Ejemplos y problemas sobre dinámica de fluidos
Ejemplos y problemas sobre dinámica de fluidos
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<strong>Ejemplos</strong><br />
Ejemplo 1.<br />
Una manguera <strong>de</strong> agua <strong>de</strong> 2.00 cm. <strong>de</strong> diámetro es utilizada para llenar una<br />
cubeta <strong>de</strong> 20.0 litros. Si la cubeta se llena en 1.00 min., ¿cuál es la velocidad con<br />
la que el agua sale <strong>de</strong> la manguera? (1 L = 10 3 cm 3 )<br />
Solución:<br />
El área <strong>de</strong> la sección transversal <strong>de</strong> la manguera es<br />
⎛d ⎞ ⎛2.0 ⎞<br />
A = πr = π ⎜ ⎟ = π ⎜ ⎟ cm = π cm<br />
⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠<br />
2 2<br />
2 2 2<br />
De acuerdo con los datos proporcionados, la tasa <strong>de</strong> flujo es igual a 20.0<br />
litros/min. Si se iguala esto con el producto Av se obtiene<br />
3 3<br />
L 20×10 cm<br />
Av = 20.0 =<br />
min 60.0 s<br />
3 3<br />
20×10 cm<br />
v = =106 cm/s<br />
2<br />
(π cm )(60.0 s)<br />
Ejercicio:<br />
Si el diámetro <strong>de</strong> la manguera se reduce a 1.00 cm, y suponiendo el mismo flujo<br />
¿cuál será la velocidad <strong>de</strong>l agua al salir <strong>de</strong> la manguera?<br />
Respuesta: 424 cm/s<br />
Ejemplo 2.<br />
El tubo horizontal estrecho ilustrado en la figura, conocido como tubo <strong>de</strong> Venturi,<br />
pue<strong>de</strong> utilizarse para medir la velocidad <strong>de</strong> flujo en un fluido incompresible.<br />
Determinaremos la velocidad <strong>de</strong> flujo en el punto 2 si se conoce la diferencia <strong>de</strong><br />
presión P1 -P2.<br />
Solución:<br />
28
Puesto que el tubo es horizontal, y1 = y2, la ecuación <strong>de</strong> Bernoulli aplicada a los<br />
puntos 1 y 2 produce<br />
1 1<br />
P + ρv = P + ρv<br />
2 2<br />
2 2<br />
1 1 2 2<br />
A<br />
Según la ecuación <strong>de</strong> continuidad se tiene que A1v1 = A2v2; o bien v = v .<br />
Al sustituir esta expresión en la ecuación anterior se obtiene<br />
2<br />
1 ⎛A⎞ 2 2 1 2<br />
1 ⎜ ⎟ 2 2 2<br />
2 A1 2<br />
P + ρ v = P + ρv<br />
⎝ ⎠<br />
2(P - P )<br />
v = A<br />
ρ(A - A )<br />
1 2<br />
2 1 2 2<br />
1 2<br />
29<br />
1<br />
2<br />
A1<br />
2<br />
También se pue<strong>de</strong> obtener una expresión para v1 utilizando este resultado y la<br />
ecuación <strong>de</strong> continuidad. Es <strong>de</strong>cir,<br />
2(P - P )<br />
1 2<br />
v 1 = A2 2 2<br />
ρ(A 1 - A 2)<br />
Como A2 < A1, entonces P2 < P1. En otras palabras, la presión se reduce en la<br />
parte estrecha <strong>de</strong>l tubo. Este resultado en cierto modo es análogo a la siguiente<br />
situación: Considérese un cuarto atestado <strong>de</strong> personas. Tan pronto se abre la<br />
puerta la gente empieza a salir y el arremolinamiento (presión) es menor cerca <strong>de</strong><br />
la puerta don<strong>de</strong> el movimiento (flujo) es mayor.<br />
Ejemplo 3.<br />
Un tanque que contiene un líquido <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsidad ρ tiene un agujero en uno <strong>de</strong> sus<br />
lados a una distancia y1 <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el fondo. El diámetro <strong>de</strong>l agujero es pequeño<br />
comparado con el diámetro <strong>de</strong>l tanque. El aire <strong>sobre</strong> el líquido se mantiene a una<br />
presión P. Determine la velocidad a la cual el fluido sale por el agujero cuando el<br />
nivel <strong>de</strong>l líquido está a una distancia h arriba <strong>de</strong>l agujero.
