“Todo es número”, Pitágoras, 500 aC

Quienes se interesan por el mundo de los números, sea por curiosidad, oficio o interés, han escuchado alguna vez mencionar a una singular sucesión de números cuya presencia se verifica en decenas de situaciones de la naturaleza y cuyas propiedades se utilizan en cuestiones muy variadas en el mundo de la matemática.

Se trata de la denominada “Sucesión de Fibonacci”, una sucesión infinita de números naturales que comienza con el 0 y luego ordena todos los números que surgen de sumar los dos anteriores a una ubicación, arrancando con el 1.

Así, al 0 y al 1 sigue otro 1, (1 + 0), luego se ubican el 2 (1 + 1), el 3 (1 + 2), el 5 (2 + 3). De modo que la sucesión tiene como primeros componentes a 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 33, 54, 87. Nada complicado, nada que pareciera tener demasiada trascendencia. Sin embargo, debieron transcurrir 300 años de la publicación por parte de Fibonacci para comenzar a mostrar su costado inesperado, al punto que los matemáticos terminaron por aceptarla como uno de los logros más sorprendentes y maravillosos del mundo.

Los conejos de Leonardo

Leonardo Da Vinci no fue el único Leonardo trascendente en el campo de la ciencia y las artes. Hubo uno anterior, al que ser conoció como Leonardo de Pisa. Cercanos entre sí en lo geográfico –Pisa y Vinci, sus ciudades natales, distan 60 kilómetros, vecinas a Florencia–, el de Vinci nació 212 años después de la muerte del de Pisa.

Leonardo de Pisa no pasó a la historia con ese nombre, sino con uno que, de alguna manera, “suena mejor” en el mundo de los números: Fibonacci. El apodo deriva de su apellido, Bonacci, y de su condición de hijo (filio).

Fue precisamente la ocupación de comerciante de su padre, Guglielmo Bonacci, la que incentivó a Leonardo a interesarse por los números, ocupado en realizar complejas operaciones numéricas mediante los números romanos, complejos para toda operación y laborioso, además, por la ausencia del cero.

Fibonacci fue el responsable, nada menos, de divulgar en tierra europea la utilización de los números que usaban los árabes –éstos lo habían adoptado de los indios–, y que se ordenaban del 9 al 1, incorporando además un símbolo, el 0, para representar la nada.

Fibonacci publicó esa modalidad en 1202 en su Liber Abaci, obra ordenada en quince capítulos, en los cuales expone nociones de cálculo, tablas de adición y multiplicación, mostrando cómo estos números arábigos permiten resolver, de manera práctica y simple, las cuatro operaciones básicas de la matemática, dando a conocer, además, criterios de divisibilidad hasta trece, reuniendo en tablas los resultados de las divisiones por números no superiores al 200.

En los capítulos sexto y séptimo se refiere a las fracciones, presentó el concepto del mínimo común múltiplo y enseñó la descomposición de fracciones ordinarias. La segunda parte del libro, “Regla de Álgebra”, contiene fórmulas para reconocer ecuaciones de segundo grado, con demostraciones geométricas, y problemas que se pueden resolver con ecuaciones reducibles a las de segundo grado. El libro le procuró a Leonardo gran fama, al punto que Federico II de Hohenstaufen, rey de Sicilia, Chipre y Jerusalén, y emperador del Sacro Imperio Romano Germánico, le invitó a su corte y dispuso que la ciudad de Pisa le pagara un sueldo para que pudiera dedicarse a trabajar en temas de su especialidad.

La secuencia de Fibonacci: un asunto de conejos

En Liber Abaci, Fibonacci dedica el capítulo XII a resolver un cálculo muy particular: se trataba de dar una respuesta a cuántos pares de conejos se tendrá en un año, a partir de disponer, en su inicio, de un único par de estos animales. Fibonacci trazó un esquema teórico de reproducción de los animales –asumiendo que no había muertes ni conejos infértiles en toda la cadena de descendencia– y estableció que al término de los 12 meses se sumarian 144 pares de conejos. La cantidad de pares para los 12 meses, mes por mes, eran: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 y 144. Si Fibonacci hubiese extendido su análisis para más meses, hubiese verificado siempre la particular circunstancia de que cada número de su secuencia es la suma de los dos anteriores. Hasta ahí, nada extraordinario. Por eso el propio Fibonacci dio por resuelta la cuestión de los conejos y no asignó a la misma ningún comentario adicional. La sucesión durmió en las hojas del libro durante 300 años.

