cuadrado invertible es un<br />
cuadrado mágico que genera<br />
otro al girarse 180º, con la<br />
misma constante mágica; lógicamente<br />
sólo se manejan los<br />
dígitos 1, 6, 8 y 9. En concreto,<br />
el de la figura 14 está compuesto<br />
por números de dos<br />
cifras.<br />
n Los cuadrados <strong>mágicos</strong> formados<br />
exclusivamente por<br />
números primos son bastante<br />
escasos (y de sus propiedades<br />
cabalísticas mejor no hablar).<br />
Los números del presentado<br />
en la figura 15 son todos ellos<br />
primos inferiores a cien.<br />
Y para terminar con los cuadrados<br />
<strong>mágicos</strong> numéricos,<br />
comentar que se conocen diversos<br />
algoritmos que permiten<br />
generarlos. Si le interesa el tema,<br />
puede visitar las siguientes páginas<br />
web, donde también encontrará<br />
amplia información sobre<br />
ellos.<br />
http://www.geocities.com/cuadradosmagicos/como_hacerlos.htm<br />
http://enciclopedia.us.es/index.php/Cuadrado_mágico<br />
http://gaussianos.com/cuadrados-magicos/<br />
àTambién las letras aparecen<br />
en cuadrados con magia<br />
Hasta el momento hemos hablado de cuadrados<br />
<strong>mágicos</strong> numéricos, pero las letras también están por<br />
ahí y no debemos desatenderlas. Por ejemplo, entre<br />
las ruinas de Pompeya se encontró un curioso palíndromo,<br />
ROTAS OPERA TENET AREPO SATOR,<br />
cuya traducción varía desde una especie de mensaje<br />
publicitario, “El sembrador Arepo guía con destreza<br />
las ruedas” o “El artesano Arepo tiene ruedas para el<br />
trabajo”, hasta un muy diferente “El creador tiene las<br />
inestables claves de su Obra”.<br />
¿Y qué tiene que ver con los<br />
cuadrados <strong>mágicos</strong>? Pues que<br />
dicho palíndromo tenía la peculiaridad<br />
de estar escrito formando<br />
un cuadrado, como vemos<br />
en la parte superior de la figura<br />
16. Ya que su legibilidad no es<br />
muy alta, debajo está escrito<br />
más claramente y ahí podemos<br />
comprobar que tiene la particularidad<br />
de leerse tanto en sentido<br />
horizontal como en vertical.<br />
A pesar de que las distancias<br />
en aquellos tiempos suponían<br />
una separación enorme, ese<br />
cuadrado debió de tener una<br />
popularidad inmensa, porque se<br />
han encontrado copias antiguas<br />
de él en sitios tan alejados de<br />
Pompeya como Gran Bretaña<br />
(figura 17) o Siria.<br />
Figura 15. Cuadrado mágico<br />
primo para completar<br />
Figura 16. Cuadrado mágico<br />
con letras
Figura 17. Cuadrado mágico del Corinium Museum<br />
Y es que, buscando significados ocultos, podemos<br />
reordenar las letras y obtener “Pater noster” por<br />
duplicado. Claro que sobran<br />
dos A y O, como se aprecia<br />
en la figura 18, pero no hay<br />
problema; basta decir que se<br />
trata de alfa y omega, el principio<br />
y el fin, y así tenemos<br />
una oración en toda regla.<br />
Por esta razón, mucha gente<br />
asocia este cuadrado literal<br />
con el cristianismo y quiere<br />
Figura 18. Texto en forma<br />
de cruz<br />
verlo como una primera<br />
prueba de su llegada a los<br />
sitios citados anteriormente.<br />
Por si fuera poco, con nuevas reordenaciones se<br />
obtienen frases como “El pater, ores, pro aetate nostra”<br />
o “Satan, oro te, reparato opes”, que pueden<br />
emplearse en las más diversas circunstancias. En<br />
resumen, no es extraño que en aquellos tiempos de<br />
ignorancia se le atribuyesen propiedades mágicas,<br />
siendo considerado un remedio contra las enfermedades,<br />
un talismán para evitar incendios, un amuleto<br />
para que los demonios no se apoderasen del alma del<br />
feto de las embarazadas, etc. Debido a tantísimas<br />
cualidades milagrosas, no es extraño encontrarlo en<br />
palacios e iglesias, en escudos heráldicos, en obras de<br />
arte e, incluso, en lápidas más modernas, como<br />
vemos en la figura 19 3 .<br />
Figura 19. Curiosa lápida<br />
¡Qué crédula era la gente en aquellos tiempos! Sí,<br />
desde luego, pero, ¿seguro que la cosa ha cambiado<br />
mucho? Acabo de encontrar en Internet sitios donde<br />
se afirma sin el menor rubor que el cuadrado SATOR<br />
es un talismán para evitar la adicción a la heroína,<br />
conseguir el amor de una chica, etc.<br />
àEl Taquin (Puzzle 14-15)<br />
Olvidémonos de tantas patrañas sin sentido y<br />