Solución:<br />
Debido a que A2 >> A1, el fluido está aproximadamente en reposo en la parte<br />
superior, punto 2. Al aplicar la ecuación <strong>de</strong> Bernoulli a los puntos 1 y 2 y<br />
consi<strong>de</strong>rando que en el agujero P1 = P0, se obtiene<br />
Pero y2 – y1 = h, <strong>de</strong> manera que<br />
1<br />
P + ρv + ρgy = P + ρgy<br />
2<br />
0<br />
2<br />
1 1 2<br />
2(P - P )<br />
ρ<br />
0<br />
v 1 = + 2gh<br />
El flujo <strong>de</strong> agua por el agujero es A1v1. Cuando P es gran<strong>de</strong> comparada con la<br />
presión atmosférica P0 (el término 2gh pue<strong>de</strong> ignorarse), la velocidad <strong>de</strong> salida <strong>de</strong>l<br />
flujo es principalmente una función <strong>de</strong> P.<br />
Si el tanque está abierto a la atmósfera, entonces P = Po y v1 = 2gh En otras<br />
palabras, la velocidad <strong>de</strong> salida <strong>de</strong>l flujo para un tanque abierto es igual a la<br />
adquirida por un cuerpo que cae libremente <strong>de</strong>s<strong>de</strong> una altura h. Esto se conoce<br />
como la ley <strong>de</strong> Torricelli.<br />
Ejemplo 4.<br />
Calcular la potencia <strong>de</strong> salida <strong>de</strong> un aerogenerador que tiene un diámetro <strong>de</strong> aspa<br />
<strong>de</strong> 80 m, suponiendo una velocidad <strong>de</strong>l viento <strong>de</strong> 10 m/s y una eficiencia total <strong>de</strong><br />
15%.<br />
Solución:<br />
Puesto que el radio <strong>de</strong>l aspa es igual a 40 m, el área <strong>de</strong> la sección transversal <strong>de</strong>l<br />
rotor es<br />
2 2 3 2<br />
A = πr = π(40m) = 5.0 × 10 m<br />
30
Si pudiera extraerse 100% <strong>de</strong> la energía <strong>de</strong>l viento disponible, la máxima potencia<br />
disponible sería<br />
Potencia máxima =<br />
1 3<br />
ρv<br />
2<br />
= 0.5(1.2 kg/m 3 ) (5.0 X 10 3 m 2 ) (10 m/s) 3 = 3.0 X 10 6 W<br />
Como la eficiencia total es <strong>de</strong> 15%, la potencia <strong>de</strong> salida es<br />
Potencia = 0.15 (potencia máxima) = 0.45 X 10 6 W.<br />
En comparación, una gran planta <strong>de</strong> turbina <strong>de</strong> vapor tiene una salida <strong>de</strong> potencia<br />
<strong>de</strong> 1 GW. En consecuencia, se requerirían 2200 aerogeneradores para igualar su<br />
salida a la potencia <strong>de</strong> la planta <strong>de</strong> turbina. El gran número <strong>de</strong> generadores<br />
requeridos para una salida <strong>de</strong> potencia razonable es, sin duda, una <strong>de</strong>sventaja<br />
fundamental <strong>de</strong> la generación eólica.<br />
Ejemplo 5.<br />
Medida <strong>de</strong>l coeficiente <strong>de</strong> viscosidad. Una placa metálica cuya área es igual a 0.15<br />
m 2 se conecta a una masa <strong>de</strong> 8.0 g por medio <strong>de</strong> una cuerda que pasa <strong>sobre</strong> una<br />
polea i<strong>de</strong>al (cero masa y sin fricción), como en la figura. Un lubricante que tiene un<br />
espesor <strong>de</strong> película <strong>de</strong> 0.30 mm es colocado entre la placa y la superficie. Cuando<br />
se suelta, la placa se mueve hacia la <strong>de</strong>recha con una velocidad constante <strong>de</strong><br />
0.085 m/s. Encuentre el coeficiente <strong>de</strong> viscosidad <strong>de</strong>l lubricante.<br />
Solución:<br />
Debido a que la placa se mueve con velocidad constante, su aceleración es cero.<br />
