Universidad Tecnológica de Panamá
Facultad de Ingeniería Mecánica
Departamento de Energía y Ambiente
MECÁNICA DE FLUIDOS I
Laboratorio # 1
Cálculo de densidad a partir de mediciones experimentales:
cuerpos sólidos y líquidos
Objetivos.
1. Familiarizar al estudiante con el concepto de densidad y gravedad especifica.
2. Determinar la densidad y la gravedad especifica a partir de mediciones experimentales
para líquidos y sólidos de geometrías irregulares.
Marco teórico.
La densidad (�) se define como la razón entre la masa (�) y el volumen de un cuerpo (�).
Es decir es el reciproco del volumen especifico y por consiguiente se trata de una propiedad
intensiva.
�=
�
�
(1)
En ocasiones resulta práctico expresar la densidad de una sustancia en función de la
densidad de otra sustancia plenamente conocida. Esto último es lo que se conoce como gravedad
específica o densidad relativa, y se define como la razón de la densidad de una sustancia a la
densidad de alguna sustancia estándar, a una temperatura especifica. Por lo general agua a 4°C
(��2 � = 000 ��⁄�3 ).
�. �. =
� � ��� ���
� �2 �
(2)
Experimentalmente, la densidad de una sustancia se suele obtener a partir del valor de su
gravedad específica por medio de un densímetro o bien a partir del cálculo del volumen del
cuerpo y de la medición de su masa empleando una balanza. En el caso de sólidos irregulares el
volumen se puede determinar al colocar dicho objeto dentro de un fluido (de menor densidad) en
un recipiente de volumen conocido y observando el cambio de volumen con respecto al volumen
original.
�
��
= ���
���� �� �� ������� �
− � ����
��
(3)
Materiales.
1.
2.
3.
4.
5.
Balanza digital.
Pie de rey o cinta métrica.
Dos vasos químicos.
Cinco líquidos distintos.
Cinco cuerpos sólidos distintos.
Procedimiento.
En primer lugar se han de tomar los datos para determinar la densidad de los líquidos.
1.
2.
3.
4.
5.
Pese el vaso químico en la balanza digital. Anote el valor.
Llene el vaso químico con el primer fluido.
Pese vaso químico lleno en la balanza digital. Anote el valor en la tabla 1.
Anote el valor del volumen ocupado por el fluido en el vaso químico en la tabla 1.
Repita los pasos anteriores para los otros cuatro fluidos.
Ahora debe obtener los datos para determinar la densidad de los cuerpos sólidos.
1. Pese el cuerpo sólido en la balanza digital. Anote el valor en la tabla 2.
2. Determine el volumen del cuerpo. En caso de que se trate de una geometría simple,
realice las mediciones de las dimensiones necesarias para realizar el cálculo del volumen.
De tratarse de una geometría irregular, determine el volumen a partir del cambio de
volumen observado al introducir el objeto en un fluido (debe ser menos denso, por lo
tanto el cuerpo ha de hundirse). Anote el valor en la tabla 2.
3. Repita los pasos anteriores para los otros cuatro cuerpos sólidos.
Resultados.
Realice el cálculo de la densidad para los líquidos y los cuerpos sólidos. Para los líquidos
también determine la gravedad específica. Llene las tablas 1 y 2.
Peso del vaso químico vacio:
Líquido
Peso del vaso
químico con
el fluido
Peso del
fluido
Volumen
ocupado por
el fluido
Densidad
Gravedad
especifica
1.
2.
3.
4.
5.
Tabla 1. Datos empleados para cálculo de la densidad, valor de la densidad y de la gravedad
específica para los fluidos usados en el laboratorio.
Cuerpo sólido
Peso del cuerpo
sólido
Volumen del cuerpo
sólido
Densidad
1.
2.
3.
4.
5.
Tabla 2. Datos empleados para cálculo de la densidad y el valor de la densidad para los cuerpos
sólidos usados en el laboratorio.
Preguntas.
1. ¿Cree que exista alguna relación entre el valor de la densidad y las dimensiones de un
cuerpo? Es decir, ¿La densidad podría variar al cambiar las dimensiones del cuerpo?
Explique su respuesta.
2. ¿Qué puede decir de la densidad de aquellos fluidos cuya gravedad especifica resulta ser
un valor inferior a la unidad?
Referencia.
1. Çengel, Y., Cimbala, J., 2012, MECANICA DE FLUIDOS: Fundamentos y
Aplicaciones, McGraw-Hill.
Universidad Tecnológica de Panamá
Facultad de Ingeniería Mecánica
Departamento de Energía y Ambiente
MECÁNICA DE FLUIDOS I
Laboratorio # 2
Cálculo de presión: uso de un manómetro en U de tubo abierto
Objetivos.
1. Familiarizar al estudiante con el concepto de presión absoluta y presión manométrica.
2. Calcular la presión por medio del uso de un manómetro en U de tubo abierto.
Marco teórico.
La presión (�) es un escalar que se define como una fuerza ejercida por un fluido por
unidad de área (�). La presión real (presión absoluta) se mide con respecto al vacío absoluto, en
tanto que la presión manométrica es aquella que se mide con respecto a la presión atmosférica
local. Aquellas presiones por debajo de la presión atmosférica se conocen como presiones de
vacío.
��
� � ��
��
= ���
� � ��
�����
= ���
+ ����
�����
� ���
− �����
(1)
(2)
Se puede demostrar fácilmente que la presión varia con la profundidad. Considere el
elemento de volumen en equilibrio mostrado en la figura 1.
l�m � + ∆� = � + ��
∆�→0
�
�2
�
Figura 1. Elemento de volumen en equilibrio.
Sí realizamos un balance de fuerzas en la dirección � nos queda:
∑ �� = ��� = 0 → � � − �2 � − � = 0
(3)
� − �2 � = �����
(4)
Aquí se supondrá que la densidad del fluido � es constante. La ecuación anterior puede re
escribirse como:
Donde � = � � y �2 = � � + �� , entonces �2 se puede aproximar a � al realizar la
expansión en serie de Taylor de � en torno a � , y al evaluar en � = � + ��:
� � + �� = � �
+
�� �
��
� + �� − �
!
+
��2 �
�� 2
� + �� − �
!
2
+⋯
(5)
Lo cual tras despreciar los términos de orden superior nos da:
� � + �� ≈ � �
+
�� �
�� → �2 = � + ��
��
(6)
Introduciendo el resultado anterior en la ecuación (4):
[� − � + �� ]� = ����� →
� = −�� �
(7)
En general existen diferentes instrumentos que permiten realizar mediciones de presión.
Uno bastante utilizado es el manómetro y de sus diversas variantes, una de las más simples es el
manómetro en U. En la figura 2, puede apreciarse un manómetro en U:
Figura 2. Manómetro en U de tubo abierto.
A partir de la ecuación (7) y con base en la figura 2, podemos determinar la presión del
gas:
� ℎ
∫
� 0
ℎ
�� = −��� ∫ �
0
� ℎ − � 0 = −��ℎ
� 0 − � ℎ = ��ℎ
Sí suponemos que el tubo en U está abierto a la atmósfera (� ℎ = ����
y que la
densidad del gas es pequeña en comparación con la densidad del fluido dentro del manómetro podemos
decir que � 0 = �� � � ��,��� y nos quedaría:
��
� � ��,���
− ����
� ���
= ���
�����
� ��� )
= ��ℎ
(8)
Qué representa la presión que medimos con el manómetro en U abierto.
Materiales.
1. Manómetro en U.
2. Vaso químico.
3. Cinta métrica.
Procedimiento.
1. Llene el vaso químico con agua hasta cierto nivel.
2. Registre el cambio de elevación que se da dentro del tubo en U al ir recorriendo con el
embudo 8 distancia conocidas dentro del vaso químico. Tome como referencia la
superficie del agua que coloco en el vaso químico. Llene la tabla 1.
3. Repita el procedimiento anterior, pero ahora llenando el vaso químico con alguno de los
fluidos empleados en el laboratorio anterior (seleccione el de su preferencia). Llene la
tabla 2.
Resultados.
1. Calcule la presión manométrica y la presión absoluta, tanto por medio de las elevaciones
conocidas ( ��� �é�����,� , �� � � ��,� ) como a través de los cambios de elevación
registrados en el tubo en U ( ��� �����, , �� � � ��, ). Llene la tabla 1 y la tabla 2.
Considere que la presión atmosférica local es de 1 atm.
Elevación
conocida (m)
Cambio de
elevación en
el tubo en U
(m)
�
�
é� ���,�
��
�
�
é� ���,�
��
��
��,�
��
��
��,�
��
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Tabla 1. Vaso químico lleno con agua: datos empleados para cálculo de la presión manométrica
y presión absoluta a diferentes elevaciones.
Elevación
conocida (m)
Cambio de
elevación en
el tubo en U
(m)
�
�
é� ���,�
��
�
�
��
é� ���,�
��
��,�
��
��
��,�
��
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Tabla 2. Vaso químico lleno con fluido seleccionado: datos empleados para cálculo de la presión
manométrica y presión absoluta a diferentes elevaciones.
2. A partir de los datos registrados en la tabla 1, grafique ���
conocida (m).
�����,
��� vs. elevación
3. Por medio de regresión lineal obtenga la pendiente de la función representada por el
gráfico ��� �é�����, ��� vs. elevación conocida (m).
4. Repita los pasos 2 y 3 utilizando los datos registrados en la tabla 2.
Preguntas.
1. ¿Qué sucede con la presión al aumentar la profundidad?
2. Para una elevación conocida, ¿fue mayor la presión del agua o la del fluido seleccionado?
¿A qué cree que se deba este hecho?
3. ¿Qué representa la pendiente del gráfico ��� �é�����, ��� vs. elevación conocida (m)?
Problema.
1. A partir de la figura 3, exprese � − �2 = � , �2 , �3, ℎ , ℎ2, ℎ3 ). ¿Qué representa � −
�2 , si el tubo en U está abierto a la atmósfera?
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Figura 3. Diagrama de manómetro en U de tubo abierto para el problema 1.
Referencia.
1. Çengel, Y., Cimbala, J., 2012, MECANICA DE FLUIDOS: Fundamentos y
Aplicaciones, McGraw-Hill.
Universidad Tecnológica de Panamá
Facultad de Ingeniería Mecánica
Departamento de Energía y Ambiente
MECÁNICA DE FLUIDOS I
Laboratorio # 3
Hidrostática: fuerza sobre una superficie plana
Objetivos.
1. Familiarizar al estudiante con los conceptos básicos de la hidrostática.
2. Calcular la fuerza de presión resultante sobre una superficie plana vertical.
3. Calcular de forma experimental y teórica la coordenada del centro de presión en una
superficie plana vertical.
Marco teórico.
Sobre toda superficie sumergida en un fluido actúa una fuerza de presión. Dicha fuerza va
a depender tanto de la densidad del fluido como de la profundidad a la que se encuentra el
centroide de la superficie sumergida.
Considere una superficie plana de geometría arbitraria sumergida en un fluido incompresible. El
plano de esta superficie intersecta la superficie libre a un ángulo � como se aprecia en la figura 1.
Suponga que la presión absoluta del fluido en la superficie tiene una magnitud �0 , y que la
superficie de área � se encuentra a una profundidad ℎ
Figura 1. Fuerza hidrostática sobre una superficie plana completamente sumergida en un fluido.
Recordando lo visto anteriormente, podemos expresar la presión (� sobre la superficie
como:
� − �0 = ��ℎ
Donde � es la densidad del fluido, y � es la aceleración gravitatoria.
(1)
Observando la figura 1, podemos re escribir la ecuación anterior como:
� − �0 = �� ����
(2)
Recordando la definición de fuerza equivalente:
�
.
= ∫ �� + ��
�
��
.
= ∫ ���
�
� = �� � + � ��
��, es la coordenada
al calcular el primer momento de área.
Donde � ∫�
(3)
�
�
�
∫
�
�
(4)
del centroide de la superficie ( � ), y puede ser encontrada
Ahora bien, también es de interés saber en qué punto actúa la fuerza equivalente sobre la
superficie de estudio. Este punto ( , ) se puede encontrar al hacer balance de momento entre
las sumatoria de las fuerzas infinitesimales y la fuerza equivalente con respecto a los ejes , en
torno al punto (ver figura 1).
(�� . ) = ∫ �0 + �� ���� �� = � �0
�
�
∫ �� + ������ ∫
�
�
��
(5)
Donde ∫� 2 �� es el momento de inercia sobre el eje con respecto al punto (���,� ).
Generalmente el momento de inercia suele encontrarse con respecto al centroide de la geometría
(���,� ), por lo tanto podría requerir emplear el teorema de ejes paralelos:
���, = ���,� +
De lo anterior se encuentra que:
=
�
+
[
�
�
2
�
�� � �� ,�
�� � � + �� ]�
(6)
(7)
Siguiendo un procedimiento similar al anterior, se encuentra
al igualar el momento
con respecto al eje
, que hace la fuerza equivalente y las sumatoria de las fuerzas
infinitesimales, en torno al punto .
�� � �� ,�
= �+
(8)
[� + � �� � �]�
Donde ��
,�
es el producto de inercia con respecto al centroide de la geometría:
��
,�
=∫
��
�
(9)
Para el caso particular de una superficie plana se sección rectangular (figura 2); las
ecuaciones (4), (7) y (8) se reducen a:
�
.
= �� � +
=
�� � + �
+ ⁄
+
��
[
�
��º [
�
⁄
] = � [�� + ��
�� � ��º � ⁄
+ ⁄ �� � ��º + �� ]�
=
+ ⁄
]
�
(10)
(11)
(12)
Figura 2. Fuerza hidrostática sobre una superficie plana vertical completamente
sumergida en un fluido.
Materiales.
1. Equipo para evaluar fuerzas sobre superficies planas y curvas.
2. Destornillador.
3. Termómetro.
Procedimiento.
1. Retire el anexo curvo del dispositivo. Emplee un destornillador.
2. Remueva el componente superior del dispositivo y llene el depósito inferior con agua.
3. Transfiera agua del depósito inferior al superior por medio del mecanismo de bombeo
hasta alguna elevación que cubra parcial o totalmente la superficie plana. Registre esta
elevación en la tabla 1.
4. Mueva el contrapeso hasta que alcance una posición de equilibrio (ver figura 3, en el
anexo).
5. Mida las distancias �, � y . Registre en la tabla 1 (ver figura 3, en el anexo).
6. Repita los pasos anteriores para al menos cuatro elevaciones distintas.
7. Sí cuenta con un termómetro mida la temperatura del agua. De lo contrario suponga
alguna temperatura y con esta estime la densidad del fluido.
