FIBONACCI SERIE DE FIBONACCI “Dos número consecutivos, sumados generan uno nuevo”. Comenzando con el cero y el uno. Le seguirı́an 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, etc. Una operación aritmética en la que cada miembro es igual a la suma de los dos precedentes xn + 1 = xn + xn − 1 (1) La Serie de Fibonacci (Leonardo de Pisa, 1170-1240), antes mostrada, en abstracto, está encarnada en la arquitectura del Nautilo (Nautilus), la concha marina, cuya sección produce la figura, que es uno de los ejercicios más comunes en el dibujo arquitectónico (Espiral de Durero, aproximación con arcos de circunferencia de la espiral logarı́tmica r = a bθ , b = ϕ2/π = 1.358456, de grado α = arctan(ln b) = 17.03239◦ (0.297271 rad), Alberto Durero (Albrecht Dürer, 1471-1528) [1,2,6]. No obstante, esta operación sencilla produce una belleza incalculable, que se dirı́a que es de oro puro. Ya veremos por qué. Fig 1. La serie de Fibonacci representada en abstracto (arriba), está encarnada en la arquitectura del Nautilo (abajo). 1 La serie de Fibonacci se originó de la resolución del problema de la crı́a de conejos. En la crı́a de conejos, contando siempre en parejas, éstas se reproducen cada mes, dando como producto de su unión una nueva pareja, la cual no se puede reproducir hasta cuando son adultos un mes después. Ası́, comenzando con una pareja, después de un mes cuando son adultos se reproducen. Para el segundo mes son dos parejas, pero sólo la más antigua se reproduce, por lo que para el tercer mes son tres parejas, una de las cuales es todavía muy joven. Dos de estas tres parejas se reproducen, por lo que al cuarto mes son cinco parejas, dos de las cuales son jóvenes. La tres parejas adultas se reproducen y al quinto mes son en total ocho parejas, tres de las cuales son jóvenes. Y ası́ sucesivamente. El número de parejas totales por mes, sigue la secuencia de la serie de Fibonacci, mostrado en la fig.2 de abajo, quien publicó los resultados de su descubrimiento en su libro Liber Adasis de 1202. De esta forma acreditó su nombre a la fórmula para las próximas generaciones. Fig 2. La serie de Fibonacci como solución al problema de la reproducción de conejos. La serie de Fibonacci también posee la caracterı́stica que, en el infinito, cada elemento entre el anterior es un número ∆ = xn + 1 /xn particular. Dividiendo la serie (1) entre xn resulta xn + 1 xn − 1 =1+ xn xn ∆≈1+ 1 ∆ (3) o reorganizando la expresión anterior ∆2 − ∆ − 1 ≈ 0 cuya soluciones son ∆≈ √ 1± 5 2 (4) (5) En el caso positivo, ∆ coincide con la proporción áurea ϕ o proporción de oro. Este resultado es independiente de los dos números iniciales que se escogan para generar la serie de Fibonacci [7]. Otra caracterı́stica de la serie de Fibonacci, es que la serie de los residuos rn al dividir sus elementos por d, es decir rn = xn − d ∗ cn , es una serie periódica. Se tienen, por ejemplo, perı́odos de 16 veces, 20 veces ó 60 veces, si el divisor es d = 7, d = 5 ó d = 10. Estas series periódicas de los residuos se han usado para generar música [8]. Compositores como Bach o Mozart usaban este patrón matemático para recrear 2 los acordes de sus piezas. Si no, sólo se debe prestar atención a cualquier interpretación de estos genios musicales. La Espiral Dorada simula los movimientos cı́clicos de las notas musicales y permite que el sonido sea armonioso. PROPORCION AUREA La razón creada dividiendo cada número de la serie de Fibonacci por el número que