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Maxwell Onda Electromagnetica
Física (19436)
Universidad de Castilla La Mancha
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Ecuaciones de Maxwell. Onda
electromagnética.
Índice
1. Ecuaciones de Maxwell
Enunciado y concepto de rotacional Discusión y comparación entre Ey B Solución de las ecuaciones de Maxwell: la onda electromagnética
2. La onda electromagnética
Características Sentido físico: propagación de Ey B Energía y vector de Poynting El espectro de la radiación electromagnética. La luz.
Ondas electromagnéticas Ecuaciones de Maxwell 2
Enunciado de las ecuaciones de Maxwell
1) ∫∫E·dA=q/ε 0 Teorema de Gauss para E
El flujo de líneas (abiertas) de E a través de una superficie
cerrada A depende de la carga eléctrica encerrada por A
2) ∫E·dL= - dΦm/dt = - d(∫∫B·dA)/dt Teorema de Ampère para E
la circulación de E a lo largo de una línea cerrada L depende de
la variación de flujo magnético a través de la sección encerrada
por L
3) ∫∫B·dA=0 Teorema de Gauss para B
El flujo de líneas (cerradas) de B a través de una superficie
cerrada A es siempre nulo
4) ∫B·dL= μ 0 (I + ID)= μ 0 ·I + μ 0 ε 0 ·d(∫∫E·dA)/dt Teorema de
Ampère para B
La circulación de B a lo largo de una línea cerrada L depende
de las corrientes eléctricas encerradas por L, esto es, I e ID
Ondas electromagnéticas Ecuaciones de Maxwell 4
Concepto de rotacional (II)
Atención: Como por un punto del espacio pasan infinitos planos, la
sección dA puede orientarse de infinitas maneras así como el
contorno L. Debido a esto, la circulación dC será distinta para cada
caso, dependiendo de la orientación de dA (véase el ejemplo de la
página anterior).
Se hace imprescindible caracterizar el rotacional de forma vectorial
Características del vector rotacional:
Módulo: mide la densidad superficial de circulación de un campo
vectorial en cada punto del espacio, rotG=dC/dA
Dirección: perpendicular al plano donde la circulación es máxima
Sentido: el de un tornillo que avanza al girar como la circulación
P. Aplicación: en el lugar del espacio donde se estudie la circulación
Nota: Es el tercer operador vectorial, rotG=det[∂/∂xi,G]
Ejemplo: G=3y(k)
Ondas electromagnéticas Ecuaciones de Maxwell 5
El rotacional para E y B
Campo eléctrico, E
Si, C=∫E·dL= -dΦm/dt= -d(∫∫B·dA)/dt, o bien, dC=E·dL= -d(B·dA)/dt
(ecuaciones de Maxwell), entonces:
rotE=dC/dA= [-d(B·dA)/dt]/dA
rotE=-dB/dt
Campo magnético, B
Si, C=∫B·dL= μ 0 ·I + μ 0 ε 0 ·d(∫∫E·dA)/dt, o bien, dC=B·dL= μ 0 ·I +
μ 0 ε 0 ·d(E·dA)/dt (ecuaciones de Maxwell), entonces:
rotB=dC/dA= [μ 0 ·I + μ 0 ε 0 ·d(E·dA)/dt]/dA= μ 0 ·(I/dA) + μ 0 ε 0 ·dE/dt
rotB= μ 0 ·j + μ 0 ε 0 ·dE/dt
Ondas electromagnéticas Ecuaciones de Maxwell 7
Solución de las ecuaciones de Maxwell (I)
En el espacio vacío: q=0 e I= ∫E·dL= -dΦm/dt= - d(∫∫B·dA)/dt (1) ∫B·dL= μ 0 ε 0 ·dΦe/dt = μ 0 ε 0 ·d(∫∫E·dA)/dt (2)
Supongamos que Ees paralelo al eje z, Bparalelo al eje y, y ambos campos variables según el eje x.