Se mueve hacia la <strong>de</strong>recha bajo la acción <strong>de</strong> la fuerza T ejercida por la cuerda y<br />
por la fuerza <strong>de</strong> fricción f asociada al flujo viscoso. En este caso, la tensión es<br />
igual en magnitud al peso suspendido; por lo tanto,<br />
31
f = T = mg = (8.0 X 10-3 kg) (9.80m/s 2 ) = 7.8 X 10 -2 N<br />
El lubricante en contacto con la superficie horizontal está en reposo, en tanto que<br />
la capa en contacto con la placa se mueve a la velocidad <strong>de</strong> la placa. Suponiendo<br />
que el gradiente <strong>de</strong> velocidad es uniforme, tenemos<br />
-2 -3<br />
fl (7.8 x 10 N) (0.30 x 10 m)<br />
2<br />
η = =<br />
Av (0.15 m ) (0.85 m/s)<br />
=5.5 x 10 -3 Ns/m 2<br />
Ejemplo 6.<br />
La figura muestra cómo la corriente <strong>de</strong> agua que sale <strong>de</strong> un grifo se estrecha<br />
conforme va cayendo. La superficie transversal A1 es 1.2 cm 2 y la <strong>de</strong> A2 es 0.35<br />
cm 2 . Los dos niveles están separados por una distancia vertical h (45 mm). ¿Con<br />
qué rapi<strong>de</strong>z fluye el agua <strong>de</strong>l grifo?<br />
Solución:<br />
Consi<strong>de</strong>rando que el flujo <strong>de</strong> volumen es constante, A1v1 = A2v2. Por otro lado,<br />
aplicando la conservación <strong>de</strong> la energía a un elemento <strong>de</strong>l fluido <strong>de</strong> masa m, entre<br />
1 2 1 2<br />
los 2 puntos, se tiene que K2 + U2 = K1 + U1. Es <strong>de</strong>cir, mv 2 + 0 = mv 1 + mgh .<br />
2 2<br />
Al eliminar v2 entre las dos ecuaciones y al resolver para v1 se obtiene que<br />
2<br />
2ghA2<br />
v 1 = 2 2<br />
A 1 - A 2<br />
Sustituyendo los valores correspondientes, se obtiene que v1 = 28.6 cm/s.<br />
El flujo = A1v1 = πr1 2 v1 = (3.1416)(1.2 cm 2 )(28.6 cm/s) = 34 cm 3 /s.<br />
Con este flujo, el chorro tardaría unos 3 s para llenar un recipiente <strong>de</strong> 100 mI.<br />
Ejemplo 7.<br />
32
Un tinaco a una altura h = 32 m y <strong>de</strong> diámetro D = 3.0 m suministra agua a una<br />
casa. Un tubo horizontal en su base tiene un diámetro d = 2.54 cm (1 pulgada).<br />
Para aten<strong>de</strong>r las necesida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la casa, el tubo ha <strong>de</strong> suministrar agua con una<br />
rapi<strong>de</strong>z R = 0.0025 m 3 /s (cerca <strong>de</strong> 2/3 <strong>de</strong> galón por segundo). a) Si el agua fluye<br />
con la rapi<strong>de</strong>z máxima, ¿qué presión tendría el tubo horizontal? b) Un tubo más<br />
pequeño, <strong>de</strong> diámetro d' = 1.27 cm (0.5 in), abastece el tercer piso <strong>de</strong> la casa,<br />
situado a 7.2 m <strong>sobre</strong> el nivel <strong>de</strong>l suelo. ¿Cuáles son la rapi<strong>de</strong>z <strong>de</strong> flujo y la<br />
presión <strong>de</strong>l agua en este tubo? No tenga en cuenta la viscosidad <strong>de</strong>l agua.<br />
Solución:<br />
(a) Aplicamos la ecuación <strong>de</strong> Bernoulli a lo largo <strong>de</strong> la línea <strong>de</strong> corriente ABC que<br />
se ve en la figura. En los puntos A y B, se tiene que<br />
1 2 1 2<br />
p A + ρv A + ρgh = p B + ρv B + 0<br />
2 2<br />
En A la presión pA = p0, la presión atmosférica. Para la presión en B se obtiene<br />
1 2 2<br />
p = p + ρgh + ρ(v - v )<br />
B 0 A B<br />
2<br />
Por otro lado, consi<strong>de</strong>rando que el flujo es constante, se tiene que vAAA = vBAB =<br />