Resultados.
1. A partir del conjunto de datos tomados, calcule el momento que produce el contrapeso
sobre el punto pivote ( ) y la fuerza equivalente o de presión hidrostática sobre la
superficie plana. Registre en la tabla 2.
2. Haga un balance de momento sobre el punto pivote, de manera tal que pueda determinar
el punto de aplicación de la fuerza hidrostática ( ) en cada uno de los casos estudiados.
Registre en la tabla 2.
3. Determine el punto de aplicación de la fuerza hidrostática ( ) a partir de las ecuaciones
mencionadas en el marco teórico para cada uno de los casos estudiados. Registre en la
tabla 2.
Elevación (m)
Distancia
(m)
Distancia
(m)
Distancia
(m)
1.
2.
3.
4.
5.
Tabla 1. Datos experimentales empleados para cálculo de la fuerza hidrostática sobre una
superficie plana vertical y su coordenada del centro de presión.
Elevación (m)
�
∙
�
.
,
�
��
,� ó ��
1.
2.
3.
4.
5.
Tabla 2. Resultados del cálculo de la fuerza hidrostática sobre una superficie plana vertical y su
coordenada del centro de presión.
Preguntas.
1.
2.
3.
4.
¿Existe diferencia entre ,�� ����� ��� y ,��ó��� ? ¿a qué cree que se deba este hecho?
Al realizar el balance de momento sobre el punto pivotado, ¿qué fuerzas tomo en cuenta?
¿Cuál es la magnitud de la coordenada del centro de presión?
¿Cómo afectaría a la magnitud de la fuerza hidrostática un cambio en fluido de trabajo?
5. ¿Cómo afectaría a la localización del centro de presión un cambio en un fluido de
trabajo?
Anexo.
Figura 3. Diagrama del equipo empleado para evaluar fuerzas sobre superficies planas y curvas.
Con base al diagrama de la figura anterior tenemos que:
= 00 ��.
� = 50 ��.
� �� � �� = ����ℎ� ℎ���� = 350 �.
Referencia.
1. Çengel, Y., Cimbala, J., 2012, MECANICA DE FLUIDOS: Fundamentos y
Aplicaciones, McGraw-Hill.
Universidad Tecnológica de Panamá
Facultad de Ingeniería Mecánica
Departamento de Energía y Ambiente
MECÁNICA DE FLUIDOS I
Laboratorio # 4
Hidrostática: fuerza sobre una superficie curva
Objetivos.
1. Familiarizar al estudiante con los conceptos básicos de la hidrostática.
2. Calcular las componentes y la resultante de la fuerza de presión sobre una superficie
curva.
3. Calcular de forma experimental y teórica el momento que hace la fuerza de presión
resultante sobre el punto pivote.
Marco teórico.
Sobre toda superficie sumergida en un fluido actúa una fuerza de presión. Dicha fuerza va
a depender tanto de la densidad del fluido como de la profundidad a la que se encuentra el
centroide de la superficie sumergida.
Para una superficie curva, la determinación de la fuerza hidrostática resultante requiere de la
integración de las fuerzas de presión que cambian en la dirección a lo largo de la superficie
curva. La manera más sencilla de determinar la fuerza hidrostática resultante (�� ) que actúa en
una superficie curva bidimensional es a través de la determinación de las componentes
horizontales (�� ) y verticales (�� ) separadamente. Esto último se logra al considerar el diagrama
de cuerpo libre del bloque de fluido encerrado por la superficie curva y las dos superficies planas
que pasan por los dos extremos de la superficie curva, como se muestra en la figura 1.
Figura 1. Diagrama de cuerpo libre para determinar la fuerza hidrostática resultante que actúa
sobre una superficie curva sumergida en un fluido.
A partir de la figura anterior, y realizando equilibrio de fuerza en la dirección
dirección , se pueden determinar las componentes de fuerza hidrostática resultante:
∑ �� = �� − �� = 0
y en la
(1)
Donde �� es la fuerza sobre una superficie plana vertical (figura 2).
Figura 2. Fuerza hidrostática sobre una superficie plana vertical completamente sumergida en un
fluido.
∑ � = �� −
−� =0
Donde � es la fuerza sobre una superficie plana horizontal (figura 3) y
(2)
es el peso de la masa
del bloque de fluido que hemos tomado como volumen de control.
Figura 3. Fuerza hidrostática sobre una superficie plana horizontal completamente sumergida en
un fluido.
= �����
(3)
Donde � es la densidad del fluido, � es la aceleración gravitatoria, y ��� es el volumen de
la masa de control. Se requiere de suficiente información para determinar el volumen de la masa de
control.
Entonces la fuerza resultante y el centro de presión estarían dados por:
�� = √ ��
2
+ ��
� = �an− (
��
)
��
2
Donde � es medido con respecto a la horizontal.
(4)
(5)
Concretamente para el laboratorio se tiene un semicírculo, que se puede encontrar parcial
o totalmente sumergido en un fluido. A continuación se presenta el análisis a realizar, en el caso
de que se encuentre sumergido en un líquido hasta la mitad de su diámetro (figura 4).
Figura 4. Superficie curva sumergida en un fluido hasta la mitad de su diámetro.
En primer lugar se analizará la superficie sumergida.
Figura 5. Diagrama de cuerpo libre de la parte de la superficie curva sumergida en el fluido.
A partir de la figura 5, se tiene:
−
�
] + [�� + �
�
∑ �� = �� − �� = 0 → �� = � = [�� + �
�� = −�
�
�[
�
−
�
∑ � = �� +
�
−
�
�
�
�
−� =0→
− �.
]
�
�
−
�]
(6)
�
�
−
(7)
�
Luego se procede a analizar la superficie no sumergida, expuesta a la atmosfera:
Figura 6. Diagrama de cuerpo libre de la parte de la superficie curva no sumergida en el fluido.
A partir de la figura 6, se tiene:
∑ �� = �� − �� = 0 →
�− �
�� = � = [�� + ��� �
] �− �
�� = ��� �[
�
−
�
∑ � = �� −
�
− � − �.
�� ≅ ��
−� =0→
�
−
≅ ��
�
] + [�� + ��� �
�
−
�]
(8)
�
�
−
Entonces la fuerza resultante y el centro de presión estarían dados por:
�
(9)
�� = √(��,
��
�
+ ��,
��
(��,
� = ���− [
(��,
�
��
��
) + (��,
�
�
− ��,
+ ��,
Ha de decirse que he tomado la dirección
��
�
��
�
��
�
− ��,
)
��
]
)
�
)
positiva hacia la derecha y la dirección
(10)
(11)
positiva
hacia arriba.
Un análisis similar se ha de seguir para determinar la fuerza resultante y el centro de presión
cuando la superficie curva esta por completo sumergida.
Materiales.
1. Equipo para evaluar fuerzas sobre superficies planas y curvas.
2. Destornillador.
3. Termómetro.
Procedimiento.
1. Coloque el anexo curvo en el dispositivo. Emplee un destornillador.
2. Remueva el componente superior del dispositivo y llene el depósito inferior con agua.
3. Transfiera agua del depósito inferior al superior por medio del mecanismo de bombeo
hasta alguna elevación que cubra parcial o totalmente la superficie plana. Registre esta
elevación en la tabla 1.
4. Mueva el contrapeso hasta que alcance una posición de equilibrio (ver figura 3, en el
anexo).
5. Mida las distancias �, � y . Registre en la tabla 1 (ver figura 3, en el anexo).
6. Repita los pasos anteriores para al menos cuatro elevaciones distintas.
7. Sí cuenta con un termómetro mida la temperatura del agua. De lo contrario suponga
alguna temperatura y con esta estime la densidad del fluido.
Resultados.
1. A partir del conjunto de datos tomados, calcule el momento que produce el contrapeso
sobre el punto pivote ( ) y la fuerza equivalente o de presión hidrostática sobre la
superficie plana. Registre en la tabla 2.
2. Haga un balance de momento sobre el punto pivote, de manera tal que pueda determinar
el punto de aplicación de la fuerza hidrostática ( ) en cada uno de los casos estudiados.
Registre en la tabla 2.
3. Determine el punto de aplicación de la fuerza hidrostática ( ) a partir de las ecuaciones
mencionadas en el marco teórico para cada uno de los casos estudiados. Registre en la
tabla 2.
Elevación (m)
Distancia
(m)
Distancia
(m)
Distancia
(m)
1.
2.
3.
4.
5.
Tabla 1. Datos experimentales empleados para cálculo de la fuerza hidrostática sobre una
superficie plana vertical y su coordenada del centro de presión.
Elevación (m)
�
∙
�
.
,
�
��
,� ó ��
1.
2.
3.
4.
5.
Tabla 2. Resultados del cálculo de la fuerza hidrostática sobre una superficie plana vertical y su
coordenada del centro de presión.
Preguntas.
1.
2.
3.
4.
5.
¿Existe diferencia entre ,�� ����� ��� y ,��ó��� ? ¿a qué cree que se deba este hecho?
Al realizar el balance de momento sobre el punto pivotado, ¿qué fuerzas tomo en cuenta?
¿Cuál es la magnitud de la coordenada del centro de presión?
¿Cómo afectaría a la magnitud de la fuerza hidrostática un cambio en fluido de trabajo?
¿Cómo afectaría a la localización del centro de presión un cambio en un fluido de
trabajo?
Anexo.
Figura 3. Diagrama del equipo empleado para evaluar fuerzas sobre superficies planas y curvas.
Con base al diagrama de la figura anterior tenemos que:
= 00 ��.
� = 50 ��.
� �� � �� = ����ℎ� ℎ���� = 350 �.
Referencia.
1. Çengel, Y., Cimbala, J., 2012, MECANICA DE FLUIDOS: Fundamentos y
Aplicaciones, McGraw-Hill.
Universidad Tecnológica de Panamá
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Departamento de Energía y Ambiente
MECÁNICA DE FLUIDOS I
Laboratorio # 5
Estabilidad de cuerpos flotantes en líquidos
Objetivos.
1. Familiarizar al estudiante con el concepto de flotabilidad.
2. Estimar la estabilidad de un cuerpo flotante estático a través de la determinación de la altura
metacéntrica.
Marco teórico.
Es común que un objeto se sienta más liviano en líquido de lo que se siente en aire. De
igual forma, cuerpos hechos de madera y materiales livianos flotan en el agua. Estas y otras
observaciones sugieren que un fluido ejerce una fuerza en dirección contraria al peso en un cuerpo
sumergido. Esta fuerza que tiende a sustentar el cuerpo es llamada fuerza de flotabilidad (buoyant
force, � ). Considere la superficie sumergida en la figura 1.
Figura 1. Cuerpo plano sumergido en un fluido, de forma paralela a la superficie libre.
Entonces la diferencia entre las fuerzas mostradas en la figura 1, constituye la fuerza de
flotabilidad:
� = � �ℎ� = � ��
(1)
Dónde: � es la densidad del fluido, � la aceleración gravitatoria, y �el volumen del
cuerpo plano sumergido. Es evidente que � no es más que el peso del fluido, cuyo volumen es
igual al del cuerpo plano sumergido.
La ecuación (1) es válida para cualquier cuerpo sumergido sin importar su geometría. Sí
consideramos que el cuerpo arbitrario se encuentra en equilibrio estático (figura 2), el balance de
fuerza que nos queda es el siguiente:
(2)
� − =0
Figura 2. Diagrama de fuerzas sobre cuerpo arbitrario sumergido en un fluido.
Este hecho es descrito por medio del principio de Arquímedes: el empuje sobre un cuerpo
sumergido en un fluido es igual al peso del fluido desplazado por dicho cuerpo, y actúa hacia
arriba a través del centroide del volumen desplazado.
La ecuación (2) puede re escribirse como:
� =
→ � �� . = �
��� ��
.,�
Dónde: � � �.,� �� es la densidad promedio del cuerpo sumergido, ��
sumergido del cuerpo, y �� ��� es el volumen total del cuerpo sumergido.
(3)
es
el
volumen
�.
De la ecuación (3) y de la figura (2) podemos deducir que:
Sí la fuerza de flotabilidad es mayor que el peso del cuerpo, este flotará.
Sí la fuerza de flotabilidad es menor que el peso del cuerpo, este se hundirá.
Sí la fuerza de flotabilidad es igual al peso del cuerpo, este se encontrará suspendió en el
fluido.
Figura 3. Efecto de la magnitud de la fuerza de empuje sobre un cuerpo sumergido.
Ahora bien, la principal dificultad a la hora de determinar la fuerza de flotabilidad la vamos
a encontrar en el cálculo del volumen sumergido. En general, a menos que se trate de una geometría
sencilla, se suelen emplear métodos de integración numérica para estimar el volumen sumergido.
De igual forma con el centro de flotación (center of buoyancy).
Una aplicación importante del concepto de flotabilidad, la encontramos en la evaluación
de la estabilidad de un cuerpos sumergidos y flotantes. La figura 4 resume bastante bien el
concepto de estabilidad.
Figura 4. (a) cuerpo estable, (b) cuerpo neutralmente estable, (c) cuerpo inestable.
El criterio de estabilidad en el caso de cuerpos flotantes es el siguiente:
Sí el centro de gravedad del cuerpo (�) está directamente debajo del centro de flotación ( ),
el cuerpo siempre es estable.
Sí el centro de gravedad del cuerpo coincide con el centro de flotación, el cuerpo es
neutralmente estable.
Sí el centro de gravedad del cuerpo está por encima del centro de flotación, el cuerpo puede
ser o no estable. Esto último producto de sí existe un momento restaurador.
Una medida de la estabilidad de los cuerpos flotantes es la altura metacéntrica (� ), la
cuál es la distancia entre el centro de gravedad y el metacentro ( ). El metacentro es el punto de
intercepción entre la línea de acción de la fuerza de flotación antes y después de la rotación. El
metacentro puede ser considerado como un punto fijo para la mayoría de las geometrías para
ángulos de inclinación (escora) pequeños.
Figura 5. Estabilidad en un cuerpo flotante.
Para esta experiencia de laboratorio consideraremos el metacentro transversal sobre un
cuerpo flotante. Sin entrar en detalles, la altura del metacentro por encima del centro de
flotación ( 0 ) para ángulos de inclinación pequeños está dada por:
�� � = �⁄�
(4)
�� = ��� + �� �
(5)
Dónde: ∇ es el volumen desplazado y � es el momento de inercia del área paralela a la
superficie del fluido en torno a la línea de centro, a una profundidad o calado dado.
