Introducción a Dinámica de Fluidos, Apuntes de Física

¡Descarga Introducción a Dinámica de Fluidos y más Apuntes en PDF de Física solo en Docsity! Tema Dinámica de Fluidos 1 1. Introducción Al igual que en la estática de fluidos suponemos un fluido como una distribución continua de materia tal que presenta una deformación continuada al estar sometido a una tensión cortante por pequeña que sea. Como consecuencia, estos medios pueden fluir, no tienen forma propia y se adaptan a la forma del recipiente que los contiene. Así abarcan las fases líquidas y gaseosas (va- por) de la materia física. Esta descripción en que no se tiene en cuenta la estructura de la materia y tiene en cuenta los efectos promedio o macroscópicos son los que interesan a la técnica. En la dinámica de estos sistemas materiales la posición r la velocidad v y la aceleración a son las magnitudes vectoriales de interés que deben ser calculadas. Para estudiar los fluidos en movimiento o flujos, se suelen utilizar dos enfoques: seguir a las partículas fluidas1 en su movimiento a lo largo del tiempo y determinar el lugar geométrico de las posiciones (trayectorias), descripción ésta que supone trabajar con un número enorme de datos. Otra posible descripción consiste en considerar puntos fijos del espacio y registrar la velocidad de las partículas que pasan por dichos puntos. La velocidad se describirá como un campo de veloci- dades que se asigna a cada punto del espacio, las líneas envolventes (sus vectores tangentes coin- ciden con la dirección de la velocidad) de este campo de velocidades se denominan líneas de co- rrientes (Fig. 1). Nuestro interés de estudio se centra fundamentalmente en los flujos estacionarios e incom- presibles, que describiremos a continuación, en los que las trayectorias y las líneas de corriente 1 Partícula fluida es una masa pequeña de fluido de identidad fija contenida en un volumen infinitesimal, su velocidad será la del centro de gravedad de ese volumen elemental. “Basta observar un rio o el mar moviéndose en condiciones meteorológicas severas para comprender que describir con detalle el mo- vimiento resulta altamente complejo” La familia suiza Bernoulli (ó Bernouilli) es famosa por sus contribuciones a la Mate- mática y la Física. En el campo de la mecá- nica de fluidos destaca la publicación de la obra en 1738, Hidrodinámica, por este au- tor que se muestra, que es un estudio teó- rico y experimental del equilibrio, la pre- sión y la velocidad de los fluidos. También en ella se sientan las bases de la teoría ciné- tica de los gases. DANIEL I. BERNOULLI 1700-1782 FFIA: Dinámica de Fluidos 1-2 coinciden. Un volumen de control2 del fluido de- limitado por líneas de corriente en su periferia se llama tubo de corriente. Como consecuencia pues de la suposición de medio continuo, cada propiedad del fluido como la densidad, temperatura y velocidad se consideran funciones continuas de la posición y el tiempo. El vector velocidad  , , ,v x y z t puede des- cribirse en función de sus tres componentes car- tesianas escalares:  , , ,v x y z t ui vj wk   . En que en general cada una de sus componentes será función de x, y, z, t. El estudio de las caracterís- ticas de este campo de velocidad y de otras propiedades del medio fluido permite hacer una cla- sificación básica de los flujos. 2. Clasificación de los flujos Un flujo se dice estacionario cuando las magnitudes de intere s tales como la presio n, den- sidad y velocidad no dependen explí citamente del tiempo. Por el contrario cuando alguna de las magnitudes de intere s y en particular el campo de velocidades dependen del tiempo el flujo se denomina no estacionario o variable. Se clasifica el flujo como unidimensional, bidimensional y tridimensional, dependiendo del nu mero de coordenadas espaciales requerido para especificar el campo de velocidad. Ejem- plos: si  , ,v x y t el flujo sera variable bidimensional, si  , ,v x y z sera estacionario tridimensional. Pero la principal subdivisio n es entre los flujos viscosos y no viscosos. La viscosidad des- cribe la friccio n interna o resistencia al deslizamiento de dos capas adyacentes del fluido. Los flujos en donde los efectos de la viscosidad se desprecian se denominan no viscosos. En un flujo no viscoso el coeficiente de viscosidad μ es cero. Fluidos con viscosidad cero no existen, sin embargo hay muchos problemas donde despreciar las fuerzas viscosas simplifica el ana lisis y conducen a resultados significativos. Otra posible clasificacio n importante de los flujos se hace atendiendo a su ecuación caracte- rística, que relaciona la densidad del mismo con la presio n. Así , se dice que un flujo es incompre- sible cuando las variaciones de densidad son despreciables aunque varí e la presio n, es decir  =cte y se dice que es compresible cuando la densidad es funcio n de la presio n  = F(P). Los ejem- plos ma s comunes de flujo compresible conciernen al flujo de gases, en tanto que el flujo de lí qui- dos puede tratarse con frecuencia como incompresible. Tambie n se puede hablar de flujos internos o de ducto como son los delimitados comple- tamente por superficies so lidas, por el contrario los flujos sobre cuerpos sumergidos en un fluido sin fronteras reciben el nombre de flujos externos, Ej. Movimiento del aire en torno a un avio n. 2 Volumen arbitrario en el espacio a través del cual circula el fluido. Su frontera geométrica es la superficie de control y puede ser real o imaginaria y puede ser fija o en movimiento. x y X Y r Z z Línea de corriente Partícula fluida c ava b bv cv Figura 1.