Flujo. Consi<strong>de</strong>rando el valor <strong>de</strong>l flujo ( = 0.0025 m 3 /s) y las áreas en cada punto,<br />
las velocida<strong>de</strong>s en cada punto son<br />
Flujo<br />
-4<br />
v A = = 3.5×10 m /s<br />
AA<br />
Flujo<br />
v B = = 4.9 m /s<br />
A<br />
B<br />
1 2<br />
Nótese que el término ρvA<br />
en la expresión <strong>de</strong> pB es muy pequeño comparado<br />
2<br />
1 2<br />
con el término ρvB<br />
;. En otras palabras, la rapi<strong>de</strong>z <strong>de</strong>l flujo en la parte superior<br />
2<br />
<strong>de</strong>l tanque es muy pequeña, <strong>de</strong>bido a su enorme superficie transversal. Ahora se<br />
obtiene para la presión en el punto B<br />
pB = 1.01 x 10 5 Pa + (1.0 x l0 3 kg/m 3 )(9.8 m/s 2 )(32 m)<br />
33
- 0.5(1.0 x 10 3 kg/m 3 )(4.9m/s) 2<br />
= 1.01 x 10 5 Pa + 3.14 x 10 5 Pa -0.12 x 10 5 Pa = 4.03 x 10 5 Pa.<br />
Si el agua en el tubo horizontal no fluyera (es <strong>de</strong>cir, si la válvula estuviera<br />
cerrada), la presión estática en B incluiría sólo los dos primeros términos, lo cual<br />
es igual a 4.15 x 10 5 Pa. La presión cuando el agua fluye se reduce <strong>de</strong> este valor<br />
estático en la cantidad correspondiente a la presión <strong>dinámica</strong>.<br />
(b) Si se quiere que el tubo más estrecho que conduce al tercer piso tenga la<br />
misma rapi<strong>de</strong>z <strong>de</strong> flujo, la velocidad en C <strong>de</strong>berá ser<br />
Flujo<br />
v C = = 19.7 m /s<br />
A<br />
C<br />
es <strong>de</strong>cir, cuatro veces el valor en B. Por otro lado, aplicando la ecuación <strong>de</strong><br />
Bernoulli entre los puntos A y C se obtiene<br />
1 1<br />
p + ρv + ρgy = p + ρv + ρgy<br />
2 2<br />
2 2<br />
A A A C C C<br />
o bien<br />
1 2 2<br />
p C = p 0 + ρ(v A - v C) + ρg(y A - y B)<br />
2<br />
pC = 1.01 x 10 5 Pa + (0.5)(1.0 x 10 3 kg/m 3 )(19.7 m/s) 2<br />
+(1.0 x 10 3 kg/m 3 )(9.8m/s 2 )(32m - 7.2 m)<br />
= 1.01 x 10 5 Pa -1.95 x 10 5 Pa + 2.43 x 10 5 Pa = 1.49 x 10 5 Pa.<br />
Dada la mayor velocidad <strong>de</strong> flujo a través <strong>de</strong>l tubo más pequeño, la contribución<br />
<strong>dinámica</strong> a la presión es mucho más gran<strong>de</strong> en C que en B. Los efectos estáticos<br />
y dinámicos tien<strong>de</strong>n a aminorar la presión en este lugar en relación con B.<br />
Ejemplo 8.<br />
Un tubo <strong>de</strong> Pitot se pue<strong>de</strong> emplear para calcular la velocidad <strong>de</strong>l flujo <strong>de</strong>l aire<br />
mediante la medición <strong>de</strong> la diferencia entre la presión total y la presión estática. Si<br />
el fluido en el tubo es mercurio, con <strong>de</strong>nsidad 13,600 kg/m 3 , y ∆h = 5 cm,<br />
encontrar la velocidad <strong>de</strong>l flujo <strong>de</strong> aire. Suponga que la <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong>l aire es 1.25<br />
kg/m 3 .<br />
34
Solución:<br />
Por conservación <strong>de</strong> la energía se tiene que<br />
1 2<br />
ρairev = ρhgg∆h 2<br />
Despejando la velocidad <strong>de</strong>l aire, se obtiene<br />
2ρhgg∆h v =<br />
ρ<br />
aire<br />
Sustituyendo los valores se obtiene que v = 103.3 m/s.<br />
Problemas <strong>de</strong> opción múltiple<br />
Líneas <strong>de</strong> corriente y la ecuación <strong>de</strong> continuidad<br />