le precede se aproxima al valor A = ϕ ≈ 1.618033989..., siendo A = L/l la Proporción Áurea ó Dorada, su inversa coincide exactamente con la resta de uno 1/A = A − 1 y el cuadrado con la suma de uno A2 = A + 1. La relación de los lados de todos los rectángulos involucrados en la figura 1 dan este resultado también, la proporción áurea. El centro de la espiral se le denomina el Ojo de Dios (Clifford A. Pickover) [9,10]. La espiral de Durero de la figura 1 está basada en rectángulos que tienen siempre la relación áurea en sus lados. En la espiral de Fibonacci cada rectángulo tiene una relación de sus lados, que son elementos sucesivos de la serie. En el infinito ambas espirales son coincidentes y ambas son aproximaciones de la espiral logarı́tmica de ángulo 17.03239 grados constante [6]. La razón es aproximada, esto es, la razón en la cual convergen no puede ser expresada en términos de una fracción. Los pitagóricos descubrieron estos número y los llamaron Irracionales, y se dice que quedaron tan perturbados por ellos que establecieron la pena de muerte para cualquiera de su secta que revelase su existencia a las multitudes ignorantes. Hispano fué desterrado por desafiar la prohibición. Se ahogó en el mar, destino que los pitagóricos atribuyeron a un castigo divino [1,2]. Algo parecido debió ocurrir con los números imaginarios, pero más actualizado. Por ello, estos nombres tan extraños y ahora tan corrientes, que no nos detenemos a pensar en eso. No es casual que la proporción áurea sea la fórmula de una relación geométrica que aparece en el Partenón de Fidias (de aquı́ su sı́mbolo ϕ), la Mona Lisa de Leonardo da Vinci y el Nacimiento de Venus de Boticelli; y es la base de la octava que se emplea en la música occidental desde los tiempos de Bach. Leonardo da Vinci basó sus trabajos artı́sticos y cientı́ficos, como Hombre Vitruvio y algunos de sus inventos, en la Espiral y la proporción Dorada. Toda la fecunda diversidad de esta simetrı́a particular, expresada en infinidad de modos, desde conchas marinas, la cantidad y longitud de los pétalos de una margarita, ramas de un árbol, las espirales de las piñas, los girasoles, los ciclones y las galaxias hasta el clave bien temperado, deriva, por lo tanto, de una sola invariancia, la de la serie de Fibonacci. La comprensión de que una sola simetrı́a abstracta podrı́a tener tantas manifestaciones fructı́feras y diversas deleitó a los sabios del Renacimiento, quienes la citaban como prueba de la eficacia de las matemáticas y de la sutileza de los designios de Dios [1,2]. La Proporción Áurea, también denominada Dorada (la proporción media y extrema de Euclides o la divina proporción de Luca Pacioli, 1509), casualmente, resulta ser una de las soluciones (en valor absoluto) de la ecuación cuadrática y = x2 ± x − 1 = 0 (1 ∓ x)/x = x x ± 1 = 1/x (6) figura geométrica y simétrica en el plano x − y, que representa la siguiente complejidad, después de la lı́nea recta. El caso negativo coincide con la ecuación (4). Las soluciones o raı́ces de la parábola anterior son su intersección con el eje x. Las soluciones que nos interesan son √ 1+ 5 L ≈ 1.618033989... A=ϕ= = l 2 La expresión decimal de ambas, l′ 1 1 = = =A−1= l A ϕ √ 5−1 ≈ 0.618033989... 