regresemos al más divertido mundo de los pasatiempos.<br />
En concreto, pasamos ahora a un juego que<br />
tiene relación con los cuadrados numéricos y que<br />
adquirió una notabilísima repercusión hace más de<br />
un siglo; de hecho, en la actualidad todavía lo podemos<br />
encontrar en muchas tiendas de juguetes, en<br />
consolas y sitios web donde se juega on-line. Se trata<br />
del Taquin, también conocido como “Puzzle 14-15”,<br />
cuya presentación original vemos en la figura 20.<br />
Figura 20. Ilustración del libro de Sam Lloyd<br />
3 Si comparamos el cuadrado de la lápida con el original, comprobaremos que las palabras están escritas ahora en orden inverso (lo<br />
que no importa mucho, por tratarse de un palíndromo). Esta segunda forma de escritura ha adquirido más popularidad y, por ello, a<br />
ese cuadrado mágico literal se le conoce por cuadrado SATOR.<br />
<strong>Cuadrados</strong><br />
<strong>mágicos</strong><br />
95
ACTA<br />
<strong>Cuadrados</strong> <strong>mágicos</strong><br />
96<br />
Este rompecabezas fue ideado en 1878 por un<br />
gran creador de pasatiempos: el estadounidense<br />
Sam Lloyd (31-1-1841, 10-4-<br />
1911). Consiste en una pequeña<br />
caja cuadrada en la que se insertan<br />
quince bloques móviles,<br />
numerados de 1 a 15, dejando<br />
un hueco libre que puede ser<br />
usado para desplazar los móviles<br />
lateralmente, colocados inicialmente<br />
tal y como se muestra en<br />
la figura 21.<br />
Figura 21. Configuración<br />
inicial<br />
¿Y dónde está la gracia del<br />
rompecabezas? Generalmente<br />
en, dada una posición determinada de los bloques,<br />
indicar los pasos a seguir para alcanzarla desde la<br />
posición inicial.<br />
Según señalan las crónicas de la época, los abundantes<br />
concursos que aparecieron al cobijo del<br />
Taquin supusieron una verdadera plaga. Así, por<br />
ejemplo, los empresarios colocaron anuncios prohibiendo<br />
jugar en horas de trabajo; un periodista escribió:<br />
“no hay ni una sola casa de campo en donde no<br />
anide esta araña, esperando a la víctima que caerá en<br />
sus redes”; incluso el matemático y diputado alemán<br />
S. Gunther afirmaba: “veo en el Parlamento a honorables<br />
señores jugando con la cajita”.<br />
Al cabo de unos años de salir al mercado, se<br />
demostró que sólo la mitad de las posiciones posibles<br />
permitían regresar a la posición inicial. Esa era<br />
la razón por la cual la mayoría de los grandes premios<br />
que se ofertaban eran imposibles de alcanzar.<br />
Precisamente este motivo le impidió a Lloyd patentar<br />
su invento, ya que si observamos detenidamente<br />
los cuadrados de las dos figuras anteriores, comprobaremos<br />
que hay una pequeña diferencia entre<br />
ellos: en el puzzle de Sam Lloyd las fichas de los dos<br />
últimos números están intercambiados, por lo que<br />
no existe ningún camino que nos lleve del uno al<br />
otro.<br />
¿Y cómo sabemos si una posición es posible? Sólo<br />
tenemos que sumar el número de inversiones que<br />
hay en toda la tabla (se produce una inversión cuando<br />
un número está colocado antes que otro inferior a<br />
él). La posición sólo es factible si el número de inversiones<br />
es par.<br />
Así, por ejemplo, podemos comprobar que sí es<br />
posible volver a la posición inicial a partir de la disposición<br />
de la figura 22 y, en cambio, resulta imposible<br />
hacerlo desde la mostrada en la figura 23.<br />
Figura 22. Configuración<br />
factible<br />
àEl cubo de Rubik<br />
En 1978 el profesor Erno<br />
Rubik presentó en la feria internacional<br />
de Budapest su famoso<br />
“cubo mágico”, que, como<br />
vemos en la figura 24, en cierto<br />
aspecto recuerda en cierto modo<br />
al Taquin. Cada una de las seis<br />
caras del cubo está dividida en<br />
nueve partes y en el centro del<br />
cubo hay un engranaje que articula<br />
las piezas, permitiendo hacer<br />
giros con ellas.<br />
Figura 23. Configuración no<br />
factible<br />
Figura 24. Cubo de Rubik<br />
Al igual que sucedió con el Taquin cien años<br />
antes, la creación de Rubik dio lugar a multitud de<br />
concursos y premios; de hecho, cuando se presentó<br />
en la feria de juguetes de 1980 la empresa distribuidora<br />
ofreció un premio de cinco mil marcos a quien<br />
lo resolviera en menos de tres minutos. Entonces<br />