Consecuentemente la altura del metacentro con respecto al punto o línea base está dado por:
La diferencia entre la distancia �� y � (distancia del punto � al centro de
gravedad , no mostrado en la figura 6) da la altura metacéntrica �. Se ve entonces que
sólo si � es positivo entonces el cuerpo es estable.
Figura 6. Diagrama de fuerzas sobre un cuerpo flotante con un pequeño ángulo de
inclinación.
Sí quisiéramos determinar la altura metacéntrica (� ), para un cuerpo de geometría
sencilla, digamos un cubo de sección transversal (
� �) sumergido hasta una profundidad
(�), mostrado en la figura 7, el procedimiento sería el siguiente:
�=∫
�
2
∇= ��
�� = ∫
0
⁄2
= �⁄∇ =
=
�
+
2
��
2
2
�
�
=
3
�
�
Materiales.
=
�
+
2
�
−
�
Figura 7. Cuerpo cubico flotante de longitud � a una profundidad �
1. Barcaza de 343 mm x 204 mm x 79 mm, que en su conjunto tiene un peso aproximado de
5 kg (modulo para estudiar la altura metacéntrica, FME11 de EDIBON).
2. Recipiente plástico.
3. Cinta métrica.
Procedimiento.
1. Tome las dimensiones de los diferentes elementos que constituyen el cuerpo flotante. Vea
la figura 8 del anexo. Llene la tabla 1 y 2.
2. Vierta agua en el recipiente plástico de manera tal que la barcaza flote.
3. Coloque el peso que puede ser desplazado verticalmente en la parte inferior, hasta que
tope con la escala horizontal.
4. Desplace el otro peso horizontalmente hasta que el péndulo y el mástil estén
perfectamente alineados. Observe y registre la profundidad (calado) en la tabla 3.
5. Mida la distancia del centro de masa a la línea base ( �) para cada uno de los elementos
que constituyen la barcaza. Registre en la tabla 1, 2, 3. Consulte al instructor.
6. Determine la distancia del centro de flotación a línea base ( ). Para esto último
suponga, que el centro de flotación coincide con el centroide de figura plana observada
desde la vista transversal. Registre en la tabla 3. Consulte al instructor.
7. Repita los pasos 4 y 5 para al menos otras dos posiciones del peso que puede desplazarse
en la dirección vertical. Registre en la tabla 3.
8. Para cada una de las tres posiciones consideradas anteriormente para el peso que se
desplaza verticalmente, mueva horizontalmente el otro peso de manera tal que la
estructura flotante se escore (no sobrepase los 10°). Registre los ángulos de escora y la
distancia a la cual se ha desplazado la masa con respecto a su posición inicial (no
escorada) en la tabla 4.
9. Repita el paso anterior para al menos otras dos posiciones diferentes del peso que se
puede desplazar horizontalmente.
Resultados.
1. Determine la ubicación sobre la línea base del centro de masa ( �) de la estructura flotante
en su conjunto para cada posición del peso que se puede desplazar verticalmente. Registre en
la tabla 3. Recuerde que:
�����
�� �� � �� ��
�
�
�=
�=
= (∑ �� �� )⁄(∑ �� )
Dónde: �� representa la masa de un elemento en particular, �� es la distancia del centro de
masa de un elemento en particular con respecto a la línea base, y � es la cantidad de
elementos totales que constituyen la estructura flotante.
Vea la tabla 5 en el anexo.
2. Calcule la fuerza de flotabilidad � que ejerce el fluido sobre la barcaza para cada una de
las posiciones del peso que se puede desplazar verticalmente. Registre en la tabla 3.
3. Calcule la altura metacéntrica �
para cada una de las posiciones del peso que se puede
desplazar verticalmente, y en base a esto determine si la barcaza es estable. Registre en la
tabla 3.
4. Calcule la altura metacéntrica (�2 ) para cada movimiento del peso que se puede desplazar
horizontalmente con respecto a su posición inicial para cada una de las posiciones estudiadas
del peso que se puede desplazar verticalmente, y en base a esto determine si la barcaza es
estable. Registre en la tabla 4. Para esto último considere que:
�2
=�
− �2 �,
�2 � =
�ℎ ��n �
Dónde: � es el peso del cuerpo que se ha desplazado horizontalmente, ℎ es la distancia que
se ha desplazado el cuerpo con respecto a la posición inicial (en donde la estructura flotante
no se encontraba escorada),
es el peso de toda la estructura flotante, y � es el ángulo de
escora.
Elemento
Largo (m)
Ancho (m)
Alto (m)
� (m)
1. Base.
2. Sección
frontal.
3. Sección
trasera.
4. Sección
lateral
derecha.
5. Sección
lateral
izquierda.
6. Regla.
7. Apoyo del
eje.
Tabla 1. Dimensiones y distancia del centro de masa con respecto a la línea base para algunos de
los elementos que constituyen el flotador.
Elemento
Diámetro (m)
Largo (m)
� (m)
1. Eje vertical.
2. Eje horizontal.
3. Peso a desplazar
verticalmente.
4. Peso a desplazar
horizontalmente.
Tabla 2. Dimensiones de algunos de los elementos que constituyen el flotador y distancia del centro
de masa con respecto a la línea base para el eje vertical y el eje horizontal.
Posición del
peso que se
puede
desplazar
verticalmente
Calado
(m)
� (m) del
peso que se
puede
desplazar
verticalmente
� (m) del peso
que se puede
desplazar
horizontalmente
� (m) de
la
estructura
flotante
��
(m)
��
(kN)
�
(m)
¿Es
estable?
1
2
3
Tabla 3. Calado, distancia del centro de flotación con respecto a la línea base, fuerza de
flotabilidad, metacentro, y distancia del centro de masa con respecto a la línea base para el peso
que se puede desplazar verticalmente, para el peso que se puede desplazar horizontal, y para la
estructura flotante ante diferentes posiciones del peso que se puede desplazar verticalmente.
Posición del
peso que se
puede
desplazar
verticalmente
Distancia a la cual
Distancia a la cual
se ha desplazado la se ha desplazado la
masa (m)/ Ángulo
masa (m)/ Ángulo
de escora (º) al
de escora (º) al
realizar el primer
realizar el segundo
movimiento del peso
movimiento del
en dirección
peso en dirección
horizontal/ � (m)
horizontal/ �
(m)
Distancia a la cual
se ha desplazado la
masa (m)/ Ángulo
de escora (º) al
realizar el tercer
movimiento del
peso en dirección
horizontal/ �
(m)
¿Es estable?
1
/ /
/ /
/ /
2
/ /
/ /
/ /
3
/ /
/ /
/ /
Tabla 4. Distancia a la cual se ha desplazado la masa que puede moverse horizontalmente, ángulos
de escora, y nueva altura metacéntrica al realizar diferentes movimientos del peso que se puede
desplazar horizontalmente con respecto a su posición inicial para cada una de las posiciones
estudiadas del peso que se puede desplazar verticalmente.
Preguntas.
1. ¿Observo algún cambio en el calado al desplazar verticalmente el peso? ¿A qué cree que
se deba este hecho?
2. ¿Qué sucede con la altura metacéntrica al desplazar verticalmente el peso? ¿Aumenta,
disminuye, se mantiene constante? ¿Qué implica esto último en cuanto a la estabilidad del
cuerpo flotante?
3. ¿Qué sucede con la altura metacéntrica al desplazar horizontalmente el peso? ¿Aumenta,
disminuye, se mantiene constante? ¿Qué implica esto último en cuanto a la estabilidad del
cuerpo flotante?
4. Para un cuerpo flotante de peso constante que navega en agua dulce � ≅ 000 ��/�3 ,
¿qué efecto tiene sobre el volumen desplazado el cambio a agua salada � ≅
0 5 ��/�3 ?
5. Se sabe que para ángulos inferiores a los 10° el momento restaurador �� , cuando no hay
desplazamientos transversales de masa, es igual a:
�
�� = ��n � (� +
�an2 �),
=
0
0
�
Dónde: � es el ángulo de escora, � es la altura metacéntrica, 0 la distancia del centro
de flotación en la posición inicial (no escorada) al metacentro, � es el momento de inercia del
área paralela a la superficie del fluido en torno a la línea de centro, a una profundidad o calado
dado, y � es el volumen desplazado.
En base a la información anterior grafique �� � �, 0 ≤ � ≤ 0° para cada posición
estudiada del peso que puede ser desplazado en la dirección vertical, cuando el peso que
puede moverse en dirección horizontal no ha sido desplazado; es decir empleando la
información de la tabla 3.
¿Qué sucede con el momento restaurador cuando varia la altura metacéntrica para un
ángulo dado?, ¿qué sucede con el momento restaurador cuando varia el ángulo de escora
para una altura metacéntrica dada?
6. Empleando la expresión anterior determine los valores que tomará � cuando la estructura
flotante se encuentre en equilibrio (�� = 0) para cada posición estudiada del peso que
puede ser desplazado en la dirección vertical, cuando el peso que puede moverse en
dirección horizontal no ha sido desplazado; es decir empleando la información de la tabla
3. ¿Qué sucedería si el valor de � , para una posición dada del peso que puede ser
desplazado en la dirección vertical, fuera un valor negativo?, ¿se tendrían otros ángulos de
escora en donde alcanzaría equilibrio la estructura flotante? Ejemplifique realizando el
cálculo de dichos ángulos de escora (angle of loll) considerando algún valor de �
registrado en tabla 3, si dicho valor fuera negativo.
Anexo.
Fluido o material
Densidad a condiciones estándar �⁄
Agua
1000
Acero inoxidable
7850
Metacrilato
1395
PVC
1190
Tabla 5. Densidad del agua y de los materiales que constituyen la estructura flotante en condiciones
estándar.
Figura 8. Elementos que constituyen el cuerpo flotante.
Referencias.
1. Çengel, Y., Cimbala, J., 2012, MECANICA DE FLUIDOS: Fundamentos y
Aplicaciones, McGraw-Hill.
2. Tupper, C., Erick, 5th edition, Introduction to Naval Architecture, 5th edition, ButterworthHeinemann.
3. Manual del equipo FME11 de EDIBON para el estudio de la altura metacéntrica.
Material de apoyo para el laboratorio # 5
I.
Determinación de la distancia del centro de gravedad al metacentro transversal
� .
Figura 1. Metacentro transversal.
Como se hace evidente en la figura 1, el volumen que emerge y el que inmerge deben ser
iguales para un desplazamiento de volumen constante por parte de la estructura flotante. Para
ángulos pequeños las secciones 0
y �0 � son aproximadamente triangulares. Y por lo
tanto dicha área inmergida o emergida será igual:
�an � =
2
�an �
Consecuentemente el volumen total asociado a cada sección triangular será igual a:
2
∫
�an � �
Ahora bien, este volumen se mueve de la sección que emerge hacia la sección que inmerge
creando un cambio en el centro de flotación producto del movimiento.
(∫
2
�an � � )
3
= �an � ∫
3
3
�
La expresión dentro de la integral representa el segundo momento de área (momento de
inercia, �) del área paralela a la superficie del fluido en torno a la línea de centro, a una profundidad
o calado dado.
Por otra parte, producto de equilibrio se tendrá que:
∇
0
= � �an �
Aquí ∇ representa el volumen total de agua desplazado por el elemento flotante. Y de acuerdo a la
figura 1:
0
�an � =
Consecuentemente:
0
0
=
�
∇
De la figura 1 también se puede deducir que:
=
0
+
0
Y de igual forma si se conoce la distancia de la línea base al centro de masa del elemento
flotante se podría determinar la altura metacéntrica:
II.
�
=
− �
Cambio en la altura metacéntrica producto de movimientos transversales de masas.
Figura 2. Movimiento transversal de pesos.
Al mover transversalmente una masa, el centro de masa del elemento flotante en su
conjunto se verá afectado. De acuerdo a la figura 2, para que exista equilibrio se tendrá que:
�0 �
= ℎ� → �0 � = ℎ�/
Donde: representa el peso de toda la estructura flotante, � la masa que se está desplazando
transversalmente, �0 � el cambio de posición del centro de masa, y ℎ el cambio de posición de la
masa que se desplaza transversalmente.
Observando la figura 2 es claro que el movimiento transversal, al mover el centro de
gravedad, implica una reducción en la altura metacéntrica. Suponiendo que el cambio de �0 a �
se equivalente a un aumento desde �0 hasta �2 en la línea de centro de forma tal que �0 � =
�0 �2 / ��n �, vea la figura 3, se tendrá:
�2
= �0
− �0 �2 = �0
−(
ℎ� ��n �
)
Figura 3. Reducción de la altura metacéntrica producto del cambio en el centro de gravedad ante
ángulos de escora pequeños.
III.
Determinación del brazo adrizante o restaurador ante ángulos de escora pequeños
(estabilidad transversal).
Figura 4. Estabilidad transversal en un wall-sided ship.
Para este caso en particular se considerara que al escorarse la estructura flotante el centro
de masa se mantendrá en su posición original, es decir no hay movimientos transversales de masas.
De igual forma, tras darse el desplazamiento angular, el centro de flotación cambia de posición de
y 0 � = � c�� � + � ��n � , � = 0 , � = � (vea la figura 4).
0a
Ahora bien, como se vio previamente el cambio en el centro de flotación producto del
movimiento, produce un momento perpendicular a la línea de centro del cuerpo flotante (aquí
dimensionalmente no se aprecia ya que abría que multiplicar la expresión anterior por la densidad
del fluido):
(∫
2
�an � � )
3
= �an � ∫
� �an �
Lo cuál por equilibrio debe ser igual a:
3
3
�
�∇= � �an � → � = � ⁄∇ �an �
Igualmente se tendrá un momento paralelo a la línea de centro del cuerpo flotante producto
del cambio de volumen (aquí dimensionalmente no se aprecia ya que abría que multiplicar la
expresión anterior por la densidad del fluido):
(∫
2
�an � � )
�an � =
3
�an2 �
� �an2 �
∫
3
3
�
Lo cuál por equilibrio debe ser igual a:
Consecuentemente:
�∇=
0�
� �an2 �
= � ⁄∇ ��n � + � ⁄ ∇ �an2 � ��n �
0�
= ��n � [ � ⁄∇ + � ⁄ ∇ �an2 �]
Observando la figura 4 se ve que:
�� =
Recordando que
→ � = � ⁄ ∇ �an2 �
0�
−
0 � ��n �
�� = ��n � [ � ⁄∇ + � ⁄ ∇ �an2 � −
0
= � ⁄∇ , se tendrá que:
�� = ��n � [
0
+ � ⁄ ∇ �an2 � −
�� = ��n � [�
+
�
�an2 �]
∇
La expresión es bastante exacta para 0° ≤ � ≤ 0°.
