Propagación de Ondas Electromagnéticas

En algunos ejercicios de encontrar las propiedades ondulatorias de la luz, puede que surjan, dentro de la función coseno, no sólo una variable espacial \(x\), sino dos variables \(x\) y \(y\).

\[E=E_{m d x} \cos \left(\frac{2}{3} x+\frac{1}{3} y-\omega t+\phi\right)\]

En estos casos, ¿cómo encontrar la dirección de propagación y la longitud de onda de la luz?

Ondas Electromagnéticas en una dirección cualquiera

Cuando la onda se propaga paralelamente a uno de los ejes cartesianos, el campo eléctrico o el campo magnético siempre dependerá solo del tiempo y de la variable correspondiente al eje. Por ejemplo:

\[E=E_{m a  x} \cos (k x-\omega t)\]

El campo eléctrico depende solo de \(x\), entonces la onda se propaga paralelamente al eje \(x\).

¿Pero cómo quedaría mi ecuación si la onda se propagara en cualquier dirección?

La onda se está propagando en la dirección y sentido del vector unitario \(\hat{k}\). Una forma de escribir ese vector de propagación es:

\[\hat{k}=\frac{\vec{E} \times \vec{B}}{\|\vec{E} \times \vec{B}\|}\]

En general, no necesitamos de esa fórmula para resolver ejercicios. Pero quise dejar en claro que la onda electromagnética se propaga en el sentido del producto vectorial de \(\vec{E}\) y \(\vec{B}\)! Y eso sí es importante.

Ahora, vamos a definir el vector \(\vec{k}\) que tiene la misma dirección y sentido que \(\hat{k}\), pero multiplicado por el número de onda.

\[\vec{k}=\frac{2 \pi}{\lambda} \hat{k}\]

La razón por la que hablamos de este vector es que ahora la función sinusoidal que describe los campos eléctricos y magnéticos sufrirá un pequeño cambio.

\[\vec{E}=E_{m a x} \cos (\vec{k} \bullet \vec{r}-\omega t+\phi) \widehat{n}\]

En esta nueva ecuación, \(\vec{k}\) es como si fuera el número de onda, también nos da la dirección y el sentido de la onda. Usamos \(\vec{r}\) en lugar de \(x\) para el punto en el espacio donde estoy mirando. El vector unitario \(\widehat{n}\) es la dirección de vibración del campo eléctrico, siendo perpendicular a \(\vec{k}\).

La operación \(\vec{k} \bullet \vec{r}\) es el producto interno entre \(\vec{k}\) y \(\vec{r}\). 

Vamos a dejar todo más claro. Digamos que la onda se propaga en el plano \(x y\), haciendo un ángulo de \(45^{\circ}\) con el eje \(x\).

Esa dirección es dada por el vector unitario \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)\). Digamos que la longitud de onda de la luz es dada por \(600 n m\). 

Por tanto:

\[\vec{k}=\frac{2 \pi}{600} \bullet\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \hat{i}+\frac{\sqrt{2}}{2} \hat{j}\right)\]

\(\vec{k} \bullet \vec{r}=\left(\frac{2 \pi}{600} \cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2} i+\frac{\sqrt{2}}{2} \hat{j}\right)\right) \cdot(\hat{\imath} \hat{\imath}+y \hat{\jmath})=\frac{\pi \sqrt{2}}{600} x+\frac{\pi \sqrt{2}}{600} y\) 

\[\vec{E}=E_{m a x} \cos \left(\frac{\pi \sqrt{2}}{600} x+\frac{\pi \sqrt{2}}{600} y-\omega t+\phi\right)\]

Y ahí está, resuelto el misterio de la dependencia con \(y\)!

Cuando el campo eléctrico o el campo magnético depende de más de una coordenada, es porque la dirección de propagación de la onda no es paralela a ningún eje.

Notación compleja

Como tenemos muchos senos y cosenos en esta materia, a veces es conveniente usar una notación diferente llamada notación compleja. No es más que tomar una función exponencial de un número complejo.

\[e^{i \theta}\]

Esa exponencial se relaciona con senos y cosenos por medio de la fórmula de Euler

\[e^{i \theta}=\cos (\theta)+i \operatorname{sen}(\theta)\]

La idea de la notación compleja es simplificar la notación (perdonen la broma jajaja)  

Funciona así:

Vamos a suponer que tienes el siguiente campo:

\[\vec{E}=E_{0} \cos (k x-\omega t) \hat{k}\]

La forma de escribir usando números complejos es:

\[\vec{E}=E_{0} \mathrm{e}^{i(k x-\omega t)} \hat{k}\]

Cuando quieras recuperar el campo original, toma la parte real del número, que será la parte con el coseno. 

\[\operatorname{Re}\{\vec{E}\}=E_{0} \cos (k x-\omega t) \hat{k}\]

Okay, lo hice. ¿Pero de qué me sirve?

¡Tiene dos ventajas! La primera es que las derivadas se vuelven extremadamente fáciles porque la derivada es una exponencial!

Ej:

\[\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\left(E_{0} \mathrm{e}^{i(k x-\omega t)} \hat{k}\right)=-i \omega E_{0} \mathrm{e}^{i(k x-\omega t)} \hat{k}\]

La segunda es que se hace más compacto y fácil sumar campos

Ej: Suponiendo que tenemos dos campo de la misma intensidad

\[\vec{E}=E_{0} \mathrm{e}^{i(k x-\omega t)} \hat{k}\]

\[\vec{E}=E_{0} \mathrm{e}^{i(k x-\omega t+\pi)} \hat{k}\]

Si quisiéramos sumar los dos, tenemos 

\[\vec{E}+\vec{E}=E_{0}\left(\mathrm{e}^{i(k x-\omega t)}+\mathrm{e}^{i(k x-\omega t+\pi)}\right) \hat{k}\]

Poniendo a \(e^{i(k x-\omega t)}\) en evidencia tenemos

\[\vec{E}+\vec{E}=E_{0} \mathrm{e}^{i(k x-\omega t)}\left(1+\mathrm{e}^{i \pi}\right) \hat{k}\]

Por la definición de la exponencial compleja

\[e^{i \pi}=\cos (\pi)+i \operatorname{sen}(\pi)=-1+i 0=-1\]

Entonces

\[\vec{E}+\vec{E}=E_{0} \mathrm{e}^{i(k \cdot x-\omega t)}(1-1) \hat{k}\]

\[\vec{E}+\vec{E}=0\]

Y ahora, ¿estás preparado para los ejercicios?