nadie lo ganó, si bien ahora el récord ronda los diez<br />
segundos.<br />
A los pocos años su popularidad era ya inmensa,<br />
especialmente porque su manejo se aprende en unos<br />
segundos y su regla básica (volver a la posición inicial)<br />
resulta muy sencilla. Se han vendido más de trescientos<br />
millones en todo el mundo y, por aquello de<br />
ir actualizándolo, han ido surgiendo en el mercado<br />
versiones con más piezas, algunas de las cuales se<br />
muestran en la figura 25.<br />
Figura 25. También hay cubos de Rubik 4x4x4 y 5x5x5
Las personas que son capaces de resolver el cubo<br />
de Rubik (nunca lo he conseguido, palabra), saben<br />
que exige bastante práctica y dedicación, porque<br />
ir probando al azar no tiene mucho sentido. Tengamos<br />
en cuenta que el número teórico de posiciones<br />
distintas que admite el cubo de Rubik es<br />
519.024.039.293.878.272.000 (8! x 38 x 12! x 212),<br />
que, aunque se reducen en la práctica porque las piezas<br />
están engranadas, todavía queda un número bastante<br />
grande: 43.252.003.274.489.856.000.<br />
Lógicamente, en Internet es fácil encontrar muchísimas<br />
páginas dedicadas al cubo de Rubik. Las<br />
siguientes son sólo unas pocas, pero representativas:<br />
n Para descubrir cómo solucionarlo:<br />
http://www.rubikaz.com/resoluciones.html<br />
http://biboz.net/juegos/cubo-de-rubik/<br />
http://www.angelfire.com/co/cubo/<br />
n Para jugar con el cubo de Rubik online:<br />
http://biboz.net/juegos/cubo-de-rubik/<br />
http://www.rubiks.com/cube_online.html<br />
n Para resolver online el cubo de Rubik, si no queremos<br />
utilizar el viejo truco de despegar las etiquetas<br />
y volverlas a pegar:<br />
http://www.wedran.com/?page=cube/<br />
àLos sudokus<br />
El genial Leonhard Euler (15-4-1707, 18-9-1783)<br />
parece ser que fue el primero en estudiar las propiedades<br />
matemáticas de los llamados cuadrados latinos,<br />
que se caracterizan por el<br />
hecho de que cada símbolo<br />
(Euler utilizó letras latinas, de ahí<br />
su nombre) sólo aparece una vez<br />
en cada fila y en cada columna.<br />
Por ejemplo, el cuadrado de la<br />
figura 26 cumple esta propiedad.<br />
Figura 26. Un cuadrado<br />
latino<br />
Estos cuadrados latinos, que<br />
le surgieron a Euler al estudiar los<br />
cuadrados <strong>mágicos</strong> (de hecho el<br />
título de su texto era Recherches<br />
sur une nouvelle espece de qua-<br />
rre magique), hoy en día son muy utilizados en estadística,<br />
sobre todo en diseño de experimentos.<br />
También, claro está, aparecen en la sección de<br />
pasatiempos de las revistas y periódicos, en forma de<br />
sudokus, que, como resulta evidente de la definición<br />
anterior, son unos cuadrados<br />
latinos 9x9, con la limitación<br />
adicional de que cada uno de<br />
los nueve subcuadrados 3x3<br />
en que está dividido contiene<br />
los nueve dígitos del 1 al 9.<br />
Por ejemplo, en la figura 27<br />
vemos el típico sudoku para<br />
resolver.<br />
Los primeros sudokus de<br />
la historia publicados, mostrados<br />
en la figura 28, aparecie-<br />
ron en mayo de 1979, en el número 16 de la revista<br />
“Dell Pencil Puzzles & Word Games”. Se atribuye su<br />
autoría al arquitecto retirado Howard Garns, fallecido<br />
en 1989, y el nombre original de este pasatiempo era<br />
“Number place” (colocar el número).<br />
Figura 28. Primeros sudokus publicados<br />
En 1984 la editorial Nikoli<br />
exportó el juego a Japón, dándolo<br />
a conocer bajo el nombre<br />
“Suji wa dokushin ni kagiru” (los<br />
números están solo una vez, más<br />
o menos), abreviándose más<br />
adelante a sudoku, contracción<br />
de “su” (número) y “doku”<br />
(solo).<br />
Posteriormente, el juez neozelandés<br />
Wayne Gould desarrolló<br />
un programa que generaba sudokus<br />
y consiguió venderle el<br />
nuevo juego al prestigioso “The<br />
Times”, que lo dio a conocer en el<br />
mundo occidental en noviembre<br />
de 2004, desatando la fiebre por<br />
este pasatiempo numérico… y no<br />
hay peligro de que se agote el<br />
filón, porque pueden generarse<br />
6.670.903.752.021.072.936.960<br />
sudokus diferentes.<br />
Figura 27. Sudoku para<br />
resolver<br />
Figura 29. Soluciones a<br />
los cuadrados <strong>mágicos</strong><br />
propuestos<br />
<strong>Cuadrados</strong><br />
<strong>mágicos</strong><br />
97
Change language