0 �]
0 �]
Universidad Tecnológica de Panamá
Facultad de Ingeniería Mecánica
Departamento de Energía y Ambiente
MECÁNICA DE FLUIDOS I
Laboratorio # 6
Visualización de flujo: visualización de líneas de corriente en flujo
bidimensional, laminar, irrotacional, e incompresible.
Objetivos.
1. Observar las líneas de corriente en flujo bidimensional, laminar, irrotacional, e
incompresible, a muy bajos números de Reynolds (�� ≤ ), para algunos perfiles
hidrodinámicos.
2. Reconocer los puntos de estancamiento al observar un flujo bidimensional, laminar,
irrotacional, e incompresible para algunos perfiles hidrodinámicos.
3. Determinar los puntos de estancamiento dado un campo de velocidad.
4. Determinar el campo de aceleración dado un campo de velocidad.
5. Determinar las líneas de corriente, de trayectoria y de traza dado un campo de velocidad.
6. Graficar las líneas de corriente correspondientes a un campo de velocidad.
Descripción del equipo.
El banco hidráulico FME00/B de EDIBON, es un equipo que consta de una bomba
centrifuga que aspira agua de un depósito de 140 litros. A la salida de la bomba se dispone de un
caudalímetro que se utiliza para regular el caudal de agua de entrada en el equipo y que termina
en una boquilla provista de un conector de conexión rápida. A este conector se acopla un
conducto flexible, el cual es conectado al equipo FME20 de EDIBON.
El accionamiento eléctrico al motor, que impulsa la bomba, se realiza mediante el
interruptor existente en la caja de control situada en el lateral del depósito. En dicha caja también
se encuentra un indicador luminoso, para asegurar el correcto funcionamiento del equipo. Por la
parte inferior del depósito existe una llave que ayuda al vaciado total del depósito, en caso de
que sea necesario.
Figura 1. Módulo de servicio, banco hidráulico FME00/B de EDIBON.
Ahora bien, con respecto al modelo de visualización de flujo laminar, FME20, este es
análogo al aparato de Hele-Shaw. Aquí el agua es suministrada al canal desde el tanque del
banco hidráulico FME00/B a través de una tubería flexible, pasando previamente, por un
depósito de amortiguamiento que elimina las turbulencias. Adicionalmente, el equipo dispone de
un sistema de inyección de colorante, que consta de un depósito 0.3 L lleno con colorante
(betadine), una válvula de control de flujo, y unas agujas que permiten una mejor visualización
del flujo alrededor de los diferentes modelos hidrodinámicos, colocados en la parte central de la
mesa de 400 mm de largo y 210 mm de ancho, cuya elevación puede ajustarse para poder colocar
los diferentes modelos.
Los perfiles hidrodinámicos con los que puede operar el equipo FME20 son los
siguientes: un disco de 25 mm de diámetro, un disco de 50 mm de diámetro, un cuadrado de 25
mm x 25 mm, un cuadrado de 50 mm x 50 mm, y una cuña. En la figura 2 puede verse el equipo
y los diferentes perfiles que pueden ser montados.
Figura 2. Modelo de visualización de flujo laminar, FME20 de EDIBON y los diferentes perfiles
hidrodinámicos que pueden ser montados en dicho equipo.
Marco teórico.
Mientras que un estudio cuantitativo de la dinámica de los fluidos requiere de matemática
avanzada, mucho puede aprenderse de la visualización del flujo (examinación visual de las
características del campo de flujo).
Comúnmente en la visualización de flujos se grafican líneas de corriente, líneas de
trayectoria y líneas de traza. En condiciones de estado estacionario las tres coinciden.
Una línea de corriente es una curva que siempre es tangente a la velocidad local instantánea, ver
figura 3.
Figura 3. Línea de corriente para un flujo bidimensional.
Para el caso de un flujo bidimensional ( , ), la línea de corriente se obtendría de la
siguiente ecuación diferencial:
(
�
)
� ��
����
�
� �í �� � � ���� ��
=
(1)
Donde , son las componentes el vector velocidad en la dirección y en la dirección �,
respectivamente.
Las líneas de trayectoria en tanto, son aquellas que describen la trayectoria real de una
partícula de fluido en un intervalo de tiempo y se obtienen a partir de acoplamiento de las
ecuaciones resultantes de las siguientes ecuaciones diferenciales:
=
=
�
(2)
�
(3)
��
��
Las líneas de traza por otro lado consisten en el lugar geométrico de las partículas de un
fluido que han pasado de manera secuencial por un punto que se encuentra dentro de la
trayectoria del flujo.
Ahora bien, de acuerdo al comportamiento que se aprecie en las líneas de corriente, los
flujos se pueden clasificar en: laminar (líneas de corrientes suaves y movimiento sumamente
ordenado), transitorio (repentinas fluctuaciones en el movimiento ordenado) o turbulento
(movimiento prácticamente aleatorio, completamente desordenado).
El régimen del flujo depende de la geometría, la rugosidad de la superficie, la velocidad del
flujo, la temperatura y el tipo de fluido; y un parámetro adimensional que relaciona estas
variables es el número de Reynolds:
Re =
Dónde: � es la densidad, � �
viscosidad dinámica.
� � ��� ��� ����� �� � � ��
=
�
� � ��� �� ���
�
(4)
es la velocidad promedio, �� es la longitud característica y � la
En este laboratorio veremos la visualización de las líneas de corriente en un flujo
bidimensional, incompresible, irrotacional a números de Reynolds muy bajos �� ≤ (flujo de
Stokes).
Materiales.
1. Banco hidráulico, FME00/B de EDIBON.
2. Modelo de visualización de flujo laminar, FME20 de EDIBON.
3. Perfiles hidrodinámicos: disco de 25 mm de diámetro, disco de 50 mm de diámetro,
cuadrado de 50 mm x 50 mm, y cuña.
4. Cámara fotográfica o teléfono celular con cámara fotográfica.
5. Recipiente plástico.
Procedimiento.
1. Coloque el equipo FME20 sobre el módulo de servicio, banco hidráulico FME00/B.
2. Conecte la manguera flexible del equipo FME20 al suministro del módulo FME00/B y
mantenga el orificio de descarga del agua del equipo FME20, que ha de pasar por la mesa
de prueba, alineado con el recipiente plástico suministrado por el instructor.
3. Asegúrese que el sistema de inyección del colorante este instalado correctamente y que
contiene suficiente tinta (aproximadamente 100 mL de agua por 1 mL de colorante).
Consulte al instructor.
4. Instale en el centro de la mesa, en medio de las dos placas de cristal, el perfil que consiste
en un disco de 25 mm y ajuste la rejilla de la placa inferior para alinear el perfil con los
inyectores de colorante. Es posible mover con cuidado los inyectores, girando la rosca
que los sujeta al sistema de inyección.
5. Encienda la bomba acoplada al banco hidráulico FME00/B y ajuste el caudal de manera
tal que se llene el depósito de amortiguamiento del equipo FME20.
6. Ajuste la placa del rebosadero y la válvula de control del banco hidráulico FME00/B para
obtener el valor mínimo de flujo volumétrico estable disponible. Consulte al instructor.
7. Abra y ajuste la válvula del líquido colorante de forma tan que se aprecien claramente las
líneas de corriente en torno al perfil hidrodinámico.
8. Tome una fotografía de las líneas de corriente en torno al perfil.
9. Pare la bomba del equipo FME00/B y descargue en alguna de las tinas del laboratorio el
agua con colorante que fue drenada, a través del orificio de descarga del equipo FME20,
al recipiente plástico proporcionado por el instructor. Asegúrese también de que el nivel
de agua dentro del tanque del banco hidráulico FME00/B sea el apropiado. Consulte al
instructor. De ser necesario llene el tanque del banco hidráulico FME00/B.
10. Repita los pasos del 4 al 9 para el perfil que consiste en un disco de 50 mm.
11. Instale en el centro de la mesa, en medio de las dos placas de cristal, el perfil que consiste
en un cuadrado de 50 mm x 50 mm de forma tal que el flujo incida a 90 grados sobre la
superficie inmediatamente expuesta a dicho flujo y ajuste la rejilla de la placa inferior
para alinear el perfil con los inyectores de colorante. Repita los pasos del 5 al 9.
12. Repita el paso 11, ahora con el perfil, que consiste en un cuadrado de 50 mm x 50 mm,
rotado 45° con respecto a la posición anterior.
13. Instale en el centro de la mesa, en medio de las dos placas de cristal, el perfil que consiste
en una cuña, de forma tal que el borde de ataque este a 0° con respecto al flujo libre
incidente (ver figura 4 del anexo) y ajuste la rejilla de la placa inferior para alinear el
perfil con los inyectores de colorante. Es posible mover con cuidado los inyectores.
Repita los pasos del 5 al 9.
14. Repita el paso anterior para al menos dos ángulos de ataque diferentes sobre el perfil que
consiste en una cuña.
Resultados.
1. Compare la fotografía del perfil hidrodinámico que consiste en un disco de 25 mm con el
que consiste en un disco de 50 mm.
2. Compare la fotografía del perfil que consiste en un disco de 50 mm con el perfil que
consiste en un cuadrado de 50 mm x 50 mm, en donde el flujo incide a 90 grados sobre la
superficie inmediatamente expuesta a dicho flujo libre.
3. Compare la fotografía del perfil que consiste en un cuadrado de 50 mm x 50 mm, en
donde el flujo incide a 90 grados sobre la superficie inmediatamente expuesta a dicho
flujo libre, con la fotografía de ese mismo cuadrado ahora rotado 45° con respecto a su
posición original.
4. Compare la fotografía de la cuña cuando el ángulo de ataque es de 0° con respecto a las
otras dos fotografías en donde el ángulo de ataque difiere de 0°.
Preguntas.
1. Para los diferentes perfiles estudiados, ¿en qué punto o puntos observo que la velocidad
se estancaba? Puede señalar los mismos en las fotografías.
2. ¿Es diferente la capa limite que se observa en el perfil que es un disco de 25 mm de
diámetro con el que es un disco de 50 mm de diámetro? De ser este el caso, ¿a qué cree
que se deba este hecho?
3. ¿Es diferente la capa límite del perfil que consiste en un disco de 50 mm de diámetro con
respecto a la capa límite del perfil que consiste en un cuadrado de 50 mm x 50 mm, en
donde el flujo incide a 90 grados sobre la superficie inmediatamente expuesta a dicho
flujo libre? De ser este el caso, ¿a qué cree que se deba este hecho?
4. ¿Es diferente la región de separación del perfil que consiste en un cuadrado de 50 mm x
50 mm, en donde el flujo incide a 90 grados sobre la superficie inmediatamente expuesta
a dicho flujo libre, con respecto a ese mismo perfil ahora rotado 45° con respecto a su
posición original? De ser este el caso, ¿a qué cree que se deba este hecho?
Nota: si desconoce que es la región de separación, por favor investíguelo.
5. ¿Qué puede observar con respecto a la región de separación en el perfil que consiste en
una cuña al ir variando el ángulo de ataque? ¿a qué se debe este hecho?
Investigación.
1. Investigue el principio de funcionamiento del aparato de Hele-Shaw.
Problemas.
⃗ = − 0 + � 2 ̂ + �0 +
1. Dado el siguiente campo de velocidad �
siguiente:
a. Determine el o los puntos de estancamiento.
b. Calcule el campo de aceleraciones.
c. Determine la ecuación de las líneas de corriente en función de .
d. Grafique las líneas de corriente.
,̂ realice lo
Para el problema anterior suponga condiciones de estado estacionario y flujo
bidimensional.
Los valores que seleccione de 0 , �, �0, y deben ser mayores a cero. Puede emplear el
programa de su preferencia para graficar las líneas de corriente. Cumpla con el principio
de conservación de masa.
⃗ =[ ⁄
2. Dado el siguiente campo de velocidad �
� + � ] ̂ + ⁄ � ,̂ determine:
a. El campo de aceleraciones.
b. La ecuación de las líneas de corriente en función de , �; si se sabe que para � = �0 :
= 0, = 0
c. La ecuación de las líneas de trayectoria en función de ; si se sabe que para � = �0 :
= 0, = 0
d. La ecuación de las líneas de traza en función de , �; si se sabe que para � = �0 :
= 0, = 0
Para el problema anterior suponga que el flujo es bidimensional.
Anexo.
Figura 4. Algunas de las partes de un perfil aerodinámico o hidrodinámico.
Referencia.
1. Çengel, Y., Cimbala, J., 2012, MECANICA DE FLUIDOS: Fundamentos y
Aplicaciones, McGraw-Hill.
2. Manual del equipo FME00/B de EDIBON.
3. Manual del equipo FME20 de EDIBON para la visualización de flujo laminar.
MATERIAL DE APOYO PARA LABORATORIO # 6
En uno de los problemas de este laboratorio se le solicita que grafique las líneas de
corriente asociadas a un campo de velocidad dado.
Existe una gran gama de herramientas computacionales que le permite realizar fácilmente
lo anterior. Una de estas es Scilab (el cuál puede descargar de forma gratuita,
http://www.scilab.org/download/5.5.2).
A continuación se presenta la ecuación de las líneas de corriente para el campo de
⃗ = , = 0.5 + 0.
velocidad �
̂ + .5 − 0.
̂ correspondiente al ejemplo 4.1 de la
primera edición de su libro de texto y el código a emplear en Scilab para graficar las líneas de
corriente cuando −5 ≤ � ≤ 5, en intervalos de una unidad. Debe tener presente que no se dan
detalles del algoritmo. Si tiene interés en comprenderlo se le sugiere descargue alguna guía del
programa o bien emplee el comando help en la consola principal.
n = -5:1:5;
x = 0:0.2:5.6;
y = -1:0.2:5.6;
function C=superficie(x, y),
C=0.8*(0.8*x+0.5)*(y-1.875);
endfunction
contour(x, y, superficie, n)
xlabel ('x');
ylabel ('y');
title ('Líneas de corriente');
=
0. 0.
�
+ 0.5
+ .
5
Figura 1. Líneas de corriente del ejemplo de la sección de material de apoyo, graficadas en Scilab
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Departamento de Energía y Ambiente
MECÁNICA DE FLUIDOS I
Laboratorio # 7
Conservación de masa
Objetivo.