1. El flujo <strong>de</strong> un fluido que entra en un lado <strong>de</strong> un contenedor es 3.0 kg/s; el que<br />
sale <strong>de</strong>l otro lado <strong>de</strong>l contenedor es 2.0 kg/s. Suponiendo que el contenedor esté<br />
completamente lleno con líquido y que no haya otra forma <strong>de</strong> que entre o salga,<br />
po<strong>de</strong>mos concluir que<br />
a) el punto <strong>de</strong> entrada tiene una sección transversal mayor que el punto <strong>de</strong> salida.<br />
b) la magnitud <strong>de</strong> la velocidad <strong>de</strong> entrada es mayor que la <strong>de</strong> la velocidad <strong>de</strong><br />
salida.<br />
c) <strong>de</strong>be aumentar la <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong>l fluido <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>l contenedor.<br />
d) el fluido es incompresible.<br />
2. Un largo tubo recto <strong>de</strong> sección circular tiene un radio que varía a lo largo <strong>de</strong>l<br />
tubo. En él hay un flujo estacionario, sin fuentes ni sumi<strong>de</strong>ros. En un punto P1 <strong>de</strong>l<br />
tubo el radio es r1 y el flujo es Q1, constante. Más a<strong>de</strong>lante, en el tubo hay un<br />
punto P2 don<strong>de</strong> el radio es r2 = r1/3.<br />
(a) El flujo <strong>de</strong> masa a través <strong>de</strong> P2 se mi<strong>de</strong> y es igual a Q2 don<strong>de</strong> Q2/Q1 es<br />
A) 9. B) 3. C) 1. D) 1/9. E) <strong>de</strong>pendiente <strong>de</strong> las <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l fluido en P1 y P2.<br />
(b) La razón <strong>de</strong> las rapi<strong>de</strong>ces <strong>de</strong> flujo v2/v1 es<br />
35
A) 9, B) 3. C) 1. O) 1/9, E) <strong>de</strong>pendiente <strong>de</strong> las <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l fluido en P1 y P2.<br />
3. Una corriente estacionaria <strong>de</strong> agua cae verticalmente <strong>de</strong> un tubo. Suponga que<br />
el flujo es incompresible, A una distancia d1 <strong>de</strong>bajo <strong>de</strong>l tubo la rapi<strong>de</strong>z <strong>de</strong>l agua es<br />
1,0 m/s y a una distancia d2 la rapi<strong>de</strong>z <strong>de</strong>l agua es 2.0 m/s. ¿Cuál es la razón <strong>de</strong> la<br />
sección transversal <strong>de</strong>l flujo a una altura d1 a la sección transversal <strong>de</strong> altura d2?<br />
A) 4:1 B) 2:1 C) 1:2 O) 1:4<br />
4. Una corriente estacionaria <strong>de</strong> agua cae verticalmente <strong>de</strong> un tubo. Suponga que<br />
el flujo es incompresible; se parece al <strong>de</strong> la figura 16-5. ¿De qué manera varía la<br />
presión en el agua con la altura en la corriente?<br />
A) La presión en el agua es mayor en los puntos más bajos <strong>de</strong> la corriente.<br />
B) La presión en el agua es menor en los puntos más bajos <strong>de</strong> la corriente.<br />
C) La presión en el agua es igual en todos los puntos <strong>de</strong> la corriente.<br />
5. Un fluido incompresible cruza un tubo horizontal. En un punto <strong>de</strong>l tubo la<br />
presión <strong>de</strong>l fluido es p1 y su rapi<strong>de</strong>z es v1. Más abajo la presión es p2 y la rapi<strong>de</strong>z<br />
<strong>de</strong>l fluido es 2v1. ¿Qué pue<strong>de</strong> concluirse respecto a p1 y p2 ?<br />
A) p1 = p2. B) p1 = 3p2. C) PI -2P2.<br />
C) Sólo que PI > P2.<br />
6. Un fluido incompresible atraviesa un tubo horizontal. En un punto <strong>de</strong>l tubo la<br />