- La circulación de Ea lo largo del contorno de la figura es: C=[E(x+dx,t)-E(x,t)]·L=(∂E/∂x)·dx·L. El flujo de Bsobre dicho contorno cerrado es Φm=B·dA=B·L·dx. Aplicando (1), C=-dΦm/dt y entonces, (∂E/∂x)·dx·L=-d(B·L·dx)/dt
Finalmente, ∂E/∂x= -dB/dt
- La circulación de Ba lo largo del contorno de la figura es: C=[-B(x+dx,t)+B(x,t)]·L=-(∂B/∂x)·dx·L. El flujo de Esobre dicho contorno cerrado es Φe=E·dA=E·L·dx. Aplicando (2), C=μ 0 ε 0 ·dΦe/dt y entonces, -(∂B/∂x)·dx·L=μ 0 ε 0 d(E·L·dx)/dt
Finalmente, ∂B/∂x= -μ 0 ε 0 ·(dE/dt)
Ondas electromagnéticas Ecuaciones de Maxwell 8
Solución de las ecuaciones de Maxwell (II)
Resultados de la página anterior: ∂E/∂x= -dB/dt ∂B/∂x= -μ 0 ε 0 ·(dE/dt) Ahora derivamos la primera igualdad respecto de xy la combinamos con la segunda:
Este resultado es idéntico al encontrado en la página 11 del tema “Movimiento ondulatorio”, la ecuación de ondas. Por ello, podemos afirmar que el campo eléctrico se propagará a lo largo del eje x como una onda:
E(x,t)=E 0 sen(kx-ωt)
Del mismo modo para el campo magnético,
B(x,t)=B 0 sen(kx-ωt)
NOTA:Estas soluciones deben cumplir la condición de que ambos campos se propaguen por el eje xcon una velocidad tal que v 2 =ω 2 /k 2 =1/μ 0 ε 0
2
2 2 0 0 0 0
2 t
####### E
t
####### E
x t
####### B
t t
####### B
x x
####### E
####### ∂
####### ∂
####### ⎟⎟=
####### ⎠
####### ⎞
####### ⎜⎜
####### ⎝
####### ⎛
####### ∂
####### ∂
####### −
####### ∂
####### ∂
####### ⎟⎟=−
####### ⎠
####### ⎞
####### ⎜⎜
####### ⎝
####### ⎛
####### ∂
####### ∂
####### ∂
####### ∂
####### ⎟⎟=−
####### ⎠
####### ⎞
####### ⎜⎜
####### ⎝
####### ⎛
####### ∂
####### ∂
####### ∂
####### ∂
####### =−
####### ∂
####### ∂
r r r r r μ ε μ ε
2
2 2 0 0 0 0 0 0 0 0
2 t
B t
B x t
E t t
E x x
B ∂
= ∂ ⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜ ⎝
⎛ ∂
−∂ ∂
=− ∂ ⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ ∂
=− ∂ ⎟ ⎠
⎞ ⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ ∂
=− ∂ ∂
∂
r r r r με με με με
Ondas electromagnéticas La onda electromagnética 10
La onda electromagnética (II)
Características
La onda electromagnética sólo tiene
dependencia espacial en la dirección por la que se transmite, p. la onda electromagnética E(x,t)=E 0 sen(kx-ωt) y B(x,t)=B 0 sen(kx-ωt) se mueve a lo largo de x E y B oscilan simultáneamente (o están en fase)
Si en una onda mecánica ω es la frecuencia con la que se perturba el medio material, en una onda electromagnética ω es la frecuencia con la que se hace variar E o B en el punto del espacio origen de la onda electromagnética
Al originarse un E(t) con una frecuencia ω, se creará un B(t) con la misma frecuencia, E(t)↔B(t). El correspondiente campo electromagnético se propagará como una onda con frecuencia ω
La relación de perpendicularidad entre E y B se mantiene durante toda la propagación de la onda electromagnética
La onda electromagnética es un ejemplo de onda transversal
Ondas electromagnéticas La onda electromagnética 11
La onda electromagnética (III)
Características
La velocidad de propagación en el vacío de una onda electromagnética es precisamente la conocida como velocidad de la luz, c. En un medio material se cumple que μ>μ 0 y ε>ε 0 luego, v<c.
En el ejemplo utilizado, se debe cumplir que ∂E/ ∂x= -∂B/∂t. Si substituimos las ecuaciones de la onda electromagnética entonces E 0 ·k·cos(kx-ωt)=-B 0 (-ω)·cos(kx-ωt), o bien, E 0 =B 0 ·(ω/k)=v·B 0 Como E y B oscilan en fase, esta relación se debe mantener durante toda la propagación de la onda por lo que E=v·B (E=c·B en el vacío)
Las ecuaciones E(x,t)=E 0 sen(kx-ωt) y B(x,t)=B 0 sen(kx-ωt) corresponden a una onda electromagnética plana (propagación unidimensional) pero también existen ondas electromagnéticas cilíndricas (2D) o esféricas (3D)
El plano del Ey el de Bno cambian: onda polarizada linealmente
vvacío =c= = ⋅ m s vmaterial = <c με με
####### 1
####### 3 10 /
####### 18
0 0
Ondas electromagnéticas La onda electromagnética 13
Energía de una onda electromagnética
¿Cuánto vale la energía que transporta una onda electromagnética?