- Tubo de corriente. FFIA: Dinámica de Fluidos 1-5 equivale dimensionalmente a una longitud. La suma de los tres términos se denomina altura total en la sección correspondiente, es decir: 2 1 1 1 1 2 altura geodésica oaltura de altura de de posiciónpresión velocidad P v H z g    , (6) En definitiva, el teorema de Bernoulli se puede expresar diciendo que la altura total es constante en todas y cada una de las secciones del conducto. En la ec. (6) P1 es la presión absoluta, sin em- bargo, es posible restar en los dos miembros de la ec. (5) la presión atmosférica, resultando en la altura total la altura de presión manométrica. Esta es la expresión común para el análisis de las instalaciones hidráulicas. La resolución de un problema de dinámica de fluidos no viscosos, en régimen de flujo estacio- nario, se basa en tres ecuaciones: 1) El teorema de Bernoulli (principio de conservación de la energía): 2 2 P v z const g    2) La ecuación de continuidad (principio de conservación de la masa) . . i i i j j j entr sal v S v S   3) Ecuación característica o de estado del fluido:  =  (P), en nuestro caso  = cte. Aplicaciones de la dinámica de fluidos no viscosos (ideales) Teorema de Torricelli La velocidad de salida de un líquido por un orificio, practicado en una pared delgada del depósito que lo contiene, es la misma que adquiere un peso que cae libremente desde una altura H igual a la que hay entre la superficie libre del líquido y el orificio. Aplicando el teorema de Bernoulli entre un punto sobre la superficie libre del líquido S1 y otro en S2, pertenecientes ambos a una línea de corriente. 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 P v P v z z g g       , (7) pero P1=P2=Patm, con lo cual la ecuación anterior se reduce a: 2 2 2 1 2v v g H    . (8) La ecuación de continuidad aplicada a las dos secciones será: 1 1 2 2v S v S   . Si S1>> S2  v1 << v2 y por tanto: 2 2v g H   (9) Tiempo de vaciado de un depósito de superficie libre constante De la ecuación de continuidad (Fig. 5): 2 2z zv S v S   . (10) Por otro lado, la velocidad de las partículas fluidas en la superficie libre del depósito será esencialmente vertical y po- dremos escribir: z dz v dt   , (11) Patm S1 H z1 S2 Patm Figura 4.- Teorema de Torricelli FFIA: Dinámica de Fluidos 1-6 el signo menos aparece porque estamos escribiendo el módulo de la velocidad y mientras el incremento de tiempo es positivo el de z es negativo (z disminuye conforme crece). El teorema de Torricelli permite escribir: 2 2v g z   . (12) Sustituyendo (11) y (12) en (10): 2 2 z Sdz g z dt S     , separando variables: 1 2 2 22 2 Z ZS Sdzdt z dz S g z S g         e integrando: 1 1 12 2 0 0 2 2 2 2 2 t H zS Sdt z dz H S g S g t         Tiempo de vaciado de un depósito de superficie libre variable Vamos a calcular el tiempo de vaciado de una cisterna longitud L que se vacía a través de un orificio de sección So y cuya sección elíptica viene descrita por la ecuación: 2 2 2 2 1 x y a b   La ecuación de continuidad se escribirá: o oz zS Sv v   , (13) donde Sz=2·x(t)·L y vz se puede escribir: Z dz v dt   . Si Sz >>So el teorema de Torricelli implica que: 2o g zv    . Sustituyendo en la ecuación (13): 1 1 2 2 2 2 2 2 o z z o o S Sdz dz L x g z dt dz dt S S g S gz z           . (14) De la ecuación de la elipse se obtiene: 1 1 2 2 2 2( - ) [( )( - )] ; a a x b y b y b y z b y b b      ; sustituyendo en la ecuación (14) ( )2 2o b yL a dt S g b      ( ) ( ) b y b y   1 2 1 2 2 (2 ) 2o L a dz b z dz S g b            ; e integrando: 2 1 1 2 2 0 2 8 (2 ) 2 3 b o o L a L a b z dz b S g b S g t            x y a b L x(t) y(t) z(t) x y a b Figura 6.- Figura 7.- Patm Patm H S1 Sz z S2 Figura 5.- FFIA: Dinámica de Fluidos 1-7 Sifón. En la Edad Media se usaron los sifones (Fig. 8) y se sabía que podía elevar agua a una altura no mayor de 10 m. Vamos a explicar ese límite y calcular la velocidad de salida del agua. Para iniciar el movimiento el tubo debe estar lleno de líquido, una forma de hacerlo es aspirar por el extremo abierto. Una vez iniciado, el flujo continúa sin necesidad de bombeo. Aplicando la ecuación de Bernoulli a los puntos R y S obtenemos: 2 21 1( ) 0 2 2 R R S SP v g H D P v g               También al aplicar la ecuación de continuidad: R Sv v ; puesto que ρ= 1000 kg/m3, 101S AtmP P kPa  y que PR debe ser positiva: 101000 ( ) 10.30 1000 9.8 H D m    Para determinar la velocidad de salida del agua basta aplicar la ecuación de la continuidad y de Bernoulli entre los puntos A y S ob- teniéndose el mismo resultado que en el teorema de Torricelli: 2Sv g D   Tubo de Venturi. Se representa en la Figura 9 y consiste en un estrechamiento producido en un tubo y construido de forma que mediante una disminución gradual de la sección en la entrada y un aumento también gradual en la salida, se evite la producción de remolinos y quede asegurado un régimen estacionario. Se utiliza para medir el gasto en una tubería intercalándolo en ésta. La ecuación de Bernoulli, aplicada entre los puntos 1 y 2 de la figura nos da:  2 2 2 21 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 P v P v P P v v           Esta diferencia de presiones puede hallarse midiendo la diferencia de alturas entre los tubos piezométricos: 1 2P P gh  De la ecuación de la continuidad se obtiene: 1 1 1 2 2 2 1 2 S C S v S v v v S     Con lo que finalmente: 1 1 1 2 2 2 1 2 2 g h C S v S S S S     Tubo de Pitot El dispositivo representado en la Figura 10 se ha diseñado para medir la velocidad de un gas que circula por una tubería. Se basa en la medida de la presión de estancamiento en el punto 2, que se encuentra a la entrada de la embocadura del tubo manométrico, donde la velocidad es nula. Aplicando el teorema de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 tendremos: 2 2 1 1 1 2 P P v   pero P2 –P1= o g h, luego: 02 g hv    donde o es la densidad del líquido manométrico. Actividades o reflexiones a proponer: Fuerza de sustentacio n en el ala de un avio n. h P1, S1 v1 v2 P2, S2 Figura 9.- Tubo de Venturi Figura 8. Sifón. Q R S D H A v 1 v 2 h Figura 10.- Tubo de Pitot. FFIA: Dinámica de Fluidos 1-10 ( ) ( )dv z dv z F S F S dz dz    , (15) donde hemos introducido el coeficiente de proporcionalidad , que depende de la naturaleza del fluido y que denominaremos coeficiente de viscosidad del fluido. El agua, el aire y la gasolina son ejemplos de fluidos viscosos newtonianos, la pasta de dientes por ejemplo no lo es (si no se pre- siona el tubo la pasta se comporta como un sólido). Teniendo en cuenta la ec. (15), las dimensiones del coeficiente de viscosidad en el sistema internacional son [N]·[s]/[m2] = [Pa]·[s], unidad que se denomina poiseuille (Pl). Esta unidad resulta demasiado grande (ver valores de la tabla 1), por lo que es de uso común la correspondiente unidad del sistema cegesimal, el poise (P) = 1 dina·s/cm2. La equivalencia entre ambas es: 5 2 4 2 · 10 · 1 10 10 N s dinas s Pl P m cm    . (16) Aún ésta resulta grande por lo que es frecuente expresar el valor de  en centipoises, milipoises o incluso micropoises, que son respectivamente la centésima, milésima y millonésima parte de un poise. En la Tabla 1 se muestran los valores del coeficiente de viscosidad para diferentes sustan- cias expresados en centipoises. Observe que la viscosidad varía con la temperatura. Estos valores se determinan experimentalmente en los viscosímetros. 