presión es P1. Más abajo <strong>de</strong> él la presión es P2 > P1. ¿Qué pue<strong>de</strong> concluirse<br />
respecto a las superficies <strong>de</strong> sección transversal <strong>de</strong>l tubo A1 en el punto 1 y A2 en<br />
el punto 2?<br />
A) A1 > A2. B) A1 < A2.<br />
C) Nada pue<strong>de</strong> concluirse <strong>sobre</strong> la relación entre Al y A2.<br />
Aplicaciones <strong>de</strong> la ecuación <strong>de</strong> Bernoulli y la ecuación <strong>de</strong> continuidad<br />
7. Una bomba es capaz <strong>de</strong> mantener una diferencia <strong>de</strong> presión por longitud<br />
unitaria en un tubo cilíndrico <strong>de</strong> radio R1 y produce un flujo <strong>de</strong> masa Qo. Se quiere<br />
reemplazar el tubo por dos tubos cilíndricos más pequeños con radio R2. La<br />
bomba mantendrá la diferencia original <strong>de</strong> presión por longitud unitaria en los dos<br />
tubos y la masa total que los atraviesa permanecerá igual a Qo. ¿Cuál es la razón<br />
R1/R2?<br />
A) 2 B) 2 C) 4 2 D) 4<br />
Problemas<br />
1. Suponga que dos tanques, 1 y 2, con una gran abertura en la parte superior,<br />
contienen líquidos diferentes. Debajo <strong>de</strong> la superficie líquida, en cada tanque se<br />
perfora un hoyo pequeño a la misma profundidad, pero el hoyo en el tanque 1<br />
tiene la mitad <strong>de</strong> la superficie transversal <strong>de</strong>l hoyo en el tanque 2. a) ¿Cuál es la<br />
razón ρ1/ρ2 <strong>de</strong> las <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> los <strong>fluidos</strong>, si se observa que el flujo <strong>de</strong> masa es<br />
igual en los dos hoyos? b) ¿Cuál es la razón <strong>de</strong> las rapi<strong>de</strong>ces <strong>de</strong> flujo (flujo <strong>de</strong><br />
36
volumen) en los dos tanques? c) Se quiere igualar las dos rapi<strong>de</strong>ces agregando o<br />
extrayendo fluido en el tanque 2. ¿Cuál <strong>de</strong>berá ser la nueva altura <strong>de</strong>l fluido arriba<br />
<strong>de</strong>l hoyo en el tanque 2 para que la rapi<strong>de</strong>z <strong>de</strong> su flujo se iguale a la <strong>de</strong>l tanque 1?<br />
2. Un tanque está lleno <strong>de</strong> agua hasta una altura H. Se perfora un hoyo en una <strong>de</strong><br />
sus pare<strong>de</strong>s a una profundidad h <strong>de</strong>bajo <strong>de</strong> la superficie <strong>de</strong>l agua. (a) Demuestre<br />
que la distancia x <strong>de</strong>l pie <strong>de</strong> la pared don<strong>de</strong> la corriente choca con el suelo está<br />
dada por x = 2 h(H - h) (b) ¿Podría hacerse un hoyo a otra profundidad, <strong>de</strong> modo<br />
que esta segunda corriente tuviera el mismo alcance? De ser así, ¿a qué<br />
profundidad? (c) ¿A qué profundidad <strong>de</strong>bería hacerse el hoyo para que la corriente<br />
emergente cayera al suelo a la máxima distancia <strong>de</strong> la base <strong>de</strong>l tanque? ¿Cuál es<br />
esa distancia?<br />
3. Un sifón es un aparato para sacar líquido <strong>de</strong> un contenedor que no se pue<strong>de</strong><br />
la<strong>de</strong>ar. Funciona como se indica en la figura. Debe estar lleno inicialmente, pero<br />
una vez que se induce el flujo, el líquido fluirá hasta que su nivel caiga por <strong>de</strong>bajo<br />
<strong>de</strong> la abertura en A. El líquido tiene una <strong>de</strong>nsidad ρ y una viscosidad insignificante.<br />