2 (7)  √ 5/4 ± 1/2 = 1.25 ± 0.5, son iguales. Resulta que √ 1 l l′ L−l L = = = = −1=A−1 L = l + l′ = l/2 + l 5/2 A L l l l      1 1 A = ϕ = 1 + ϕ = 1 + 1 + 1 + 1 + ···ϕ = 1 + = 1 + ϕ 1 + 1+ 1 1 1+···ϕ 3 (8) (9) √ lo que nos indica que, si prolongamos un cuadrado de lado l, a partir de su mitad l/2, en la longitud l 5/2, que es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de lados l y l/2, nos da un rectángulo (con lados l × L) de longitud total L = l + l′ = ϕ l ( l′ = (ϕ − 1) l ), con la geometrı́a de la relación áurea ϕ. Esta era la manera en que los dibujantes, pintores, escultores, arquitectos, etc. obtenı́an de forma racional, lo que en principio era irracional. La primera expresión de (9), ϕ2 = 1 + ϕ ≈ 2.618033989... (sorprendentemente ϕ, ϕ−1 y φ2 tienen exactamente los mismos decimales), es lo que se denomina el triángulo de Kepler [5], por √ lo que satisface el teorema de pitágoras para un triángulo rectángulo de lados 1 y ϕ e hipotenusa ϕ. Las potencias del número áureo pueden expresarse en función de una suma de potencias de grados inferiores del mismo número, establecida una verdadera sucesión recurrente de potencias. El caso más simple es: ϕn = ϕn−1 + ϕn−2 cualquiera sea n un número entero. Este caso es una sucesión recurrente de orden k = 2, pues se recurre a dos potencias anteriores. En general, se tiene que ϕn = j    j i=0 i ϕ[n−(j+i)] (10) donde los exponentes son todos positivos si k = 2j ≤ n (i, j, n ∈ N), pero se permiten exponentes negativos en ϕ que son exponentes positivos en 1/ϕ, la Sección Áurea. El icosaedro tiene en su interior 15 rectángulos áureos. Cada rectángulo contiene, en sus lados menores, a dos aristas opuestas, de las 30 que posee el icosaedro (ver figura 3 abajo). Las coordenadas cartesiana de los 12 vértices de un icosaedro centrado en el origen son (0, ±1, ±A), (±1, ±A, 0) y (±A, 0, ±1) [3]. Esto se debe a que dos lados del rectángulo son aristas del icosaedro y los otros dos son las diagonales de dos pentágonos regulares paralelos girados 180 grados. La diagonal del pentágono regular está en proporción áurea con el lado √ del pentágono, que en este caso es la arista del icosaedro. El área y el volumen del icosaedro son A = 5 3 a2 , V = (5/6) (1 + ϕ) a3 , siendo ϕ la relación áurea y a el largo de una arista. En el icosaedro podemos encontrar varias veces el número áureo ϕ. En la imagen de abajo se pueden apreciar algunas proporciones áureas presentes en el icosaedro (las distancias son las proyectadas horizontalmente sobre el plano vertical): Fig 3. Relaciones en distancias para el icosaedro que se ajustan a la relación áurea. 4 CD/AB = ϕ EG/FG = ϕ CL/CI = ϕ AH/GN = ϕ IK/HI = ϕ GD/MD = ϕ AD/GD = ϕ KH/IK = ϕ MN/BM = ϕ BM/BF = ϕ CI/LI = ϕ MD/GM = ϕ BN/MN = ϕ FG/EF = ϕ BF/FM = ϕ BC/CG = ϕ CG/GB = ϕ GD/AG = ϕ En un pentagrama y un dodecaedro se observa la relación áurea (ver figura 4) Fig 4. Un pentagrama ilustrando las relaciones áurea contenidas. Un dodecaedro con tres rectángulos dorados insertados tocando los centros de los pentágonos. Se satisfacen las siguientes relaciones con los lados coloreados de un pentagrama [4] ϕ= verde azul rojo = = verde azul púrpura (11) En un dodecaedro se pueden isertar también rectángulos dorados como muestra la figura 4. Los 12 vértices de un icosaedro con aristas de longitud 2 pueden expresarse en coordenadas cartesianas por los siguientes puntos (0, ±1, ±ϕ) (±1, ±ϕ, 0) (±ϕ, 0, ±1) (12) √ como ya se observó en la figura 3. Los 20 vértices de un dodecaedro con aristas de longitud 2/ϕ = 5 − 1 también se pueden dar en términos similares (±1, ±1, ±1) (0, ±1/ϕ, ±ϕ) (±1/ϕ, ±ϕ, 0) (±ϕ, 0, ±1/ϕ) (13) Los 12 vértices de los tres rectángulos áureos coinciden