En el año 1500 algunos matemáticos comenzaron a detectar curiosidades y circunstancias en esa sucesión y a verificar que varias cuestiones de la naturaleza se ordenan de acuerdo a la misma. Hoy, hasta la informática se apoya en los números de Fibonacci.

Una división que conduce a Dios

Existe un número que se lleva todas las palmas en el mundo de las matemáticas. Es el denominado Número de Oro. Si esta designación no es suficiente para llamar la atención, quizá sí lo haga la otra: el número de Dios. Se trata de un número que es el resultado de una proporción: “la proporción divina”. Al dividir dos segmentos que tienen entre ellos determinada relación, surge un número que, aplicado a las artes, la arquitectura, el diseño, el cuerpo humano, genera un resultado que se manifiesta naturalmente bello, equilibrado y armónico.

A un rectángulo con esa relación entre sus lados se lo define como “perfecto”. Es la relación que se aplica en las tarjetas de crédito, a la mayoría de los libros. Es la que se utilizó para construir el Partenón griego y pintar La Gioconda. El número de Dios es el 1,6180 (siguen los decimales hasta el infinito) y la genética humana arrastra ese número como regulador de las cosas que se ven cercanas a la perfección.

Una de las primeras lecturas trascendentes sobre la sucesión de Fibonacci fue su estrecha relación con ese número de oro. Cuando se realiza la división de un número de la sucesión por su inmediato anterior el resultado es “cercano” al número de oro. Más se avanza en la sucesión –número más grandes– más cerca su cociente está del número. En 1843, el matemático y astrónomo Jacques Philippe Marie Binet demostró que en el infinito el cociente coincide con el número de oro.

Otras curiosidades: sus números primos ocupan una posición que siempre es también un número primo; si se suman diez números sucesivos y se los multiplica por 11, el resultado es siempre el 7º número de ese grupo elegido. También se verificó que cualquier número entero puede escribirse como suma de dos números de la sucesión.

La naturaleza y la espiral

A partir de dibujar rectángulos de lados que corresponden a números sucesivos de la secuencia y que se coloquen uno vecino a otro, se puede trazar, mediante segmentos de circunferencias contenidos en cada uno de esos rectángulos, una particular espiral –la espiral de Fibonacci– cuya gráfica se encuentra en muchos elementos de la naturaleza, desde el Nautilus (un molusco), pasando por la vía láctea, las disposición de las semillas del girasol y las escamas de una piña, entre otros elementos.

El crecimiento de muchas plantas y árboles se organiza de acuerdo a la sucesión de Fibonacci, de modo que hasta determinada altura está el tronco (1 elemento) y luego se ramifica en 2, 3, 5, 8 ramas siguiendo el orden de Fibonacci. Lo mismo sucede con las hojas de muchas plantas, que respetan esa secuencia para que todas puedan captar el sol.

Hasta en la ficción Fibonacci ha encontrado su lugar. En la película Avatar –de James Cameron– existe una planta llamada Fibonacci, semejante a un helecho. Su nombre se basa en la semejanza de la hoja enrollada a la espiral de Fibonacci.

Mucho y poco

Leonardo de Pisa nació hace 847 años y vivió 80 años, edad impropia para su época. Es posible que haber divulgado el uso de los números arábigos en Europa, incluido el cero, sea un hecho revolucionario para su biografía, considerando que modificó para siempre el ámbito de los cálculos. Pero ha sido su sucesión, a la cual él no le dio trascendencia, la que fijó su nombre para la eternidad.

Porque en el límite de las cosas, la serie sugiere, una vez más entre los números, que no es el azar el que rige la naturaleza y que hubo alguien o algo que en el principio o en la continuidad de las cosas estableció ciertos patrones numéricos en nuestra vida, en nuestro cosmos.

Una sucesión como la de Fibonaccci, con marcas en la naturaleza, es un guiño cómplice que alentó por siglos a los investigadores a seguir analizando sus formas, a intuir que es parte de un lenguaje establecido por alguien que, sin dar mayores pistas, ha decidido manifestarse a través de la matemática. La secuencia es una posible clave en el arduo camino de encontrar respuesta a cientos de preguntas, que van desde el origen de los tiempos, pasando por la razón de los destinos y terminando por justificar toda existencia. En ese orden particular de la reproducción de los conejos puede estar la voz del que todo lo sabe.