(a) ¿Con que rapi<strong>de</strong>z fluye el liquido en C? (b) ¿Qué presión tiene en el punto B?<br />
37
Solución:<br />
(a) Supongamos que se coloca un sistema <strong>de</strong> referencia en el punto A. Aplicando<br />
la ecuación <strong>de</strong> Bernoulli en en punto A y en un punto <strong>de</strong> la superficie <strong>de</strong>l agua que<br />
<strong>de</strong>signamos como D, se tiene:<br />
1 1<br />
p + ρv + ρgy = p + ρv + ρgy<br />
2 2<br />
2 2<br />
A A A D D D<br />
en el punto D, pD = p0 (presión atmosférica), vD = o, yD = d. En el punto A se tiene<br />
pA = ¿?, vA = 0, yA = 0. Con todo lo anterior se obtiene que<br />
p A = p 0 + ρgd<br />
Ahora se aplica la ecuación <strong>de</strong> Bernoulli entre el punto A y el punto C:<br />
1 1<br />
p + ρv + ρgy = p + ρv + ρgy<br />
2 2<br />
2 2<br />
A A A C C C<br />
En el punto C, se tiene que pC = p0, vC = ¿?, yC = -h2. Sustituyendo los valores<br />
conocidos en el punto A y los valores conocidos en el punto C, se obtiene:<br />
1 2<br />
p 0 + ρgd = p 0 + ρv C + ρg(-h 2)<br />
2<br />
Despejando vC se obtiene la velocidad a la salida <strong>de</strong>l sifón<br />
v C = 2g(d + h 2)<br />
(b). Para calcular la presión en el punto B, se aplica la ecuación <strong>de</strong> Bernoulli entre<br />
el punto C y el punto B:<br />
1 1<br />
p + ρv + ρgy = p + ρv + ρgy<br />
2 2<br />
2 2<br />
C C C B B B<br />
En en punto C se tiene que v C = 2g(d + h 2)<br />
, pC = p0, yC = -h2. En el punto B, vB =<br />
vC, yB = h1 + d. Sustituyendo en la ecuación <strong>de</strong> Bernoulli, se obtiene que<br />
pB = p0 – ρg(h2 + h1 + d).<br />
Obsérvese que la velocidad en B es la misma que la velocidad en C porque el flujo<br />
a través <strong>de</strong> la manguera o sifón es constante.<br />
4. Cuando un objeto está sumergido en un líquido en reposo ¿por qué la fuerza<br />
neta <strong>sobre</strong> el objeto es igual a cero en la dirección horizontal?<br />
38
5. Explique por qué pue<strong>de</strong> flotar una botella sellada llena parcialmente con un<br />
líquido.<br />
6. Una placa plana está inmersa en un líquido en reposo. ¿Para qué orientación<br />
<strong>de</strong> la placa la presión <strong>sobre</strong> su superficie es uniforme?<br />
7. Debido a que la presión atmosférica es aproximadamente 10 5 N/m 2 y el área <strong>de</strong>l<br />
tórax <strong>de</strong> una persona es alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> 0.13 m 2 , la fuerza <strong>de</strong> la atmósfera <strong>sobre</strong> el<br />
tórax <strong>de</strong> uno <strong>de</strong> nosotros es <strong>de</strong> aproximadamente 13000 N. En vista <strong>de</strong> esta<br />
enorme fuerza, ¿por qué nuestros cuerpos no se colapsan?<br />
8. ¿Cómo <strong>de</strong>terminaría usted la <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong> una roca que tiene una forma<br />
irregular?<br />
9. Un pequeño pedazo <strong>de</strong> acero está pegado a un bloque <strong>de</strong> ma<strong>de</strong>ra. Cuando la<br />
ma<strong>de</strong>ra se coloca en una tina con el acero en la parte superior, la mitad <strong>de</strong>l bloque<br />
se sumerge! Si el bloque se invierte, <strong>de</strong> manera que el acero que<strong>de</strong> bajo el agua,<br />
¿la cantidad sumergida <strong>de</strong>l bloque aumenta o disminuye o permanece igual?<br />