con los centros de las caras de un dodecaedro. Para un dodecaedro con aristas de longitud a, su volumen V y su área A total se pueden expresar también en términos del número áureo A=3  15 ϕ a2 15 + 20 ϕ a2 = √ 3−ϕ V= 5 4 + 7 ϕ 3 5 (1 + 2ϕ) 3 a = a 2 2 (3 − ϕ) (14) La equivalencia de las expresiones anteriores se resuelve con las identidades ϕ2 = 1 + ϕ y 1/ϕ = ϕ − 1. Si tres rectángulos áureos se solapan perpendicularmente en sus centros, los 12 vértices de los tres rectángulos áureos coinciden exactamente con los vértices de un icosaedro, y con los centros de las caras pentagonales de un dodecaedro [5]. Esta relación en la que los vértices de uno coincida con los centroides de las cara del otro, y viceversa, hacen que el dodecaedro y el icosaedro sean denominados poliedros duales [11]. Algo similar ocurre entre el cubo y el octaedro, también duales entre sı́. El tetraedro es dual consigo mismo. Ası́, la geometrı́a, como extensión de las matemáticas, se aplica a casi cualquier ámbito de la vida. Aunque parezca únicamente útil en la escuela, la matemática es una ciencia que revela lo extraordinario en las cosas más simples. Quizás por eso se debe aprender con más dedicación. Hay muchos misterios en el mundo que todavı́a no tienen una fórmula numérica que los descubra, pero que se esperan descubrir. Para finalizar, y a manera de curiosidad, se presenta la relación entre el Triángulo de Pascal y la Serie de Fibonacci. La figura 5 muestra los elementos del triángulo de Pascal en negro definidos como los números n combinatorios Cn,k = según k   n! n = (15) k (n − k)! k! Fig 5. El Triángulo de Pascal mostando como se obtiene la Serie de Fibonacci a partir de la suma de los elementos en semi-diagonales. ordenados según la fila n y la columna k (ambas a partir de 0) de manera romboidal. Estos números combinatorios son usados en el desarrollo de las potencias del binomio de Newton (a + b)n = n    n k=0 k an−k bk (16) Cumplen con las siguientes dos propiedades 2n = n    n k=0 k       n n−1 n−1 = + k k−1 k (17) la primera de ellas, obtenida al hacer a = 1 y b = 1, dice que la suma de los elementos por filas da las diferentes potencias de 2, y la segunda dice que la suma de dos seguidos de ellos en una misma fila da el del medio de la fila de abajo. Con esta segunda propiedad se puede construir el trángulo de pascal completo a 6 partir del vértice de arriba (los elementos colindantes que no aparecen son nulos). Los elementos Fn de la serie de Fibonacci se obtienen a partir del triángulo de Pascal como Fn+1 = ⌊n/2⌋  k=0 n−k k  √ ϕn = Fn ϕ + Fn−1 = Fn+1 + Fn /ϕ = ( 5 Fn + Ln )/2 √ n √ n 1− 5 1+ 5 1 1 Fn = √ − = √ ϕn − 2 2 5 5 −1 ϕ n  (18) donde el sı́mbolo ⌊ · ⌋ significa la parte entera de la fracción interior (truncando los decimales). Lo que es la suma de los elementos en las semi-diagonales rojas y cuyo resultado se muestra en la figura 5 también en rojo al lado izquierdo [13]. Por lo que la proporción áurea serı́a ϕ = limn→∞ Fn /Fn−1 . La expresión de la derechaabajo de (18), conocida como la fórmula de François Édouard Anatole Lucas (1842-1891), (también conocida como la fórmula de Binet (Jaques Philllipe Marie Binet (1786-1856), fórmula redescubierta, al parecer, ya conocida por Euler y Moivre)) nos da los elementos de la sucesión de Fibonacci en función de ϕ, la proporción áurea, lo que permite demostrar el lı́mite antes mencionado. La expresión de la derecha-arriba nos da las diferentes potencias de ϕ en función del mismo ϕ y los últimos números de Fibonacci. También se introduce √ la sucesión de Lucas Ln = Fn+1 + Fn−1 = 2ϕn − 5Fn = ϕn + (−1/ϕ)n = {1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, . . .