6. Flujo laminar y turbulento en fluido incompresible Cuando un fluido se mueve tal y como hemos descrito en el apartado anterior, decimos que éste se conduce en régimen laminar. Con ello queremos expresar el hecho de que el fluido discurre de forma ordenada, deslizando unas capas sobre otras sin mezclarse. Por el contrario, cuando el movimiento es desordenado, las capas se mezclan entre sí dando lugar a remolinos; decimos en- tonces que el fluido se conduce en régimen turbulento. Puede observar ambos tipos de régimen si deja un cigarrillo encendido sobre el borde de una mesa en una habitación con el aire en reposo: cerca del pitillo el humo asciende ordenadamente, es decir en régimen laminar; a medida que as- ciende empiezan a formarse remolinos y el régimen se torna turbulento. Osborne Reynolds observa que la transición desde el régimen laminar al turbulento de- pende de la velocidad del fluido. Para aclarar y cuantificar bajo qué condiciones se produce cada tipo de régimen realiza el experimento mostrado en la Fig. 14 en 1883. Figura 13.- Flujo laminar de un fluido viscoso en- tre dos placas paralelas. Tabla 1.- Valores del coeficientes de viscosidad Fluido t, ºC , (cP) Aceite de máquina ligero 16 38 100 113 34 4.9 Agua 0 20 60 100 1.79 1.00 0.467 0.282 Glicerina 20 1490 Aire 0 18 229 0.0171 0.0183 0.0264 Vapor de agua 100 0.0125 FFIA: Dinámica de Fluidos 1-11 El nivel en el depósito A se mantiene constante mediante el rebosadero R. La válvula V per- mite entonces regular el caudal, y por tanto la velocidad, del fluido en el conducto horizontal. Desde el depósito pequeño B, mediante un tubo terminado en una punta fina se introduce un filete (línea de corriente) de una disolución coloreada en el centro del conducto F, de diámetro D. Mien- tras la velocidad media del fluido en el tubo horizontal sea pequeña observaremos que el filete coloreado viaja a través del centro del conducto sin mezclarse con las capas que le rodean: el fluido se conduce en régimen laminar (Fig. 14(a)). Si abrimos más la válvula V, aumentando la velocidad media en la tubería, iremos observando que el filete empieza a oscilar, su trayectoria se vuelve sinuosa e irregular, pero conserva todavía su unidad. Cuando la velocidad supera cierto límite el líquido coloreado se difunde inmediatamente por toda la sección del tubo F por efecto de fluctua- ciones rápidas e irregulares de la velocidad. La estructura de capas desaparece: el fluido se con- duce ahora en régimen turbulento (Fig. 14(b)). Generalizando los resultados de sus experimentos, realizados en tubos circulares, y par- tiendo de algunas consideraciones teóricas, que caen fuera de las pretensiones de este curso, Rey- nolds encontró las condiciones generales en las que son posibles la existencia de uno u otro régi- men y la transición entre ellos. Él estableció que los factores principales que determinan el carác- ter del régimen son:  La velocidad media (promediada sobre la sección) del líquido en el conducto, v .  El diámetro de la tubería, D.  La densidad del líquido, .  El coeficiente de viscosidad del fluido, . Para caracterizar el tipo de régimen con el que se mueve el fluido, Reynolds introdujo el concepto de velocidad característica, que agrupa las propiedades de la tubería (D) y las del fluido (, ): 0v D    ; (17) observe que v0 tiene dimensiones de velocidad; en efecto:   2 2 2 0 3 3 · / ·( / )· / / · / · / N s m Kg m s s m v m s m Kg m m Kg m    , (18) El resultado de medir la velocidad media del fluido en el conducto tomando como unidad la velo- cidad característica, da lugar a un parámetro adimensional que denominamos número de Rey- nolds, Re, y que sirve para determinar el tipo de régimen con el que se va a conducir el fluido: 0 e v v D R v     . (19) B A D F V R (a) B A D F V R (b) Figura 14.- Experimento de Reynolds para determinar la transición entre régimen laminar y turbulento. FFIA: Dinámica de Fluidos 1-12 Los resultados de los experimentos de Reynolds y otros investigadores permitieron esta- blecer que el valor Re=2300 resulta crítico, así para Re< 2300 el régimen resulta laminar y para Re>2400 el régimen se considera turbulento, estableciéndose una zona de transición entre 2300 y 2400 en la que el flujo se hace inestable. De esta manera para determinar el carácter del régimen del movimiento del fluido en un caso determinado, calcularemos Re mediante (19) y lo compara- mos con este valor crítico, si es mayor el régimen será turbulento y si resulta menor que 2300 será laminar. 7. Pérdida de carga lineal en una tubería Denominaremos pérdida de carga lineal a la energía disipada, en virtud de la viscosidad, a lo largo de la tubería por unidad de peso de fluido transportado. Añadimos el calificativo de lineal para hacer referencia al hecho de que se produce a lo largo de toda la tubería y con el fin de dis- tinguirla de las pérdidas de carga locales que se producen en un punto determinado, de las que nos ocuparemos más adelante. Consideremos un conducto cilíndrico horizontal de sección constante por el que circula un fluido viscoso en régimen laminar (Figura 15). Para aplicar el teorema de Bernoulli entre las sec- ciones 1 y 2 hemos de contabilizar de alguna manera la energía mecánica transformada en energía térmica (calor y entalpía) en virtud del rozamiento; para ello vamos a sumar a la altura total de la sección 2, H2, la cantidad hl, que representará la energía mecánica por unidad de peso, que par- tiendo de 1 no llega a 2 porque se ha transformado en energía térmica por el camino: 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 l l P v P v H H h h z z g g                 . (20) Al ser horizontal, z1=z2 y como la sección es constante y el fluido incompresible (1=2), la ecuación de continuidad implica que la velocidad no cambia, v1=v2, por lo que la ecuación anterior quedaría: 1 2 l P P h     ; (21) es decir, la viscosidad se traduce en un pérdida de presión. Dicho con otras palabras, para mante- ner un corriente en un conducto horizontal, de sección constante, hace falta establecer entre sus extremos una diferencia de presión que realice contra el fluido un trabajo que compense la energía mecánica disipada por viscosidad. Observe que si el fluido fuera ideal podríamos mantener la co- rriente siendo P1 = P2. Poiseuille demostró (tal como se indica en el apéndice) que el gasto en una tubería cilíndrica ho- rizontal, de radio R y longitud, en régimen laminar viene dado por 4 1 2( ) 8 R G P P L     (22) A partir de esta ecuación es posible evaluar es- tas pérdidas de carga. Desde el punto de vista prác- tico el gasto que circula por un conducto es una mag- nitud relativamente fácil de medir: basta disponer 2 1 G Figura 15.