1. Familiarizar al estudiante con el principio de conservación de masa.
Marco teórico.
La conservación de masa es uno de los principios fundamentales en la naturaleza. Todos
estamos familiarizados con este y no es difícil de comprender. La masa, al igual que la energía es
una propiedad que se conserva y no puede ser creada ni destruida durante un proceso.
El principio de conservación de masa para un volumen de control puede ser expresado
como: la transferencia neta de masa desde o hacia un volumen de control durante un intervalo de
tiempo ∆� es igual al cambio neto en la masa total dentro del volumen de control durante dicho
∆�.
��
��� �
− �����
�
= ∆���
�̇�
��� �
− �̇����
�
=
(1)
La ecuación anterior también se puede expresar en forma de tasas, es decir:
����
��
(2)
Donde �̇� ��� � , �̇���� � ; representa el flujo másico que entra y que sale del volumen de
control, respectivamente y ���� ⁄�� ; la tasa de cambio de masa dentro de las fronteras del
volumen de control.
Figura 1. Volumen de control diferencial �� y superficie de control diferencial �� usado
en la derivación del principio de conservación de masa.
Considere un volumen de control de forma arbitraria, tal cual aparece en la figura 1. La
masa de un volumen diferencial �� dentro del volumen de control es �� = ���, y la masa total
dentro del volumen de control en cualquier instante de tiempo está dada por la integral de esta
expresión:
��� = ∫ ���
(3)
��
Consecuentemente la tasa de cambio de masa dentro de las fronteras del volumen de
control estaría dada por:
����
�
=
∫ ���
��
��
(4)
��
Ahora considere el flujo de masa que entra o sale del volumen de control a través del área
diferencial �� en una superficie de control de un volumen de control fijo. Aquí �⃗ es el vector
⃗ la velocidad del flujo en �� relativa a un sistema de coordenadas
unitario normal al área �� y �
fijas, tal como se muestra en la figura 1.
En general, la velocidad puede tener un ángulo de inclinación � con respecto al vector
unitario normal a la superficie de control diferencial dA, y el flujo másico es proporcional a la
⃗ =�
⃗ �� = �
⃗ ∙ �⃗). Entonces el flujo neto de masa
componente normal del vector velocidad (�
que entra o sale del volumen de control a través de toda la superficie de control estaría dado por
la siguiente integral de superficie:
�̇
��
= �̇����
�
− �̇�
��� �
= ∫ � ⃗⃗� ∙ ⃗� ��
(5)
��
A partir de las ecuaciones (2), (4) y (5) se puede expresar la forma general de la ecuación
de conservación de masa.
�
∫ ��� + ∫ � ⃗⃗� ∙ ⃗� �� = 0
��
��
��
(6)
Esta última expresión como usted recordará es la misma que se obtiene por medio del
teorema de transporte de Reynolds al tomar que la propiedad extensiva ( ) es igual a la masa, y
al recordar que ��������� ⁄�� = 0.
Materiales.
1.
2.
3.
4.
Recipiente plástico cilindrico agujerado.
Vaso químico.
Regla, pie de rey, o cinta métrica.
Balanza digital.
5. Cronómetro.
6. Termómetro.
Procedimiento.
1. Abra el grifo de la tina que se encuentra en el laboratorio y llene el vaso químico con
agua durante 5 segundos. Pese la masa del agua recolectada por medio de la balanza
digital. Repita este procedimiento al menos 4 veces más, saque el promedio y registre
esta masa promedio en la tabla 1.
2. Coloque el recipiente plástico agujerado debajo del grifo y registre las diferentes
elevaciones observadas en el recipiente cada 30 segundos hasta que se alcancen
condiciones estacionaras. Registre en la tabla 2. Para las elevaciones debe tomar como
referencia el fondo del recipiente plástico.
3. Para un instante de su preferencia, antes de alcanzar condiciones estacionarias, coloque el
vaso químico debajo del agujero del recipiente y llénelo con agua durante 5 segundos.
Pese la masa del agua recolectada por medio de la balanza digital. Registre en la tabla 1.
4. Una vez alcanzadas condiciones estacionarias, coloque el vaso químico debajo del
agujero del recipiente y llénelo con agua durante 5 segundos. Pese la masa del agua
recolectada por medio de la balanza digital. Repita este procedimiento al menos 4 veces
más, saque el promedio y registre esta masa promedio en la tabla 1.
5. Estime el diámetro del recipiente plástico. Anote su valor.
6. Sí cuenta con un termómetro mida la temperatura del agua. De lo contrario suponga
alguna temperatura y con esta estime la densidad del fluido.
Resultados.
1. Determine el flujo másico de agua que entra al recipiente, el flujo másico de agua que sale
del recipiente en el instante arbitrario en donde no se han alcanzado condiciones
estacionarias, y el flujo másico del agua una vez se ha alcanzado condiciones
estacionarias. Registre en la tabla 1.
Número
de
medición
Peso
promedio
del agua
que entra
al
recipiente
(kg)
Flujo
másico
promedio
del agua
que entra
al
recipiente
(kg/s)
Peso del
Flujo másico
Peso
Flujo másico
agua que
del agua que
promedio
promedio del
sale del
sale del
del agua que agua que sale
recipiente
recipiente
sale del
del recipiente
(kg) antes de (kg/s) antes
recipiente
(kg/s) al
alcanzar
de alcanzar
(kg) al
alcanzar
condiciones
condiciones
alcanzar
condiciones
estacionarias estacionarias condiciones estacionarias
en el instante en el instante estacionarias
�=
�=
1.
------------------2.
------------------Tabla 1. Vaso químico lleno con agua: datos empleados para el cálculo del flujo másico de agua
que entra en el recipiente, que sale del recipiente en el instante en que no se han alcanzado
condiciones estacionarias, y una vez se han alcanzado condiciones estacionarias.
2. Determine la masa de agua dentro del recipiente para cada una de las elevaciones
registradas. Recuerde estimar el diámetro del recipiente. Registre en la tabla 2.
Número de
medición
Tiempo (s)
Elevación
observada en el
recipiente (m)
Masa de agua
dentro del
recipiente (kg)
1.
30
2.
60
3.
90
4.
120
5.
150
6.
180
7.
210
8.
240
9.
270
10.
300
11.
330
12.
360
13.
390
14.
410
15.
440
16.
470
17.
500
18.
530
19.
560
20.
590
21.
610
22.
640
23.
670
24.
700
25.
730
26.
760
27.
790
28.
810
29.
840
30.
870
Tabla 2. Masa de agua dentro del recipiente para cada una de las elevaciones registradas.
3. A partir de los datos registrados en la tabla 2, grafique la masa de agua dentro del
recipiente (��� �� �� vs. el tiempo (� �� �).
4. Por medio de algún tipo de regresión, diferente a la lineal, obtenga la función ��� � .
5. Derive la función obtenida en el punto anterior y evalúela en el instante en que registro la
masa del agua que sale del recipiente antes de alcanzar condiciones estacionarias.
Preguntas.
1. ¿Qué sucede con � ��� ⁄�� al ir aumentando el tiempo? ¿a qué se debe este hecho?
2. Compare el resultado obtenido en el numeral 5 del inciso resultados, con la diferencia del
flujo másico promedio de agua que entra al recipiente y del flujo másico de agua que sale
del recipiente antes de alcanzar condiciones de estado estacionario en el instante
seleccionado. ¿Existe similitud entre los resultados? ¿a qué cree que se deba este hecho?
3. Comparare el flujo másico promedio de agua que entra al recipiente con el flujo másico
promedio de agua que sale del recipiente al alcanzar condiciones de estado estacionario.
¿Existe similitud entre ambos resultados? ¿a qué cree que se deba este hecho?
Referencia.
1. Çengel, Y., Cimbala, J., 2012, MECANICA DE FLUIDOS: Fundamentos y
Aplicaciones, McGraw-Hill.
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MECÁNICA DE FLUIDOS I
Laboratorio # 8
Conservación de energía
Objetivo.
1. Familiarizar al estudiante con el principio de conservación de energía.
Marco teórico.
La primera ley de la termodinámica o el principio de conservación de energía es una de las
leyes fundamentales en la naturaleza. La energía no se puede crear ni destruir, solo puede cambiar
de forma.
Ahora bien, el contenido de energía de un sistema (���� ) de masa fija (sistema cerrado) solo
pude cambiar producto de la transferencia de calor ( ��,� �. ) o de trabajo ( ��,� �. ).
̇
��,� �.
+
̇
��,� �.
=
�=
+
������.
�
=
∫ ����
��
��
(1)
����.
Donde � representa la densidad, �� un diferencial de volumen, y � la energía especifica
total del sistema. Esta energía específica del sistema no es más que la suma de la energía interna
específica ( ), la energía potencial específica (��), y la energía cinética especifica (� 2 ⁄ ).
�
+ ��
(2)
En lo que al trabajo neto de entrada se refiere, este puede ser asociado con fuerzas actuando
a través de alguna distancia; y puede ser divido en: trabajo externo (trabajo transmitido por un eje
o algún dispositivo mecánico, ̇ ���. por unidad de tiempo), trabajo viscoso (trabajo hecho por las
fuerzas viscosas, ̇ ���� � por unidad de tiempo), trabajo producto de las fuerzas de presión
( ̇ ����ó por unidad de tiempo) y otros tipos de trabajo (trabajos producto de fuerzas eléctricas,
magnéticas, tensión superficial, entre otras, ̇ �� por unidad de tiempo). Generalmente ̇ ���� �
y ̇ �� suelen ser pequeños con comparación con el trabajo externo y con el trabajo producido
por la fuerza de presión. Para analizar el trabajo producto de la fuerza de presión (���) considere
un sistema de forma arbitraría el cual se mueve con el flujo y es libre de deformarse bajo la
influencia de la presión, tal cual se muestra en la figura 1.
Figura 1. Fuerza de presión actuando en una superficie de área diferencial de un sistema de
forma arbitraria.
Teniendo presente que el trabajo es fuerza por distancia, y que la distancia recorrida por
unidad de tiempo es la velocidad, la tasa a la cual el trabajo es realizado por las fuerzas de presión
actuando en el diferencial de área del sistema (��) estaría dada por:
⃗ ∙ �⃗)
(3)
� ̇ ����ó = −���(�
̇
Note que � ����ó representa el diferencial de la tasa del trabajo de presión. Aquí se
emplea � en vista de que el trabajo es una función de trayectoria y presenta diferenciales inexactos.
⃗ ∙ �⃗ representa la componente normal del vector velocidad a través del área
Recuerde que �
diferencial ��. Entonces la tasa total de trabajo realizado por las fuerzas de presión estaría dado
por:
̇
����ó
�
⃗ ∙ �⃗) = ∫ − �(�
⃗ ∙ �⃗)��
= ∫ −���(�
�
�
(4)
�
Para obtener la ecuación de conservación de energía para un volumen de control fijo,
podemos aplicar el teorema de transporte de Reynolds al remplazar la propiedad extensiva ( ) por
la energía total del sistema (�).
������.
�
⃗ ∙ �⃗ �� = 0
=
∫ ���� + ∫ �� �
��
��
��
(5)
��
Lo cuál de acuerdo a lo comentado y a partir de las ecuaciones (1), (2) y (4) puede re
escribirse como:
̇
��,� �.
+ ̇ ���. =
�
��
∫
��
+
�
+ �� ��� + ∫
��
+
�
+ �� +
�
⃗ ∙ �⃗ ��
� �
�
(6)
En condiciones de estado estacionario, sin transferencia de calor, sin trabajo externo, donde
el flujo es incompresible, reversible e irrotacional.
∫
��
�2
�
�
�2
⃗⃗
⃗
� � ∙ � �� = 0 →
=�
+ �� +
+ �� +
�
�
(7)
Donde � es una constante. Esta última expresión representa la ecuación de Bernoulli y
puede ser aplicada entre dos puntos cualesquiera a lo largo del flujo.
�
Materiales.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
2
+ �� +
�
�2 2
�
=
+ ��2 +
�
�
(8)
Recipiente plástico cilíndrico agujerado.
Vaso químico.
Regla, pie de rey, o cinta métrica.
Balanza digital.
Cronómetro.
Termómetro.
Procedimiento.
1. Abra el grifo de la tina que se encuentra en el laboratorio y llene el vaso químico con agua
durante 5 segundos. Pese la masa del agua recolectada por medio de la balanza digital.
Repita este procedimiento al menos 4 veces más, saque un promedio y registre en la tabla
1.
2. Coloque el recipiente plástico agujerado debajo del grifo y registre en la tabla 1 la elevación
del agua una vez se alcancen condiciones estacionaras. Para la elevación debe tomar como
referencia el fondo del recipiente plástico.
3. Coloque el vaso químico debajo del agujero del recipiente y llénelo con agua durante 5
segundos. Pese la masa del agua recolectada por medio de la balanza digital. Repita este
procedimiento al menos 4 veces más, saque un promedio y registre en la tabla 1.
4. Repita los pasos anteriores para al menos dos aperturas distintas del grifo.
5. Estime el diámetro del recipiente plástico. Anote su valor.
6. Sí cuenta con un termómetro mida la temperatura del agua. De lo contrario suponga alguna
temperatura y con esta estime la densidad del fluido.
Resultados.
1. Determine el flujo másico que entra al recipiente y que sale del recipiente a partir de las
masas medidas. De igual manera determine la velocidad del fluido en el orificio del
recipiente y el flujo másico que pasa por el orificio a partir de la ecuación de Bernoulli.
Recuerde estimar el diámetro del agujero.
Número
de
medición
Peso del
agua que
entra al
recipiente
(kg)
Flujo
másico
del agua
que entra
al
recipiente
(kg/s)
Elevación z
(m)
Velocidad
del fluido en
el orificio
(m/s)
Flujo másico
del agua que
pasa por el
orificio
(kg/s)
Peso del
agua que
sale del
recipiente
(kg)
Flujo másico
del agua que
sale del
recipiente
(kg/s)
1.
2.
3.
Tabla 1. Datos para estimar el flujo másico de agua y flujo másico de agua en condiciones de
estado estacionario.
Pregunta.
1. ¿Existe similitud entre los tres flujos de masa encontrados para una medición respectiva?
De no ser el caso ¿a qué cree que se deba este hecho?
Referencia.
1. Çengel, Y., Cimbala, J., 2012, MECANICA DE FLUIDOS: Fundamentos y Aplicaciones,
McGraw-Hill.
Universidad Tecnológica de Panamá
Facultad de Ingeniería Mecánica
Departamento de Energía y Ambiente
MECÁNICA DE FLUIDOS I
Laboratorio # 9
Aplicación del principio de conservación de masa y de energía
Objetivos.