¿Qué pasa con el nivel <strong>de</strong> agua en el tubo cuando el bloque se invierte?<br />
10. La razón <strong>de</strong>l flujo <strong>de</strong> agua por un tubo horizontal es 2.00 m 3 / min. Determine la<br />
velocidad <strong>de</strong>l flujo en un punto don<strong>de</strong> el diámetro <strong>de</strong>l tubo es a) 10.0 cm. b) 5.0cm.<br />
11. En un gran tanque <strong>de</strong> almacenamiento lleno se forma un pequeño hoyo en su<br />
costado en un punto 16 m abajo <strong>de</strong>l nivel <strong>de</strong>l agua. Si la razón <strong>de</strong> flujo <strong>de</strong> la fuga<br />
es 2.5 x 10 -3 m 3 /min. Determine (a) la velocidad <strong>de</strong>l agua al salir por el hoyo, y (b)<br />
el diámetro <strong>de</strong>l hoyo.<br />
12. Un tubo horizontal <strong>de</strong> 10.0 cm. <strong>de</strong> diámetro tiene una reducción uniforme que<br />
lo conecta con un tubo <strong>de</strong> 5.0 cm. <strong>de</strong> diámetro. Si la presión <strong>de</strong>l agua en el tubo<br />
gran<strong>de</strong> es 8.0 X 10 4 Pa y la presión en el tubo más pequeño es 6.0 x 10 4 Pa, ¿a<br />
qué razón circula el agua a través <strong>de</strong> los tubos?<br />
13. Se bombea agua <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el río Colorado hasta la Villa <strong>de</strong>l Gran Cañón a través<br />
<strong>de</strong> una tubería <strong>de</strong> 15.0 cm. <strong>de</strong> diámetro. El río está a 564 m <strong>de</strong> altura y el pueblo a<br />
2096 m. a) ¿Cuál es la presión mínima con que <strong>de</strong>be bombearse el agua para<br />
llegar a la población? b) Si se bombea 4500 m 3 diarios, ¿cuál es la velocidad <strong>de</strong>l<br />
agua en la tubería c) ¿Cuál es la presión adicional necesaria para entregar este<br />
flujo? (Nota: Usted pue<strong>de</strong> suponer que la intensidad <strong>de</strong>l campo gravitacional y la<br />
<strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong>l aire son constantes en este intervalo <strong>de</strong> alturas.)<br />
14. Por una manguera contra incendios <strong>de</strong> 6.35 cm. <strong>de</strong> diámetro fluye agua a una<br />
razón <strong>de</strong> 0.0120 m 3 /s. La manguera termina en una boquilla <strong>de</strong> diámetro interior<br />
igual a 2.20 cm. ¿Cuál es la velocidad con la cual el agua sale <strong>de</strong> la boquilla?<br />
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15. El túnel <strong>de</strong> agua Garfield Thomas en la Universidad Estatal <strong>de</strong> Pensilvania<br />
tiene una sección transversal circular que se acorta <strong>de</strong>s<strong>de</strong> un diámetro <strong>de</strong> 3.6 m<br />
hasta la sección <strong>de</strong> prueba, cuyo diámetro es <strong>de</strong> 1.2 m. Si la velocidad <strong>de</strong> flujo es<br />
3.0 m/s en la tubería <strong>de</strong> mayor diámetro, <strong>de</strong>termine la velocidad <strong>de</strong> flujo en la<br />
sección <strong>de</strong> prueba.<br />
16. Un géiser en el parque Yellowstone genera erupciones en intervalos <strong>de</strong><br />
aproximadamente 1 hora y la altura <strong>de</strong> la fuente alcanza 40 m. (a) ¿Con qué<br />
velocidad sale agua <strong>de</strong>l suelo? (b) ¿Cuál es la presión (arriba <strong>de</strong> la atmosférica)<br />
en la cámara subterránea caliente si su profundidad es <strong>de</strong> 175 m?<br />
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