- Conducto horizontal por el que cir- cula un fluido viscoso en régimen laminar. FFIA: Dinámica de Fluidos 1-15 35003000 eR D   , (30) que aparece como una línea discontinua en el diagrama de Moody.  Tubería rugosa, zona completamente rugosa (flujo turbulento f=f(/D): en esta zona, para cada valor de /D la curva de hace horizontal, lo que significa que el valor de f es el mismo sea cual sea el valor de Re, es decir, en esta zona el factor de fricción es independiente del número de Reynolds y depende sólo del factor de rugosidad relativa de la tubería. En 1983 Haaland propone la siguiente ecuación empírica capaz de describir conjuntamente las tuberías lisas y rugosas con una buena aproximación, para régimen turbulento: 1.11 1 6.9 1.8log 3.7 e D Rf             . (31) Hemos de resaltar el carácter empírico de la ecuación anterior, es decir no se ha obtenido analíti- camente, sino que es el resultado de buscar una ecuación capaz de describir aproximadamente los resultados experimentales. 8. Pérdidas de carga locales en una tubería Siempre que la velocidad de una corriente en movimiento se altera en dirección o en mag- nitud en el flujo, se originan corrientes turbulentas localizadas en la zona del cambio, producién- dose una pérdida de energía localizada en esa zona además de la pérdida por fricción sobre una longitud dada de tubería. En una instalación hidráulica existen puntos singulares en la misma, como cambios de sec- ción transversal, juntas de estanqueidad salientes, codos, válvulas, conexiones en T, bifurcaciones, contadores..., que producen cambios en el régimen localizados en las proximidades de estos pun- tos singulares y, en consecuencia, perdidas de carga adicionales a las que hemos descrito en el apartado anterior. Éstas son las denominadas pérdidas de carga local. En el caso de una tubería muy larga, suelen ser insignificantes comparadas con las pérdidas lineales. Cuando la longitud no es muy grande o cuando abundan estas secciones singulares (piense en la cantidad de codos, vál- vulas, bifurcaciones... que puede haber en la instalación hidráulica de un edificio), las pérdidas de carga locales pueden llegar a ser predominantes y se pueden expresar de dos formas:  Utilizando la altura de velocidad: 2 2 loc v h k g   , (32) donde el coeficiente de pérdida local, k, se determina, en cada caso, y casi siempre a partir de datos experimentales que los fabricantes facilitan en sus catálogos técnicos. La altura de ve- locidad en general hace referencia a la correspondiente a aguas abajo de la sección singular, si bien este dato suelen también facilitarlo los fabricantes. En la tabla 2 se muestran algunos valores de k para algunas situaciones características. FFIA: Dinámica de Fluidos 1-16  Expresándola como equivalente a una cierta longitud de tubería recta del mismo diámetro nominal que la del elemento. En el caso de que en el punto singular se vean involucradas varias secciones habrá qué especificar qué diámetro se utiliza para la equivalencia: 2 2 2 2 eq loc eq Lv v kD h k f L g D g f      , (33) que nos permite establecer la relación en- tre los parámetros de un método y otro para expresar las pérdidas de carga loca- les. 9. Máquinas hidráulicas: bombas y turbinas Existen varios tipos de máquinas hidráulicas. En las instalaciones urbanas y de la edificación las más frecuentes son las que transfieren energía mecánica al fluido (bombas) y las que convier- ten la energía de un fluido en energía mecánica (turbinas). En el ámbito de la arquitectura es muy frecuente encontrarse con la presencia de bombas y más inusual las turbinas, por lo que dedicaremos mayor atención a aquéllas, limitándonos en el caso de las turbinas a dar alguna noción general. Existen diferentes tipos de bombas: centrífugas, de flujo axial, de desplazamiento positivo (como son las de émbolo alternativo y las de tipo rotativo). No es nuestro objetivo describir con detalle el funcionamiento de las bombas sino más bien cómo podemos integrarlas en los cálculos de las instalaciones hidráulicas. En tal sentido observe que en el esquema de la Figura 18 hay una entrada (aspiración) donde va conectado el conducto que suministra el fluido a la bomba desde un depósito, estanque, pantano, lago... y una salida (impulsión ó descarga), donde va conectada la tubería que conducirá el fluido a la zona de suministro, después de haber recibido la energía me- cánica aportada por los elementos móviles de la bomba. Puesto que hemos escrito la ecuación de Bernoulli en términos de alturas (ver ec. (20)), para poder contabilizar la energía aportada por la bomba a la corriente fluida, en su caso, hemos de restar del segundo miembro de dicha ecuación un término hB que dará cuenta de la energía que llega al punto 2 de la corriente pero que no partió del punto 1, puesto que fue suministrada por la bomba en algún punto intermedio situado entre 1 y 2, donde se ubique la bomba. Esta altura se determina midiendo la presión a la entrada y a la salida de la bomba, calcu- lando las velocidades (dividiendo el caudal de salida entre las respectivas secciones de aspiración e impulsión) y teniendo en cuenta la diferencia de alturas, si las hubiere, entre la aspiración y la descarga. Así, la altura hB suministrada por la bomba al fluido es la diferencia entre as alturas totales a la entras y la salida de la bomba: 22 2 2 as asim im B im as im as P vP v h H H z z g g                    , (34) Tabla 2.