1. Familiarizar al estudiante con el equipo de demostración del teorema de Bernoulli (modelo
FME03); comprado a la compañía Edibon.
2. Practicar la aplicación del teorema de Bernoulli y el principio de conservación de masa.
3. A partir de lo anterior, determinar las secciones transversales del tubo de Venturi que forma
parte del modelo FME03.
Descripción del equipo.
El equipo de demostración del teorema de Bernoulli, FME03, está formado por un
conducto transparente de sección circular con forma de cono truncado (tubo de Venturi, (9)). A
lo largo del conducto se encuentran siete llaves de presión que permiten medir, simultáneamente,
los valores de presión estática correspondientes a cada una de las secciones donde se encuentran
las llaves de presión. Todas las llaves de presión están conectadas a un panel de tubos
manométricos (2), estos tubos miden un rango que va de 0 a 300 mm columna de agua. El tubo
de Venturi es extraíble, por lo que permite su colocación tanto en forma convergente-divergente
como divergente-convergente con respecto a la dirección del flujo.
Hay también una sonda, tubo de Pitot (7), que se puede desplazar a lo largo de la tubería
para medir la presión total en la sección deseada.
La velocidad de flujo en el equipo puede ser modificada, bien ajustando la válvula
reguladora de caudal (6), o bien regulando el suministro que alimenta la entrada de la tubería
(10).
Marco teórico.
Como ya ha visto, la ecuación de conservación de energía, en su forma más general se
expresa como:
(1)
En tanto que el principio de conservación de masa, en su forma m más general se expresa
como:
(2)
Si aplicamos la ecuación (1) considerando dos secciones diferentes de una tubería, y
suponiendo que el proceso es de estado estable, flujo estable, que el fluido de trabajo es
incompresible, que no hay transferencia de calor ni dispositivos que hagan trabajo sobre el fluido
y que las pérdidas de carga pueden ser ignoradas; la ecuación de conservación de energía quedaría
de la siguiente forma:
(3)
Dónde: P, g, , V, y z son la presión, gravedad, densidad, velocidad y elevación, respectivamente.
La ecuación (3) es conocida como ecuación de Bernoulli en la mecánica de fluidos.
Figura 2. Modelo FME03 montado sobre el módulo de servicio, banco hidráulico FME00B.
Si la tubería es horizontal, el cambio de energía potencial entre ambos puntos será igual a
cero. Por lo tanto la ecuación de Bernoulli se reduce a:
(4)
Es decir:
(5)
Dónde:
,
, , son la altura cinética, altura piezométrica (altura de columna de agua
asociada con la presión del campo gravitatorio) y altura total, respectivamente.
Figura 3. Representación gráfica de la variación de energía del flujo que sigue un proceso
reversible a lo largo de dos secciones del tubo de Venturi.
Para el desarrollo de esta experiencia, también se debe tener claro que es un tubo de Pitot.
Un tubo de Pitot se considera como un obstáculo fijo en el fluido en movimiento, que a través de
un orificio y al unirse con un tubo de medida, puede medir la presión total o de estancamiento en
una determinada sección de la tubería.
A partir de la ecuación (5) y recordando que el fluido se detiene completamente frente al tubo de
Pitot, nos queda:
Lo cual nos permite determinar la velocidad con la que va el fluido en la sección de interés:
(6)
Aquí
es el cambio de elevación entre el tubo manométrico conectado a la llave de presión de
la sección y el tubo conectado al tubo manométrico del Pitot.
Figura 4. Representación gráfica de medición realizada con tubo de Pitot.
Materiales.
1. Banco hidráulico, FME00/B de EDIBON.
2. Módulo de demostración del teorema de Bernoulli, FME03 de EDIBON.
3. Termómetro.
Procedimiento.
Antes de comenzar la experiencia, se deben seguir los siguientes parámetros para el
correcto llenado de los tubos manométricos:
1. Cerciorarse de que las tuberías de entrada y salida del modelo FME03 están correctamente
conectadas.
2. Cerrar las válvulas de control del banco hidráulico (VC1) y de control de flujo del equipo
(VC2).
3. Abrir despacio y completamente la válvula VC2 para poner en marcha la bomba de agua.
Seguidamente abrir despacio y completamente la válvula VC1 hasta que alcance un flujo
máximo.
4. Tras 3 minutos aproximadamente, cerrar completamente la válvula VC2. Los tubos se
llenaran completamente. Si se quiere cierre también la válvula VC1, una vez se encuentre
cerrada la VC2.
5. Para regular la altura de los tubos: abrir, si estuviera cerrada, la válvula anti retorno que
regula la entrada de aire en los tubos manométricos. Con la bomba de aire introducir aire
en los tubos manométricos. Una vez se tenga cierta presión de aire, abrir durante muy poco
tiempo la válvula VC2, de esta manera el nivel de los tubos bajará, Las alturas en
los tubos se igualarán al cerrar la válvula VC2. Repetir hasta que en los tubos se alcance
una altura entre 100 y 150 mm.
Se debe tener en cuenta que el tubo manométrico del Pitot tardara más tiempo en alcanzar
la misma altura.
Se hace la salvedad que para la realización de esta experiencia se necesita un cronómetro.
Procedimiento experimental.
1. Colocar el equipo FME03 sobre el módulo de servicio, banco hidráulico FME00B.
2. Conectar la manguera de entrada al suministro del módulo FME00B y dirigir la manguera
de salida hacia el tanque volumétrico (13). El sentido del tubo de Venturi no es importante
en esta práctica.
3. Llenar correctamente los tubos manométricos como se indica en los parámetros
mencionados al inicio del apartado procedimiento.
4. Abrir las válvulas de caudal del módulo de servicio, banco hidráulico (VC1) y de
regulación del equipo (VC2).
5. Fijar un caudal y anotar su valor en la tabla 1.
6. Colocar el tubo de Pitot en la primera toma de presión de mínima sección. Esperar a que la
altura en el tubo manométrico de Pitot se estabilice. Este proceso puede tardar unos 5-7
minutos.
7. Cuando la altura de ambos tubos sea estable, determine la diferencia de altura entre los dos
tubos manométricos. representa la presión estática en columna de agua, en tanto que
es la presión total en columna de agua medida por el Pitot. La diferencia de la presión total
y de la presión estática, corresponde a la presión dinámica. A partir de esta diferencia
calcule la velocidad en el punto respectivo. Registre en la tabla 1.
8. Con el valor de la velocidad y el caudal respectivo determine el área de sección transversal.
Registre en la tabla 2.
9. Repita los pasos del 6 al 8 para cada toma de presión (6 en total).
10. Repita los pasos del 3 al 9 para al menos otros dos caudales diferentes de agua.
A las finales lo que se debe determinar son las seis secciones medias obtenidas a diferentes
caudales. Para la práctica se recomiendan caudales inferiores a los 1000 L/h.
Tabla 1. Velocidad del agua en los diferentes puntos de toma de presión ante diferentes caudales
de operación.
Tabla 2. Área de sección transversal del tubo de Venturi en los puntos de toma de presión ante
diferentes caudales de operación y área promedio calculada.
Preguntas.
1. ¿A qué cree que se debe la diferencia entre A1, A2 y A3?
2. ¿Por qué la presión medida por el tubo de Pitot decrece a lo largo de la tubería?
Referencia.
1. Çengel, Y., Cimbala, J., 2012, MECANICA DE FLUIDOS: Fundamentos y Aplicaciones,
McGraw-Hill.
2. Manual del equipo FME03 de EDIBON para la demostración del teorema de Bernoulli.
Universidad Tecnológica de Panamá
Facultad de Ingeniería Mecánica
Departamento de Energía y Ambiente
MECÁNICA DE FLUIDOS I
Laboratorio # 10
Conservación de momentum lineal
Objetivo.
1. Familiarizar al estudiante con el principio de conservación de momentum lineal.
Descripción del equipo.
El equipo FME01 de EDIBON es empleado para el estudio del principio de conservación
de momentum lineal sobre una superficie siendo impactada por un chorro de agua. El modulo en
si consiste de una base ajustable para montar el modulo sobre el banco hidráulico FME00/B, de
un tanque cilíndrico transparente, de una tobera por donde sale el chorro a presión, de un conjunto
de masas calibradas, de una plataforma auxiliar donde se colocan las masas calibradas, de un eje
deslizante al cual esta acoplado un resorte, de un calibre para equilibrar la fuerza ejercida por el
chorro con el peso de las masas, de una manguera flexible para realizar la conexión al banco
hidráulico FME00/B, de dos orificios para el drenado del agua, y de un conjunto de superficie
deflectoras que pueden ser montadas al módulo. En la figura 1 puede apreciarse el equipo con sus
diferentes componentes.
Figura 1. Módulo FME01 para el estudio del principio de conservación de momentum lineal y
sus diferentes componentes.
Con respecto a las especificaciones técnicas, se ha de decir, que el diámetro del chorro es
de 8 mm, que el diámetro de las superficies de impacto es de 40 mm, que se tienen tres superficies
de impacto (una superficie plana en donde el flujo sale a 90° con respecto a la dirección incidente,
una superficie curva en donde el flujo sale a 120° con respecto a la dirección incidente, y una
superficie semiesférica en donde el flujo sale a 180° con respecto a la dirección incidente), y que
se cuenta con un conjunto de pesas (5, 10, 20, 50, y 100 g) para equilibrar la fuerza ejercida por el
chorro.
En la figura 2 puede observar un esquemático de las tres superficies de impacto que pueden
ser montadas al equipo.
Figura 2. Esquemático de las diferentes superficies que pueden ser montadas en el FME01 en
donde se muestran la distribución de velocidades y de fuerza: (a) superficie plana, (b) superficie
semiesférica, (c) superficie en donde el flujo sale a 120° con respecto a la dirección incidente.
Marco teórico.
El principio de conservación de momentum lineal es una de las leyes fundamentales en la
naturaleza.
Para obtener la ecuación de conservación de momentum lineal para un volumen de control
fijo, podemos aplicar el teorema de transporte de Reynolds al remplazar la propiedad extensiva
⃗ ).
( ) por el momentum (��
⃗)
�(��
����.
��
=
�
��
⃗ �� + ∫ ��
⃗ �
⃗ ∙ �⃗ ��
∫ ��
��
(1)
��
Donde � representa la densidad, �� un diferencial de volumen, �� un diferencial de área,
⃗� la velocidad del fluido, �⃗ un vector normal al área diferencial ��, y � la masa del fluido.
Ahora bien, de acuerdo a la segunda ley de Newton, la aceleración de un cuerpo es
directamente proporcional a la fuerza neta actuando sobre dicho cuerpo e inversamente
proporcional a su masa.
∑ � = �� = �
⃗)
⃗
�(��
��
=
��
��
(2)
A partir de la ecuación anterior podemos re escribir la ecuación (1) de la siguiente forma:
∑� =
�
⃗⃗ �� + ∫ ��
⃗⃗ �
⃗⃗ ∙ ⃗� ��
∫ ��
��
��
(3)
��
Donde ∑ � representa la suma de todas las fuerzas actuando sobre el volumen de control.
∑ � = ∑ ��
��
+ ∑ ��
�� ����
+ ∑�
����
(4)
Aquí: ∑ �� �� representa las fuerzas de cuerpo; siendo la más común la fuerza
gravitatoria; ∑ �� �� ���� representa las fuerzas de superficie; siendo las más comunes la presión
y la fuerza producto de los esfuerzos viscosos; y ∑ � ���� cualquier otra fuerza actuando sobre el
volumen de control.
La ecuación (3) en condiciones de estado estacionario puede ser re escrita como:
⃗ �
⃗ ∙ �⃗ �� = ∑ �(�̇�
⃗ )−
∑ � = ∫ ��
��
���� �
⃗)
∑ �(�̇�
(5)
� ��� �
Donde � es el factor de corrección de flujo; y depende de que tan uniforme sea el flujo. En
el caso de flujos turbulentos este factor suele tener un efecto poco significativo, en tanto que para
flujos laminares suele ser importante y no debe despreciarse.
Materiales.
1.
2.
3.
4.
5.
Banco hidráulico, FME00/B de EDIBON.
Modulo para el estudio de la conservación de momentum lineal, FME01 de EDIBON.
Balanza digital.
Pie de rey, regla, o cinta métrica.
Termómetro.
Procedimiento.
1. Por medio del pie de rey, la regla, o la cinta métrica compruebe el diámetro de la tobera, y
de las superficies de impacto.
2. Por medio la balanza digital compruebe la masa real de las pesas.
3. Asegúrese de que el eje metálico y el resorte estén lubricados.
4. Retire la tapa situada encima del cilindro transparente de agua y enrosque la superficie de
impacto plana al eje metálico deslizante. Coloque la tapa en su posición original sobre el
cilindro transparente.
5. Coloque el módulo FME01 sobre el banco hidráulico FME00/B. Asegúrese que el equipo
esta nivelado. Para esto último emplee los soportes ajustables que dispone la base.
6. Conecte el tubo flexible del módulo para el estudio de la conservación de momentum lineal
a la línea de suministro del banco hidráulico FME00/B. Asegúrese de que los orificios
descarguen al tanque del banco hidráulico FME00/B.
7. Ajuste el calibre de manera tal que se situé al mismo nivel que la señal de la plataforma
auxiliar.
8. Asegúrese de que la válvula de control del banco hidráulico FME00/B este cerrada y
encienda la bomba.
9. Coloque todas las pesas de 50 g sobre la plataforma auxiliar. Registre la masa total en la
tabla 1.
10. Abra lentamente la válvula de control del banco hidráulico y regule el flujo volumétrico
hasta conseguir que la señal de la plataforma esté a la misma altura que la indicación del
calibre. Espere a que se alcancen condiciones estacionarias (el volumen de agua dentro del
cilindro transparente no debe cambiar en un intervalo de tiempo) y anote el flujo
volumétrico registrado por el caudalímetro del banco hidráulico FME00/B en la tabla 1.
De igual forma registre en la tabla 1 el cambio de elevación entre la salida de la tobera y el
flujo incidente sobre la superficie de control seleccionada y el cambio de elevación entre
la salida de la tobera y el flujo saliente de la superficie de control seleccionada (vea la
figura 3 del anexo).
11. Repita los pasos 9 y 10 cuando se coloca sobre la plataforma auxiliar una pesa de 100 g y
todas las pesas de 5, 10, y 50 g; y cuando se coloca todas las pesas de 5, 10, 50, y 100 g.