Dado que esta onda se compone de E y de B, la energía transportada será la necesaria para crear un E y otro magnético:
Densidad de energía necesaria para crear un campo eléctrico en cualquier punto del espacio, uE=ε 0 E 2 /2(véase la página 14 del tema “Interacción eléctrica en medios materiales)
Densidad de energía necesaria para crear un campo magnético:
Cuando creamos una corriente eléctrica I por un hilo metálico, este hilo se autoinduce una corriente contraria que intenta frenar el proceso. La energía consumida será:
Si el hilo forma un solenoide de N vueltas, longitud L 0 e intensidad I, entonces B=μ 0 NI/L 0 y L=μ 0 N 2 S/L 0 (ver temas anteriores). La densidad de energía necesaria para crear el campo magnético del solenoide será: uB=E/Vsolenoide=B 2 /(2μ 0 )
2
·· ·· ·· ·
2
0
Idt LI dI obien E L I dI LI dt
dE V I dt LdI I ind ⎟⎠ =− =− =− ⎜ ⎞ ⎝
= =⎛−
∫
Ondas electromagnéticas La onda electromagnética 14
Energía y vector de Poynting
La energía que la onda electromagnética transporta
a todos los puntos del espacio será igual a la que se
necesitó para crear ambos campos, E y B:
El vector de Poynting, S
¿Cuál es la dirección de propagación de la energía en una onda electromagnética? El resultado anterior puede escribirse también como uOndaElectromagnética=ε 0 E 2 =ε 0 E·(cB)=ε 0 ·c·|ExB|, dado queEy B son siempre perpendiculares entre sí. El producto vectorialExB corresponde a un vector cuya dirección y sentido coincide con la de propagación espacial de la onda (ver dibujo). Podemos definir el vector vector de Poynting, S=ε 0 ·c 2 ·(ExB)
Conclusión: La energía se propaga en la misma dirección y
sentido que lo hace la onda electromagnética (según el vector
de Poynting, S) y su valor es igual a uOndaElectromagnética=|S|/c
0
2 2 0 0
2 2 0
2 2 μ
ε
μ
ε
B
E
E B
uOndaElectromagnética =uEr +uBr = + = =
Ondas electromagnéticas La onda electromagnética 16
El vector de Poynting: consecuencias (II)
3. El momento lineal transmitido por una onda electromagnética es
p=E/c. Al incidir sobre perpendicularmente sobre una superficie de
área A, el momento lineal intercambiado por la onda con la superficie
durante un tiempo Δtes:
- Superficie totalmente absorbente: Δp=E/c=(Pot·Δt)/c=I·A·Δt/c=|S|·A·Δt/c
- Superficie totalmente reflectante: Δp=(pfinal-pinicial)=2E/c=2|S|·A·Δt/c
4. Presión de la onda (o radiación) electromagnética, P, contra una
superficie de área A:
Al incidir una onda sobre una superficie se produce un intercambio de momento lineal durante un tiempo Δt y, por tanto, una fuerza o interacción. La acción de dicha fuerza será presionar la superficie. - Superficie totalmente absorbente: P=F/A=(Δp/AΔt)=|S|/c - Superficie totalmente reflectante: P=2·|S|/c
Ondas electromagnéticas La onda electromagnética 17
El espectro de la radiación electromagnética
Como hemos visto, la energía consumida en la creación de E y B se transmite a todo el espacio con cierta frecuencia ω y longitud de onda λ(onda electromagnética). Estas características de la onda electromagnética dependen de la fuente que las crea, p. una carga o un dipolo oscilante, y de sus frecuencias de oscilación Así, el rango de frecuencias de las ondas electromagnéticas creadas puede variar desde unos hercios hasta 10 22 Hz (del mismo modo la las longitudes de ondas cambian de km hasta 10-12m) Este muestrario posible de ondas electromagnéticas clasificadas según su ωo λrecibe el nombre de espectro de la radiación electromagnética (exposición G1)
Maxwell Onda Electromagnetica
Asignatura: Física (19436)
Universidad: Universidad de Castilla La Mancha
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