- Coeficientes de pérdida de carga local. Accesorios k Válvula de globo, completamente abierta Válvula de ángulo, completamente abierta Codo de retroceso Empalme en T normal Codo de radio corto Codo de radio medio Codo de radio largo Codo de 45º Válvula de compuerta, completamente abierta Válvula de compuerta, entreabierta 10.0 5.0 2.2 1.8 0.9 0.75 0.60 0.42 0.19 2.06 Estrechamiento abrupto, D2/D1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0.45 0.39 0.33 0.22 0.06 Estrechamiento suave Curva suave Tronco de cono (20-40º) 0.05 0.10 FFIA: Dinámica de Fluidos 1-17 donde los subíndices im y as se refieren a la descarga (o impulsión) y aspiración de la bomba como se muestra en la Figura 18. Si las tuberías de descarga y aspiración son del mismo tamaño, las componentes de las alturas correspondientes a las velocidades se cancelan. Sin embargo, en ge- neral, el diámetro de la tubería de entrada es mayor que el de la de salida. De la Figura 18 merece la pena destacar algunas observaciones:  El fluido llega al cuerpo de la bomba por el efecto de aspiración que ésta realiza. Es decir en la cámara de la misma se produce una disminución de la presión por ese efecto de aspira- ción, que podrá llegar, en el mejor de los casos, al vacío absoluto (P=0); es decir la presión manométrica 4 será -Patm.  Observe que en la tubería de aspiración se producen pérdidas de carga (denominémoslas has). En tal caso, podemos comprobar que para que el fluido llegue hasta el punto de aspi- ración “as”, hemos de situar la bomba a una altura menor que 10.33 m. En efecto si escribi- mos la ecuación de Bernoulli entre el punto A sobre la superficie libre y el de aspiración: 22 101300 10.33 2 2 9800 as asA A A A as as as as as as P vP v P Pa z z h z h h m h g g N                ,(35) donde hemos tenido en cuenta que zA=0, que en la superficie libre del depósito vA=0, que se ha alcanzado el mínimo valor de Pas = 0, que el fluido alcanza el punto de aspiración sin energía cinética (vas=0) y, finalmente hemos sustituido el valor de la presión atmosférica en A y el peso específico del agua.  La altura de la bomba hB ha de compensar la diferencia de alturas geodésicas en la instala- ción, y las pérdidas de carga, tanto en la tubería de aspiración como en la de impulsión. Hay que tener en cuenta que al estar los depósitos en contacto con la atmósfera, no hay diferen- cia de presiones entre los extremos de la instalación. Recordando el significado de cada uno de los términos de altura de la ecuación de Bernoulli (energía por unidad de peso de fluido que atraviesa la sección correspondiente), podemos inter- pretar la altura hB como la energía aportada por la bomba a cada unidad de peso de fluido que la atraviesa, de modo que si el gasto a través de la bomba es G, la potencia transferida al fluido será: · B B B B Peso Volumen W h h h G Tiempo Tiempo                 . (36) Cuando un líquido fluye a través de una bomba, sólo una parte de la energía que ésta con- sume es transferida al fluido: existe fricción en los cojinetes y juntas, no todo el fluido que pasa 4 Recuerde que la presión manométrica es la sobrepresión respecto de la presión atmosférica: Pman = P – Patm. as im Plano de referencia zas zim A Figura 18.- Altura desarrollada por una bomba en una instalación de elevación de agua. FFIA: Dinámica de Fluidos 1-20 11. Nociones sobre el golpe de ariete Cuando la velocidad de un líquido en una tubería disminuye bruscamente debido, por ejem- plo, al movimiento de una válvula, el fenómeno que se produce se denomina golpe de ariete. Al frenar la columna de líquido en un tiempo muy pequeño, ésta sufre una aceleración muy grande y, por tanto, aparecen fuerzas dinámicas que producen grandes incrementos de presión en el in- terior de la tubería que pueden llegar a romperla7. Para que nos hagamos una idea de las sobre presiones puestas en juego por el golpe de ariete, consideremos una tubería horizontal de acero de 122 m de longitud, 20.5 cm de diámetro y 6 mm de espesor de pared, que, conectada a un depósito, conduce agua con una velocidad media de 3 m/s. Si se cierra bruscamente la válvula que termina el otro extremo de la tubería se origina- ría una onda de presión de unas 37.5 atmósferas (390 m de columna de agua) que se repetiría hasta 5 veces por segundo antes de amortiguarse lentamente. Un efecto parecido ocurre cuando un bajante descarga verticalmente sobre una arqueta; es este caso la columna es acelerada bruscamente comprimiendo el aire que llena la arqueta. Existen varias formas de prevenir el golpe de ariete:  Utilizar válvulas de cierre lento (aumenta el tiempo de frenado de la columna de agua y disminuye por tanto su aceleración).  Conectar válvulas de escape automáticas a la conducción que permiten que el agua salga cuando se sobrepasa cierto valor de la presión.  Conectar el conducto con cámaras de aire comprimido que actúan como una almohadi- lla que absorbe los cambios de presión.  Dotar las bombas de volante de inercia que sirven para absorber la energía, aumen- tando la inercia del elemento giratorio para alargar el tiempo necesario para que se produzcan cambios en el caudal y, por tanto, disminuyendo su aceleración.  Instalar chimeneas de equilibrio a lo largo de la conducción. Son tubos verticales co- nectados a la tubería que almacenan el líquido cuando las presiones son elevadas y que lo devuelven al circuito cuando las presiones disminuyen. 12. Nociones sobre la cavitación Todo líquido tiende a evaporarse, de modo que las moléculas de su superficie abandonan el líquido y pasan al estado de vapor ocupando el espacio por encima de la superficie libre. Si este espacio es restringido, la presión parcial ejercida por las moléculas aumenta hasta que la frecuen- cia de retorno de las moléculas de vapor al líquido es igual a la frecuencia a la que escapan. Para esta condición de equilibrio, la presión del vapor se conoce como presión de saturación. 