12. Repita los pasos del 4 al 11 para cuando la superficie deflectora roscada es semiesférica.
Registre en la tabla 2.
13. Repita los pasos del 4 al 11 para cuando la superficie deflectora roscada es curva y el flujo
sale a 120° con respecto a la dirección incidente. Registre en la tabla 3.
14. Sí cuenta con un termómetro mida la temperatura del agua. De lo contrario suponga alguna
temperatura y con esta estime la densidad del fluido.
Nota: En caso de tener alguna duda acérquese al instructor de laboratorio.
Resultados.
1. Para las diferentes superficies estudiadas: determine la velocidad del agua a la salida de la
boquilla, determine la velocidad del agua que incide en el volumen de control seleccionado
en torno a la superficie deflectora, determine la velocidad del agua justo a la salida del
volumen de control seleccionado en torno a la superficie deflectora y, calcule la fuerza
resultante necesaria para oponerse al flujo de agua y mantener el sistema en equilibrio; es
decir estático. Para esto último emplee el principio de conservación de momentum lineal.
Registre los resultados respectivos en las tablas 1,2 y 3. Adjunte los cálculos realizados.
Cambio
de
elevación
∆� (m)
Cambio
de
elevación
∆� (m)
Masa
promedio
del
conjunto
de pesas
(kg)
Caudal
registrado
por el
caudalímetro
del banco
hidráulico,
FME00/B
(L/h)
Velocidad
del agua a
la salida de
la boquilla
(m/s)
Velocidad
del agua
que incide
en la
superficie
deflectora
(m/s)
Velocidad
del agua
justo a la
salida del
volumen de
control
seleccionado
(m/s)
Fuerza
resultante
experimental
(kN)
Fuerza
resultante
teórica
(kN)
Tabla 1. Datos para estimar la fuerza resultante teórica necesaria para mantener el sistema en
equilibrio cuando en el módulo para el estudio de la conservación de momentum lineal se ha
instalado la superficie plana. Aquí, la fuerza resultante experimental se refiere a aquella producto
del peso del conjunto de masas, en tanto que la teórica se refiere a aquella calculada a través del
principio de conservación de momentum lineal.
Cambio
de
elevación
∆� (m)
Cambio
de
elevación
∆� (m)
Masa
promedio
del
conjunto
de pesas
(kg)
Caudal
registrado
por el
caudalímetro
del banco
hidráulico,
FME00/B
(L/h)
Velocidad
del agua a
la salida de
la boquilla
(m/s)
Velocidad
del agua
que incide
en la
superficie
deflectora
(m/s)
Velocidad
del agua
justo a la
salida del
volumen de
control
seleccionado
(m/s)
Fuerza
resultante
experimental
(kN)
Fuerza
resultante
teórica
(kN)
Tabla 2. Datos para estimar la fuerza resultante teórica necesaria para mantener el sistema en
equilibrio cuando en el módulo para el estudio de la conservación de momentum lineal se ha
instalado la superficie semiesférica.
Cambio
de
elevación
∆� (m)
Cambio
de
elevación
∆� (m)
Masa
promedio
del
conjunto
de pesas
(kg)
Caudal
registrado
por el
caudalímetro
del banco
hidráulico,
FME00/B
(L/h)
Velocidad
del agua a
la salida de
la boquilla
(m/s)
Velocidad
del agua
que incide
en la
superficie
deflectora
(m/s)
Velocidad
del agua
justo a la
salida del
volumen de
control
seleccionado
(m/s)
Fuerza
resultante
experimental
(kN)
Tabla 3. Datos para estimar la fuerza resultante teórica necesaria para mantener el sistema en
equilibrio cuando en el módulo para el estudio de la conservación de momentum lineal se ha
instalado la superficie curva y el flujo sale a 120° con respecto a la dirección incidente.
Fuerza
resultante
teórica
(kN)
Preguntas.
1. ¿Qué suposiciones ha realizado durante el cálculo de la fuerza resultante teórica necesaria
para mantener el sistema en equilibrio? Enuncie cada una de dichas suposiciones.
2. ¿Qué tan realista cree que es su descripción del problema con las suposiciones realizadas?
3. ¿Existe similitud entre la fuerza resultante experimental y la fuerza resultante teoría
necesaria para mantener el sistema en equilibrio? De existir diferencias, ¿a qué cree que se
deban las mismas?
Anexo.
Figura 3. Volumen de control tomado en torno a la superficie deflectora.
Referencia.
1. Çengel, Y., Cimbala, J., 2012, MECANICA DE FLUIDOS: Fundamentos y Aplicaciones,
McGraw-Hill.
2. Manual del equipo FME01 de EDIBON para el estudio del impacto de un chorro sobre
superficies.
Universidad Tecnológica de Panamá
Facultad de Ingeniería Mecánica
Departamento de Energía y Ambiente
MECÁNICA DE FLUIDOS I
Laboratorio # 11
Análisis dimensional
Objetivos.
1. Comprender y practicar el método de repetición de variables.
2. Entender el concepto de similitud entre un modelo y un prototipo.
3. Emplear el túnel de viento educacional de AEROLAB.
Descripción del equipo.
El túnel de viento educacional de AEROLAB (EWT) es una herramienta comprada por la
Universidad con el objetivo de estudiar flujo compresible. En este sentido ha de decirse que
producto de las bajas velocidades a las cuales opera (la velocidad máxima que se puede alcanzar
es de 64.8 m/s), el flujo dentro de este túnel aún puede ser modelado como incompresible.
Figura 1. Vista lateral del túnel de viento educacional de AEROLAB.
Dicho lo anterior, pasaré a realizar una breve descripción de los componentes y las
características principales del túnel. El EWT cuenta con cuatro componentes principales: la
sección de contracción o tobera, la sección de prueba, la sección de expansión o el difusor, y la
sección del rotor o fan housing.
El túnel en sí opera en un circuito abierto, tomando aire de los alrededores y haciéndolo
pasar por una matriz de pasajes paralelos (con forma similar a un panel de abejas) de 10.16 cm de
longitud con el propósito de que el flujo entre en dirección axial al túnel. Justo detrás de la matriz
podemos encontrar dispositivos empleados para reducir la vorticidad en el flujo (se trata de que el
aire que entra en el túnel sea irrotacional). Una vez pasa estos dispositivos, el flujo entra a la
sección convergente del túnel en donde se aumenta su velocidad antes de pasar a la sección de
prueba. En la sección de prueba los modelos pueden ser fijados ya sea a la base o a una barra de
acero inoxidable en donde se censan las diferentes variables de interés (fuerzas y momentos) que
son traducidas por el controlador y enviadas al computador para su visualización en la interfaz de
usuario. El ángulo de ataque con que incide el flujo sobre el modelo también puede ser ajustado
por medio de un brazo mecánico montado y controlado por una caja de cambio de engranes que
permite diferentes inclinaciones.
Figura 2. Brazo de acero inoxidable sobre el cual se montan los modelos en la sección de prueba.
En la sección de prueba igualmente se mide la presión dinámica. A la entrada de la sección
se encuentran diferentes orificios que permiten medir la presión estática, los mismos en su
conjunto, permiten determinar la presión estática promedio que entra al túnel. Una vez se cuenta
con la presión estática, el túnel calcula la presión dinámica suponiendo que la presión total del
túnel es la presión atmosférica.
Luego de pasar por la sección de prueba, el flujo se desacelera en la sección divergente del
túnel, pasa por el rotor y retorna al recinto. El abanico o rotor es de fibra de vidrio reforzada, tiene
9 aspas y está diseñado para una velocidad rotacional de 3437 rpm; la cual está por encima de la
velocidad rotacional a la que opera el abanico a máxima capacidad (2345 rpm). Ha de decirse que
el abanico recibe energía de un motor de 7.46 kW, y es controlado por un variador de frecuencia
que puede ser ajustado desde la interfaz de usuario.
Marco teórico.
Una dimensión es una medida de una cantidad física (sin valores numéricos), mientras que
una unidad es una manera de asignar un número a dicha dimensión. Existen siete dimensiones
primarias.
Toda dimensión no primaria forma alguna combinación de las siete dimensiones
primarias listadas.
Dimensión
Símbolo
Unidad SI
Unidad inglesa
m
kg (kilogramo)
lbm (libra-masa)
Masa
L
m (metro)
ft (pie)
Longitud
t
s (segundo)
s (segundo)
Tiempo
T
K (kelvin)
R (rankine)
Temperatura
I
A (ampere)
A (ampere)
Corriente eléctrica
C
cd (candela)
cd (candela)
Cantidad de luz
N
mol (mole)
mol (mole)
Cantidad de materia
Tabla 1. Dimensiones primarias y sus unidades tanto en SI como en sistema inglés.
Ahora bien, durante la experimentación para ahorrar tiempo y dinero se suelen realizar las
pruebas en modelos a escala que sean similares al prototipo de tamaño real que se desea estudiar.
Para poder que exista similitud completa entre un modelo y un prototipo se deben cumplir tres
condiciones:
1. Similitud geométrica. El modelo debe tener la misma forma que el prototipo, pero
escalado por algún factor constante.
2. Similitud cinemática. La velocidad en cualquier punto en el flujo del modelo debe ser
proporcional (por un factor de escala) a velocidad del punto correspondiente en el
prototipo.
3. Similitud dinámica. Todas las fuerzas en el flujo del modelo se escalan por un factor
constante a las fuerzas correspondientes en el flujo del prototipo.
Una vez comprendido el principio de similitud se puede introducir y apreciar la
importancia del análisis dimensional en el estudio de sistemas físicos.
El análisis dimensional tiene diferentes propósitos, y uno de los más importantes es la
generación de parámetros adimensionales que faciliten el diseño de experimentos y el reporte de
resultados.
Se usa la letra griega pi para denotar un parámetro adimensional. En un problema general
de análisis dimensional, existe una Π dependiente a la cual se le denota como Π1. Este parámetro
es, en general una función de otras variables Π, llamadas pi independientes.
La relación funcional entre Π se expresa como,
Π =
Π2 , Π3 … , Πk
Donde k es el número total de Π.
Para garantizar similitud completa, entre un modelo y prototipo, estos deben ser
geométricamente similares y todos los grupos pi independientes deben coincidir.
(1)
Aquí m y
�í: Π
,m
=Π
,p ;
Π3,m = Π3,p … . ; Πk,m = Πk,p → Π
,m
hacen referencia a modelo y prototipo respectivamente.
=Π
,p
(2)
Existen varios métodos para generar estos parámetros adimensionales, pero uno de los más
populares y simples es el método de repetición de variable. Este método consta de seis pasos,
descritos en la tabla 2.
Paso 1
Paso 2
Paso 3
Paso 4
Paso 5
Paso 6
Haga una lista de los parámetros (variables y constantes) y cuéntelos. �, denotara al
número total de parámetros (aquí también se debe contar a la variables dependiente de
interés). Debe cerciorarse de que cualquier parámetro de la lista sea hecho
independiente de los demás.
Haga una lista con las dimensiones primarias para cada uno de los � parametros.
Suponga la reducción . Como primera suposición, haga igual al número de
dimensiones primarias presentadas en el problema. El numero esperado de Π k será
� = � − �� ��� �� ��
����ℎ�� .
Elija los parámetros repetitivos que usará para construir cada Pi. Siga las
recomendaciones presentes en la tabla 7-3 del texto que aparece como referencia al
final de la guía.
Genere las Π, una a la vez mediante el agrupamiento de los parámetros repetitivos
con uno de los parámetros restantes, y fuerce el producto a ser adimensional. De esta
manera construya todas las pi esperadas (�). La primera pi designada como Π es la
Π dependiente.
Verifique que todas las Π de hecho sean adimensionales
Tabla 2. Pasos a seguir en el método de repetición de variables.
Ahora bien, durante este laboratorio se empleará un perfil aerodinámico en el EWT
adquirido por la Universidad a la compañía AEROLAB, por lo tanto resulta pertinente hacer
algunas observaciones con respecto a flujo externo.
El flujo externo sobre superficies solidas ocurre con frecuencia en la práctica, y es el
responsable de numerosos fenómenos físicos como la fuerza de arrastre (�� ) que actúa sobre
automóviles o la fuerza de sustentación (�� ) que experimentan las alas de los aviones. Ha de
decirse que la fuerza de arrastre, es aquella que ejerce un fluido (que se encuentra fluyendo) sobre
un cuerpo en la dirección del flujo; y es producto tanto de las fuerzas viscosas (producto de la
condición de no deslizamiento) como de las fuerzas de presión normales a la superficie. El arrastre
en general y al igual que la fricción, es un efecto indeseable y se hace lo posible por minimizarlo.
Reducción del arrastre implica, por ejemplo, un menor consumo de gasolina en automóviles. La
fuerza de sustentación en tanto es producto de las componentes de la fuerzas de presión y de las
fuerzas viscosas en una dirección normal a la dirección del flujo.
Figura 3. Sustentación y arrastre sobre un perfil aerodinámico.
La mayoría de los problemas ingenieriles asociados a flujo externo no son resueltos
analíticamente producto de las complejas geometrías, y se debe recurrir a correlaciones basadas
en data experimental. Esto último, ha llevado a los investigadores a trabajar con números
adimensionales apropiados que representen las características de arrastre y sustentación del
cuerpo. Estos números adimensionales son el coeficiente de arrastre (�� ) y el coeficiente de
sustentación (�� ).
�� =
�� =
��
�� 2 �
(3)
��
�� 2 �
(4)
Aquí � es la densidad del fluido, � la velocidad del flujo libre, y � generalmente es el área
frontal del cuerpo (área proyectada en un plano normal a la dirección del flujo). En el caso de
cuerpos delgados, como los perfiles aerodinámicos, � es tomada como el área vista por un
observador desde arriba en una dirección normal al cuerpo (planform area). El término �� 2 es
2
la presión dinámica.
Durante este laboratorio estudiaremos la sustentación sobre un perfil aerodinámico ante
diferentes ángulos de ataque. En este punto debe recordarse que la fuerza de sustentación es
producida en una dirección perpendicular a la dirección del flujo libre; por lo tanto si lo que
medimos son las fuerzas producidas en la dirección axial (�) y normal (�) en el plano definido
por la figura 4, la fuerza de sustentación estaría dada por la suma vectorial de las componentes de
estas fuerzas en la dirección perpendicular al flujo libre.
Figura 4. Fuerza de sustentación y de arrastre orientada a cierto ángulo de ataque � con respecto
al eje axial y al eje normal sobre un perfil aerodinámico.