7 Un análisis más detallado del fenómeno se puede encontrar en la pag. 358 del libro Mecánica de Fluidos con Aplicacio- nes en Ingeniería, de Joseph B. Franzini y E. John Finnemore, McGrawHill, 1997 (novena edición). FFIA: Dinámica de Fluidos 1-21 La actividad molecular aumenta al subir la temperatura y disminuir la presión. A una tem- peratura dada, si se reduce la presión en la superficie del líquido a un valor por debajo de la pre- sión de saturación, se produce una velocidad de evaporación elevada y el líquido hierve. Por tanto, la presión de saturación es la presión a la que el líquido hierve para una temperatura dada. La vaporización y recondensación rápidas de un líquido mientras fluye momentáneamente por una zona de baja presión absoluta se denomina cavitación. Para que en una instalación hidráulica se produzca la cavitación es necesario que la presión absoluta disminuya por debajo del valor correspondiente a la presión de saturación a esa tempe- ratura. Si tenemos en cuenta la ecuación de Bernouilli, si no cambia la z, para que disminuya la presión debe de aumentar la velocidad, luego en los puntos donde aumente la velocidad (como en los estrechamientos) es posible que el líquido hierva y se formen burbujas de vapor (ver Figura 23). Estas burbujas serán arrastradas por la corriente produciéndose su repentina condensación en las zonas donde aumente la presión; en otras palabras, se podía decir que colapsan o que se produce la implosión de las burbujas. Esta acción es capaz de producir presiones dinámicas muy elevadas sobre los contornos sólidos adyacentes, y puesto que esta acción es continua y tiene una frecuencia alta, se puede dañar el material de la zona afectada. Los rotores de turbinas y bombas, y las hélices de los barcos sufren a menudo daños severos llegando a producirse agujeros en el metal. Un daño semejante se puede producir justo aguas abajo de válvulas parcialmente abiertas. La cavitación no sólo es destructiva, sino que en muchos casos puede disminuir la eficiencia de la máquina o hélice y puede producir ruidos de cavitación y vibraciones no deseadas, que se transmitirán con facilidad a través de los conductos entre es- tancias alejadas de un edificio. Para evitar la cavitación es preciso que la presión absoluta en cada punto sea mayor que la presión de vapor. Existen varias maneras de asegurar que esto ocurra.  Una manera es aumentar el nivel de presión general, ubicando el dispositivo por debajo del nivel de entrada, para que el líquido fluya hacia el mismo por la acción de la gravedad en lugar de ser succionado.  Otra es diseñar las máquinas de tal modo que no haya velocidades locales tan altas como para producir esa baja presión.  Una tercera forma es admitir la entrada de aire ambiente dentro de la zona de baja presión. APÉNDICE-1 Asociación de tuberías En el análisis de la sección anterior nos hemos encontrado con tramos de tubería, de diferentes diámetros, co- nectados uno a continuación de otro. Decimos pues, que un conjunto de tuberías se asocian en serie (Figura 20) si todas ellas estás recorridas por el mismo gasto G. La ecuación de continuidad exige que, si el fluido es incompresible, que: 1 2 3 ...G G G G    . (43) S1 v1 S2 v2 v2>v1  P1>P2 Figura 23.- Caída de presión en un estrecha- miento y posibilidad de cavitación. FFIA: Dinámica de Fluidos 1-22 Pero, además, la conservación de la energía implica que las pérdidas de carga entre los extremos del sistema será la suma de las pérdidas de carga en cada tubería: 1 2 3 ...lSER l l lh h h h     . (44) donde hemos despreciado, en principio, las pérdidas de carga locales. En el caso de que ello no fuera posible, habría que sumar las correspondientes a cada uno de los tramos y, por supuesto, a los elementos de conexión entre ellos. En el caso del flujo por dos o más tuberías en paralelo (figura 21) el flujo que entra en el sistema se divide en el nudo A donde concurren las tuberías y, después de discurrir la parte correspondiente por cada tubería, se vuelven a reunir en otro nodo B, donde vuelven a confluir los conductos. La ecuación de continuidad aplicada ahora al nudo de bifurcación exige que el gasto que entre en él, G, tiene que ser idéntico a la suma de los que salen: 1 2 3 ...G G G G    . (45) Por otro lado, la altura total en A es idéntica para todas las tuberías, lo mismo que en B, de modo que las pérdidas de carga en el sistema, entre A y B, tendrán el mismo valor para cada una de las tuberías. Es decir: 1 2 3 ...lPAR l l lh h h h     . (46) De nuevo, solo hemos considerado las pérdidas de carga lineales para escribir la expresión anterior, en el caso de que las pérdidas locales no fueran despreciables, habría que sumar, en cada tubería, los términos correspondientes a éstas. Resulta útil a veces el concepto de tubería equivalente, definida de modo análogo a como hicimos para expresar las pérdidas de carga locales en términos de una longitud equivalente de tubería. Diremos que un sistema de tuberías es equivalente a una dada si, para el mismo gasto, ésta mantiene las mismas pérdidas de carga que el sistema al que equivale. En el caso de tuberías en serie, la ec. (44) se escribirá, recordado la expresión para las pérdidas de carga (ec. (28)): 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 3 31 1 2 2 2 5 2 5 2 5 2 5 5 5 5 5 1 2 3 1 2 3 8 8 8 8eq eq eq eq eq eq eq eq eq eq f L G f L G f L G f L G f L f Lf L f L gD gD gD gD D D D D           , (47) donde hemos utilizado el subíndice “eq” para referirnos a los datos de la tubería equivalente y hemos tenido en cuenta que el gasto es idéntico en todas las tuberías e igual al que recorrerá la tubería equivalente. La ecuación anterior rela- ciona lo parámetros de la tubería equivalente y los de las componentes del sistema. Para las tuberías en paralelo (Figura 21), expresamos el gasto en función de las pérdidas de carga, despejando de la ec. (28): 2 5 2 5 2 5 2 5 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 ; ; ; 8 8 8 8 eq leq leq leq leq eq eq eq gD h gD h gD h gD h G G G G f L f L f L f L            , (48) donde también hemos utilizado el subíndice “eq” para referirnos a los datos de la tubería equivalente y hemos tenido en cuenta que ahora las pérdidas de carga son idénticas en todas las tuberías del sistema (ec. (46)) y, por supuesto, en virtud de la definición de tuberías equivalentes, a las pérdidas de la tubería equivalente. Si sustituimos las expresiones anteriores en la ec. (45) y simplificamos obtenemos: 5 55 5 31 2 1 1 2 2 3 3 eq eq eq D DD D f L f L f L f L    , (49) que constituye la relación entre los parámetros de la tubería equivalente y los de cada una de las componentes del sistema. Figura 20.- Asociación de tuberías en serie. Figura 21.- Asociación de tuberías en paralelo. FFIA: Dinámica de Fluidos 1-25 Problemas Fluidos ideales 1. Determinar el tiempo que tarda en vaciarse, entre los niveles indicados, el depósito cilíndrico horizontal de la figura, de radio R y longitud L=10R, a través del orificio indicado de radio r=R/100. SOLUCIÓN: En la figura hemos representado una sección transversal del depósito por el orificio de salida. Observe que hemos seña- lado la marca del nivel del líquido para un instante cual- quiera t entre los niveles inicial y final, que tiene una anchura 2x(t) y está situada a una cota z(t) respecto del orificio de sa- lida. La velocidad de las partículas fluidas en la superficie libre es esencial mente vertical y se podrá escribir como v1 =-dz/dt y la velocidad de salida por el orificio, en virtud del teorema de Torricelli en ese instante será: 2( ) 2 ( )v t gz t La ecuación de continuidad se escribirá:     21 1 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) dz t S v S v t x t L r gz t dt Como ya hemos puesto de manifiesto la dependencia respecto de t de las variables x y z, a partir de ahora omitiremos esta dependencia explí- cita al escribirlas. Debemos de encontrar la relación entre x y z. Para ello, mirando la figura de la sección, y aplicando el teorema de Pitágoras, podemos escribir:       1 1 22 2 2 2 2 2 22 2 2x R z R R z R Rz Rz z z R z           Sustituyendo en la ecuación anterior y simplificando se obtiene:            1 11 1 22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 dz L z R z L r z g dt R z dz dt r g (60) Integrando entre la situación inicial y final:     52 3 3 2 3 3 1 1 2 2 2 20 2 2 2 2 2 2 R F R t R R R R L L dt R z dz R z dz r g r g           Donde hemos quitado el signo (-) al intercambiar el orden de los índices de la integral. La integral de la derecha se integra fácilmente haciendo la sustitución (2R-z)=y:   1 31 2 22 2 2 3 R z dz y dy y      Sustituyendo en la ec. (60) se obtiene:   5 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 4 5 4 5 2 2 2 3 3 3 3 32 3 2 3 2 R F R L L R R L R R t R z R R r g r g r g                                                    Problema 1 L R Nivel inicial Nivel final 2/3R 2/3R 2r R Nivel inicial Nivel final 2/3R 2/3R r z(t) x(t) z(t)-R FFIA: Dinámica de Fluidos 1-26 Sustituyendo los valores de r y L en función de R: 53 3 3 122 2 2 32 2 40 5 400000 5 1 18789 3 3 3 33 ( 100) 2 3 2 F R R R R t R R g R g                                 Fluidos viscosos 2. La bomba BC se utiliza para transportar agua hasta el depósito G. La línea de alturas totales de la instalación se muestra en la figura. Determinar: a) La poten- cia suministrada al agua por la bomba. b) La potencia extraída por la turbina DE. c) La altura total en G. Datos: LCD=LEF=600 m, DCD=DEF=60 cm, fCD=fEF=0.02. SOLUCIÓN: a) La potencia de la bomba será: B BW Gh . La altura específica de la bomba se puede obtener aplicando la ecuación de Bernoulli entre la entrada (B) y la salida (C) de la misma y observando la figura lee- remos los valores de la altura total en esos puntos: 115 30 85TB TC B B TC TBH H h h H H m        Procediendo de modo análogo entre C y D, podemos obtener el va- lor del gasto: 2 2 5 2 5 3 2 5 115 105 10 8 10 10 9.8(0.6) 10 0.885 8 8·0.02·600 TC TD CD CD TC TDH H h h H H m fLG gD G m s fLgD                    La potencia de la bomba será pues: 9.8·1000· 0.885· 85 737205 737.2B BW Gh W kW   b) La potencia extraída por la turbina podemos calcularla aplicando el teorema de Bernoulli entre las secciones D y E de la conducción: 105 100 5 ; 9800·0.885·5 43365 43.36 TD TE TUR TUR TD TE TUR TUR H H h h H H m W Gh W kW            c) Para calcular la altura total en G, podemos escribir la ec. De Bernoulli entre las secciones E y G: 100 10 90TE TG EG TG TE EGH H h H H h m        Donde hemos tenido en cuenta que para el tramo EG las pérdidas de cargas son idénticas que en el tramo CD, puesto que las características de los dos tramos son idénticos y el gasto es el mismo en ambos tramos. 3. Expresar la potencia de la bomba para el sistema de la figura, por el que circula un fluido de peso específico , en función de los datos dados. Todas las tuberías tienen diámetro D y coeficiente de fricción f. SOLUCIÓN: El gasto que pasa a través de la bomba, aplicando el principio Problema 2 B A 115 m G 30m D C E F 105 m 100 m Problema 3 L G B G1 L L L C A 1 2 FFIA: Dinámica de Fluidos 1-27 de conservación en A, es:     1 1B BG G G G G G Aplicando el teorema de Bernoulli entre las secciones A y C por los dos caminos, y restando a conti- nuación ambas ecuaciones podemos escribir:   2 1 1 2 5 2 2 2 21 12 5 2 5 2 52 2 2 5 8 8 8 (3 ) 8 0 3 8 (3 ) TA TC AC TC B B B B B TA TC AC TC B fLG H H h H gD fLG f L G fL h h G G gD gD gDf L G H H h H h gD                               Y sustituyendo el valor de GB:        2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 12 5 2 5 2 5 8 8 8 3 3 2 3 6 2B fL fL fL h G G G G G GG G G GG G gD gD gD             La potencia de la bomba será:    2 21 1 12 5 8 3 6 2B fL W G G G GG G gD       4. La figura representa una instalación hidráulica experimental. El diámetro de la tubería es D=10 cm y su longitud L=200 m. La diferencia de presiones medida entre los puntos 2 y 3 es de 272 kPa. El estrechamiento localizado en 5 tiene un diámetro d=5 cm y la diferencia de presiones medida entre los puntos 4 y 5, muy próximos, es de 27200 Pa. Si se desprecian las pérdidas de carga locales, hallar: a) Gasto que circula por la tubería. b) Potencia de la bomba. c) Coeficiente de fricción de la tubería. Nota: haga la aproximación g=10 m/s2 SOLUCIÓN: a) Aplicando el T. de Bernoulli entre los puntos 4 y 5 po- demos determinar el gasto: 22 5 54 4 5 4 4 5 2 2 T T P vP v H H z z g g         Teniendo en cuenta que la instalación es horizontal (z4=z5) y expresando la velocidad en cada caso en función del gasto (v=G/S=4G/(D2)), tendremos:       22 2 2 2 4 5 34 5 5 4 2 4 4 4 4 4 4 4 5 4 5 4 8 1 1 ·10·27200 0.015 2 2 8 8·10 · 0.05 0.1 g P PP P v v G G m s g g g D D D D                        b) La altura de la bomba se puede calcular aplicando el T. de B. entre las secciones 2 y 3. Teniendo en cuenta que la conducción es horizontal y las velocidades iguales (al serlo las secciones) pode- mos escribir: 2 2 3 3 3 22 2 2 3 3 2 3 2 272000 27.2 2 2 10000 T T B B T T P