A partir de la figura anterior se encuentra que:
Materiales.
�� = ��
� � − �� ��� �
(5)
1. Túnel de viento educacional (EWT) de AEROLAB.
2. Perfil aerodinámico.
Procedimiento.
1. Asegúrese de que el brazo de acero inoxidable sobre el cual se montan los modelos se
encuentra en la sección de prueba.
2. Mida la cuerda ( , en la figura 3) y la extensión ( , en la figura 3) del perfil aerodinámico
proporcionado por el instructor de laboratorio.
3. Abra la sección de prueba y monte sobre el brazo el perfil aerodinámico. Una vez montado
cierre la sección de prueba.
4. Solicite al instructor de laboratorio que energice el túnel. Es decir que coloque el breaker
en posición de encendido. Una vez energizado el túnel, prenda el computador y acceda al
programa del EWT. En el programa y por medio del cursor ponga a operar al túnel a un
20% de su velocidad máxima.
5. Tras alcanzar condiciones estacionarias, registre en la tabla 1: la fuerza axial, la fuerza
normal y la presión dinámica del flujo libre.
6. Repita el paso anterior variando el ángulo de ataque cada 2.5º desde 0º hasta 17.5º.
7. Repita los pasos 5 y 6, ahora cuando el túnel opera a un 30% de su velocidad máxima.
Registre en la tabla 2.
Resultados.
1. Determine la fuerza de sustentación, el área vista por un observador desde arriba en una
dirección normal al cuerpo (planform area, vea la figura 3), y el coeficiente de sustentación
a partir de las diferentes variables censadas. Registre en la tabla 1 y 2.
Ángulo
Fuerza
Fuerza
Presión
Fuerza de
Planform
Coeficiente
de ataque
axial
normal
dinámica
sustentación
area (m2)
de
(º)
(kN)
(kN)
(kPa)
(kN)
sustentación
0
2.5
5.0
7.5
10
12.5
15
17.5
Tabla 3. Fuerza de sustentación, planform area, y coeficiente de sustentación para diferentes
ángulos de ataque cuando el túnel de viento está operando a 20% de su velocidad máxima.
Ángulo
Fuerza
Fuerza
Presión
Fuerza de
Planform
Coeficiente
2
de ataque
axial
normal
dinámica
sustentación
area (m )
de
(º)
(kN)
(kN)
(kPa)
(kN)
sustentación
0
2.5
5.0
7.5
10
12.5
15
17.5
Tabla 2. Fuerza de sustentación, planform area, y coeficiente de sustentación para diferentes
ángulos de ataque cuando el túnel de viento está operando a 30% de su velocidad máxima.
2. Empleando el método de repetición de variables y el teorema Pi de Buckingham determine
los parámetros adimensionales involucrados en la determinación de la fuerza de
sustentación; es decir está será la variable dependiente de interés. Para el análisis considere
como parámetros relevantes: la velocidad de flujo o corriente libre (�), la longitdud de la
cuerda ( ), la densidad del fluido en corriente libre (�), la viscosidad del fluido en corriente
libre (�), la velocidad del sonido (�� ), y el ángulo de ataque (�).
3. Modifique el parámetro Π dependiente de manera tal que el mismo represente al coeficiente
de sustentación. Vea la ecuación (4) del marco teórico. De tener dudas consulte al instructor
de laboratorio.
4. Grafique el coeficiente de sustentación vs el parámetro Pi independiente asociado al ángulo
de ataque para cuando el túnel de viento está operando a un 20% de su velocidad máxima.
5. Repita el paso anterior para cuando el túnel de viento está operando a un 30% de su
velocidad máxima.
Preguntas.
1. Con respecto a los parámetros adimensionales encontrados en el numeral 3 del apartado
resultados, investigue cuál de los parámetros Π dejaría de ser relevante para el análisis, si
se supone que el aire puede modelarse como un fluido incompresible.
2. ¿Qué sucede con el coeficiente de sustentación a medida que aumenta el ángulo de ataque?
¿hasta qué ángulo de ataque se observa este comportamiento? investigué a qué se debe el
cambio observado en el comportamiento del coeficiente de sustentación al llegar a este
ángulo de ataque.
3. Compare los gráficos realizados en el numeral 4 y 5 del apartado resultados. ¿En cuál de
los dos se observa que el cambio en el comportamiento del coeficiente de sustentación se
da a un mayor ángulo de ataque?
Referencia.
1. Çengel, Y., Cimbala, J., 2012, MECANICA DE FLUIDOS: Fundamentos y Aplicaciones,
McGraw-Hill.
2. Manual operacional del túnel de viento educacional (EWT) de AEROLAB entregado a la
Universidad Tecnológica de Panama, 2013.
Universidad Tecnológica de Panamá
Facultad de Ingeniería Mecánica
Departamento de Energía y Ambiente
MECÁNICA DE FLUIDOS I
Laboratorio # 12
Cálculo del número de Reynolds y observación del régimen laminar, de
transición, y turbulento en un flujo: experimento de Osborne Reynolds
Objetivo.
1. Determinar visualmente las características de un régimen laminar, de transición, y
turbulento.
2. Calcular el número de Reynolds y relacionar su valor al régimen que se está visualizando.
3. Observar el perfil de velocidad típico dentro de una tubería.
Descripción del equipo.
El equipo FME06 de EDIBON es empleado para realizar el experimento de Osborne
Reynolds y así visualizar el régimen en que se encuentra el fluido de acuerdo al comportamiento
de las líneas de corriente. El modulo en sí consiste de un depósito cilíndrico, con una capacidad de
10 L, dotado de una tobera la cuál esta acoplada a un tubo de cristal o de metacrilato, cuyo diámetro
interior es de 10 mm y que tiene una longitud de 700 mm, el cual permite la visualización del
fluido. Un rebosadero garantiza la homogeneidad del caudal y una aguja acoplada a un depósito,
de 0.3 L, suministra el colorante (fluoresceína). El agua de alimentación es proporcionada por el
banco hidráulico FME00/B a través de una tubería flexible. El control del régimen del flujo se
logra a través de la válvula de membrana dispuesta prácticamente al final del tubo de visualización.
En la figura 1 puede observar el equipo y sus diferentes componentes.
Figura 1. Módulo FME06 para la visualización del régimen laminar, de transición, y turbulento.
Marco teórico.
De acuerdo al comportamiento que se aprecie en las líneas de corriente, los flujos se
pueden clasificar en: laminar (líneas de corrientes suaves y movimiento sumamente ordenado),
transitorio (repentinas fluctuaciones en el movimiento ordenado) o turbulento (movimiento
prácticamente aleatorio, completamente desordenado).
El régimen del flujo depende de la geometría, la rugosidad de la superficie, la velocidad del flujo,
la temperatura y el tipo de fluido; y un parámetro adimensional que relaciona estas variables es el
número de Reynolds:
� � ��� ��� ����� �� � � ��
(1)
Re =
=
�
� � ��� �� ���
Dónde: � es la densidad, � � � es la velocidad promedio en la tubería, �� es la longitud crítica y
� la viscosidad dinámica. Aquí se debe recordar que en el caso de flujo en tuberías circulares, la
longitud crítica será igual al diámetro de la tubería.
Para la mayoría de las condiciones prácticas se tendrá la siguiente convención:
Materiales.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
�� < 300 → �
������ .
300 < �� < 000 → �
� ����� � .
�� > 000 → �
�
���� .
Banco hidráulico, FME00/B de EDIBON.
Modulo para la demostración del experimento de Osborne Reynolds, FME06 de EDIBON.
Cámara fotográfica o teléfono celular con cámara fotográfica.
Regla o cinta métrica.
Termómetro.
Recipiente plástico cilíndrico.
Procedimiento.
1. Llene el depósito de tinta hasta que se alcance una elevación de aproximadamente 2.5 cm
de colorante.
2. Coloque el módulo FME06 de EDIBON sobre el banco hidráulico FME00/B. Asegúrese
de que el equipo este nivelado.
3. Conecte el tubo flexible a la línea de suministro del banco hidráulico FME00/B. Coloque
el desagüe de la tubería de descarga del rebosadero dentro del tanque del banco hidráulico.
De igual forma coloque el desagüe de la descarga del agua con colorante, que ha pasado
por el tubo de visualización, dentro del recipiente de medida suministrado por el instructor.
4. Baje el inyector de tinta, por medio del tornillo de sujeción, hasta colocarlo encima de la
tobera de admisión de agua.
5. Asegúrese de que la válvula de control de flujo volumétrico del módulo FME06 esté
cerrada.
6. Ponga en marcha la bomba y regule la válvula de control del banco hidráulico FME00/B,
de forma tal, que se llene lentamente el depósito de agua de 10 L hasta alcanzar el nivel
del rebosadero. Llegado a este punto, cierre completamente la válvula de control del banco
hidráulico FME00/B y apague la bomba.
7. Abra y cierre varias veces la válvula de control de flujo del módulo FME06 para purgar el
tubo de visualización. Una vez purgado el tubo, cierre la válvula de control de flujo
volumétrico del módulo FME06 y vacié el recipiente de medida suministrado por el
instructor.
8. Espere a que remanse completamente el agua en el equipo FME06 (al menos durante 10
minutos).
9. Ponga en marcha la bomba y abra lentamente la válvula de control del banco hidráulico
FME00/B hasta que el agua comience a salir por el rebosadero.
10. Abra lenta y parcialmente la válvula de control del equipo FME06 hasta que se alcancen
condiciones estacionarias en el depósito de 10 L (el nivel de agua en dicho depósito debe
sobrepasar la tobera).
11. Abra parcialmente la válvula reguladora de colorante hasta que se consiga una corriente
lenta con el colorante. El colorante ha de salir muy lentamente, arrastrado por la
corriente de agua. Tome una fotografía del tubo de visualización.
12. En un instante dado (para la apertura actual de la válvula de control del FME06), tome
como referencia la superficie del agua en el recipiente de medida suministrado por el
instructor, espere 30 segundos y mida el cambio de elevación observado en el recipiente.
Registre en la tabla 1. En caso de encontrarse prácticamente lleno el recipiente de medida,
suministrado por el instructor, vacíelo en alguna de las tinas del laboratorio. Asegúrese
también de que el nivel de agua dentro del tanque del banco hidráulico FME00/B sea el
apropiado. Consulte al instructor. De ser necesario llene el tanque del banco hidráulico
FME00/B.
13. Repita los pasos 10, 11, y 12 para otras 9 aperturas diferentes de la válvula del control del
equipo FME06. Al menos durante la última apertura de dicha válvula de control, se debe
observar que el colorante se disperse completamente en el agua. Para compensar el bajón
de nivel dentro del depósito de 10 L, producto de la apertura de la válvula de control de
FME06, abra progresivamente la válvula de control del banco hidráulico FME00/B.
14. Una vez finalizado lo anterior, cierre la válvula de control tanto del FME06 como del banco
hidráulico FME00/B. También cierre la válvula reguladora de colorante y vacié el
recipiente de medida suministrado por el instructor. Apague la bomba. Asegúrese también
de que el nivel de agua dentro del tanque del banco hidráulico FME00/B sea el apropiado.
Consulte al instructor. De ser necesario llene el tanque del banco hidráulico FME00/B.
15. Repita los pasos 8 y 9.
16. Asegúrese que el depósito de tinta aún se encuentre suficientemente lleno. Consulte al
instructor.
17. Con la válvula de control del FME06 aún cerrada, abra la válvula reguladora de colorante
hasta que el diámetro interior de la tobera se encuentre completamente cubierto de tinta.
18. Abra rápidamente la válvula de control del FME06 y observe como se genera el perfil de
velocidades dentro del tubo de visualización. Tome una fotografía.
19. Repita los pasos del 14 al 18 para al menos dos aperturas distintas de las válvula de control
del equipo FME06.
20. Sí cuenta con un termómetro mida la temperatura del agua. De lo contrario suponga alguna
temperatura.
21. Tras finalizar la experiencia vacié el recipiente de medida suministrado por el instructor.
22. Mida el diámetro del recipiente de medida suministrado por el instructor.
Nota: En caso de tener alguna duda acérquese al instructor de laboratorio.
Resultados.
1. A partir de los datos obtenidos, para cada cambio de elevación en el recipiente de medida,
determine: el caudal de agua dentro del tubo de visualización, la velocidad del agua dentro
del tubo de visualización, y el número de Reynolds respectivo. Registre en la tabla 1.
2. Observe el comportamiento del flujo a determinados números de Reynolds. Para esto último
asocie las fotografías tomadas al flujo a su correspondiente número de Reynolds.
3. Grafique el caudal ( ̇ , m3/s) vs. el número de Reynolds (��).
4. Compare las tres fotografías tomadas del perfil de velocidad dentro del tubo de
visualización.
Número de
medición
Cambio de
elevación en
el recipiente
de medida
(m)
Flujo
volumetrico
dentro del
tubo de
visualización
(m3/s)
Velocidad del agua
dentro del tubo de
visualización (m/s)
Número de
Reynolds
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tabla 1. Cambio de elevación dentro del recipiente de medida, flujo volumétrico dentro del tubo
de visualización, velocidad del agua dentro del tubo de visualización, y número de Reynolds
correspondiente al flujo, ante diferentes aperturas de la válvula de control del FME06.
Preguntas.
1. De acuerdo a las fotografías tomadas y a los correspondientes números de Reynolds
calculados, ¿hasta qué número de Reynolds se observa flujo laminar?, ¿en qué rango de
números de Reynolds observo flujo de transición?, ¿a partir de qué número de Reynolds
observo flujo turbulento?, ¿son consistentes sus resultados con la clasificación de flujo
(laminar, transitorio, y turbulento) convencional mostrada en el marco teórico?, de no ser
consistentes, ¿a qué cree que se deba este hecho?.
2. ¿Cómo varia el número de Reynolds con el aumento de caudal?.
3. ¿Qué formas tienen los perfiles de velocidad observados en el tubo de visualización?, ¿a
qué se debe está forma en el perfil de velocidad?.
4. De acuerdo a las tres fotografías tomadas de los perfiles de velocidad en el tubo de
visualización, ¿qué observa que sucede con el perfil al ir aumentando la apertura de la
válvula de control del FME06?, ¿a qué cree que se debe este hecho?.
Referencia.
1. Çengel, Y., Cimbala, J., 2012, MECANICA DE FLUIDOS: Fundamentos y Aplicaciones,
McGraw-Hill.
2. Manual del equipo FME06 de EDIBON para realizar el experimento de Osborne Reynolds.
Rodrigo Caballero