v P PP v H H h h H H z z m g g                       Y su potencia es: 10000· 0.015· 27.2 4080B BW Gh W   c) Para calcular el coeficiente de fricción, f, en la tubería aplicamos el T. de B. entre dos puntos situados sobre la superficie libre del depósito unidos a través del conducto: 2 52 2 5 2 5 2 2 8 27.2· ·10·0.1 0.075 8 8·200·0.015 B TA TB AB B B AB h gDfLG H H h h h h f gD LG              Problema 4 B 1 A 2 3 4 5 6 B FFIA: Dinámica de Fluidos 1-30 22 2 6 6 6 6 6 2 5 8 2 2 A A i i i A b A A b i i P vP v f L G H h H h z h z g g gD              Despejamos el valor de hB y sustituimos los valores para las variables co- nocidas:     2 2 2 2 2 2 26 6 2 4 2 5 2 2 2 2 4 2 5 2 4 2 6 3 2 4 8 2 8 8 6 5 4 3 2 1 8 8 8 91 20 18 91 38 1 8 5 10 91 10 ·3 38 1 40 10 5 10 5 10 A b P P G fLG h z gD gD G fLG G fL DgD gD gD m                                                  El valor de la potencia será: 4 310 · 40·30·10 12000 12B bW Gh W kW     8. En la instalación de la figura se utiliza una tubería de hierro (rugosidad ε=0.4 mm, diámetro D=0.25 m) para llevar 100 l/s de agua desde el depósito inferior hasta el superior. a) Determine la potencia necesaria de la bomba. b) Dibuje la línea de alturas totales. c) Calcule la altura de presión en el punto más alto de la instalación, Q; ¿saldría agua de la tubería si se abriera un ori- ficio en dicho punto? Datos: ρ=1000 kg/m3, visco- sidad μ=0.001 N·s/m2. Debe usar el diagrama de Moody para calcular el factor de fricción de la tubería. No consi- dere pérdidas locales. SOLUCIÓN: a) Aplicamos el Teorema de Bernoulli entre el punto A (nivel del depósito) y el punto C (salida de la tubería) podemos obtener una expresión para la altura de la bomba:                              2 2 2 5 2 2 2 2 4 2 5 2 4 8 2 8 8 8 1 atm atm C A b C A b C b C A C A P P v fLG H h H h z h z g g g gD G fLG L G h z z f z z DgD gD gD En la expresión anterior hemos puesto la altura de velocidad en C en función del gasto. L es la longitud completa de la tubería, L=300 m. Para conocer el coeficiente de fricción, f, acudimos al diagrama de Moody. La rugosidad relativa /D=0.0004/0.25=0.0016; y nº de Reynolds vale: 54 4 1000 0.1 509296 5·10 0.001 0.25 vD G Re D               Que hemos puesto en función del gasto sin más que sustituir    2 4G G v S D . El valor de f que se obtiene es aproximadamente f=0.022. Sustituyendo en la ecuación de la altura de la bomba: 2 2 2 4 2 4 8 300 8·0.1 1 1 0.022 100 5.73 100 105.73 m 0.25 9.8·0.25 b C A L G h f z z D gD                       Problema 7 A B L L L L L L 1ª 6ª 5ª 4ª 3ª 2ª C Problema 8 5 m Q 1 1 0 m 1 0 5 m 10 m 20 m B A C FFIA: Dinámica de Fluidos 1-31 Por lo que la potencia de la bomba será: 1000 9.8 0.1 105.73 103615 W 103.6 kWb bW gGh       . Para dibujar la línea de alturas totales solo tenemos que calcular las pérdidas en cada tramo de tubería: 2 1 12 5 2 2 3 3 4 4 8 · 0.0184 20 0.368 m 0.0186· 0.0184 10 0.184 m 0.0186· 0.0184 200 3.68 m 0.0186· 0.0184 70 1.288 m fG h L gD h L h L h L                      Como ve, en el punto C la altura total no es exacta- mente 105 m debido a la altura de velocidad (0.21 m). En cuanto a la altura de presión en Q, una vez más aplicamos Bernoulli entre A y Q: 2 1 2 3 0.21 5 105.73 110 0.368 0.184 3.68 2 3.75 m Q Qatm A b Q Q atm P vP H h H h h h g g g P P g                       Es decir, la altura de presión manométrica en Q es negativa, o en otras palabras, la presión abso- luta en Q es menor que la atmosférica, por lo que si se abriera un orificio en Q entraría aire en la tubería. 9. La tolva dosificadora C tiene forma cónica. El radio de su base vale R=2 m y su profundidad H=4 m. Cuando está completamente llena se ha de vaciar hasta la mitad de su altura, a través del orificio E, de 8 cm de diámetro, para una operación de mantenimiento de emergencia, a) ¿cuánto tiempo tardará en vaciarse?. Una vez realizada la operación de mantenimiento, se cierra el desagüe y se pretende llenar de nuevo mediante la instalación hidráhulica de la figura que lo conecta al pantano A (L=100 m, D=20 cm, f=0.02). b) Determine la potencia de la bomba para que la tolva se vuelva a llenar por completo en 20 minutos. Nota: tómese g=10 m/s2; 2=10; 21 3 πCONOV R H . SOLUCIÓN: a) Para determinar el tiempo de vaciado pedido, consideramos un instante intermedio. En esas condiciones el radio de la superficie li- bre del fluido es x(t) y la profundidad del agua z(t). Si aplicamos el teorema de Bernoulli entre un punto situado en la superficie libre (1) y otro situado a la salida del orificio del desagüe (2) podemos escribir: 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2( ) 2 ( )2 2 2 P v P v v z z z t v gz t g g g           Donde hemos tenido en cuenta que las presiones en 1 y 2 son iguales, hemos des- preciado la velocidad en la superficie libre (1) frente a la velocidad de salida (2). Se ha de verificar la ecuación de continuidad: 2 1 1 2 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) Sdz t S v S v gz t dt x t     R H E x z B A C 30 m E Problema 9 5 m Q 4.63 105.2 106.52 1 0 5 m 110.18 110.36 B A C FFIA: Dinámica de Fluidos 1-32 Necesitamos establecer la relación entre x(t) y z(t) para poder integrar la ecuación anterior: ( ) ( ) x t R R x z z t H H    Sustituyendo el valor de x(t) en la expresión anterior:   2 2 2 2 3 2 3 22 2 2 2 2 2 2 42 5 2 2 3 2 5 2 5 2 2 2 5 2 2 2 2 2 2 2 34.94 34.94 4 2 368.2 6 8.2 5(0.04) 4 20 H F H H H S Hdz R R g z dt z dz t z dz dt R z S H g S H g z z dz s m s                            b) Si queremos rellenar la mitad vaciada en 20 minutos hemos de aportar un caudal: 2 21 1 3 32 2 16 2 0 0122 20 60 20 60 3[ ( / ) ( / )] ( ) . m /s R H R HV G t          Aplicamos el teorema de Bernoulli entre la superficie del lago (A) y la salida libre del conducto (C): 2 2 2 2 5 8 2 2 C C C C A A TA TC A B B TC TA A C A P v P v fLG H H h H H H H h z z g g gD                 Las presiones en A y C son iguales a la presión atmosférica; la velocidad en A podemos despreciarla y la de C expresarla en función del gasto:     2 2 2 4(2 ) 8Cv g G gD . Con ello podemos escribir: 2 2 2 2 2 4 2 5 2 4 4 8 8 8 8 0 0122 0 02 1001 30 1 30 082 0 210 10 0 2 . . . .( . ) B C C G fLG G f L H z z m DgD gD gD                           La potencia de la bomba será: 10 1000 0 0122 30 082 3670. . WB B BW GH gGH       