}, similar a √ la sucesión de Fibonacci y con la misma fórmula de recurrencia (1) y el mismo lı́mite (limn→∞ Ln /Fn = 5), pero comenzando con L1 = 1 y L2 = 3 en lugar de F1 = 1 y F2 = 1 [13,§13,pp.218-219]. Escoger los valores iniciales 1 y 2 da la misma serie de Fibonacci desplazada un ı́ndice negativo. Matricialmente se satisface que Fn = Fn−1 Fn Fn Fn+1 (19) 0 1 y el exponente n ≥ 1 (F0 = 0). Diagonalizar la 1 1 matriz F de la forma F = P D P −1 con P invertible y D diagonal, nos da una expresión alternativa para −ϕ−1 0 −1 ϕ−1 −ϕ ϕ−1 F n . Resulta que D = , por lo que Ln = trDn y ,P = y P −1 = √15 1 ϕ 0 ϕ 1 1 siendo la matriz de la base en la potencia F = Dn − (−D)−n = √ 5 −Fn 0 0 Fn (19′ ) similar a la fórmula de Lucas-Binet (18.c). Como nota curiosa, la ecuación (4) pertenece a la familia de las ecuaciones cuadráticas x2 − p x − q = 0 (20) de los Números Metálicos [11] [12], descubierta por la matemática argentina Vera G. de Spinadel (1929-2017)  en 1994. De manera que se tienen las siguientes soluciones positivas σp,q = (p + p2 + 4q)/2 asociadas a las series de Fibonacci generalizadas Gn+2 = p Gn+1 + q Gn : √ 1 1 1 Oro p = 1, q = 1, x = ϕ = (1 + 5)/2 = 1 + 1+ 1+ 1+ · · · ≈ 1.618033989 . . . √ 1 1 1 Plata p = 2, q = 1, x = 1 + 2 = 2 + 2+ 2+ 2+ · · · ≈ 2.414213562 . . . √ 1 1 1 Bronce p = 3, q = 1, x = (3 + 13)/2 = 3 + 3+ 3+ 3+ · · · ≈ 3.302775638 . . . √ Cobre p = 1, q = 2, x = (1 + 9)/2 = 2 √ 1 1 1 Nı́quel p = 1, q = 3, x = (1 + 13)/2 = 2 + 3+ 3+ 3+ · · · ≈ 2.302775638 . . . √ 1 1 1 Platino p = 2, q = 2, x = 1 + 3 = 2 + 1+ 2+ 1+ · · · ≈ 2.732050808 . . . 7 1 1 donde al final se han expresado como fracciones continuadas de los elementos 1+ , 1 , y 3+ , respectivamente, √2+ √ √ los tres primeros números metálicos. Correpondientes a los radicales 5, 8, y 13 de sus expresiones alge braicas similares σp,1 = (p + Fp+4 )/2, que contiene los radicales de tres números de Fibonacci consecutivos. Notación de las fracciones continuadas: a0 + b1 b1 b2 b3 · · · = a0 + a1 + a2 + a3 + a1 + b2 a2 + (21) b3 . a3 + . . Es insólita la cantidad de propiedades que tienen los elementos de la serie de Fibonacci. Escojamos cuatros elementos consecutivos de la sucesión de Fibonacci Fn−3 , Fn−2 , Fn−1 y Fn . El producto de los dos de los extremos, el doble del producto de los dos centrales y la suma de los cuadrados de los dos centrales 2 2 + Fn−1 ) forman una terna pitagórica [11], es decir, que [17] ( Fn−3 Fn , 2 Fn−2 Fn−1 , Fn−2 2 2 2 (Fn−3 Fn )2 + (2 Fn−2 Fn−1 )2 = (Fn−2 + Fn−1 )2 = F2n−3 Fn2 − Fn−1 Fn+1 = (−1)n−1 (22) La segunda propiedad en (22) es que el elemento central al cuadrado y el producto de los dos vecinos se diferencian en ±1. Las sumas de grupos de elementos también satisfacen las siguientes propiedades 2 Fn2 + Fn+1 = F2n+1 n  i=1 Fi = Fn+2 − 1 10  i=1 Fn+i = 11 × Fn+7 (23) igualmente sorprendentes [9] (la última igualdad de (22.a) es equivalente a (23.a)). Las siguientes identidades F2k+2 = 3F2k − F2k−2 n  ϕk = Fk ϕ + Fk−1 Fk2 = Fn Fn+1 k=1 ∞  z = Fn z n (24) 1 − z − z2 n=0 5 Fn2 + 4 = L2n F2n = Fn Ln (24′ ) son de igual manera asombrosas, al igual que Fk+1 y Fk son siempre primos relativos [15]. Una generalización de la relación de recurrencia (1) se hace con un valor positivo de β en xn + 1 = xn ± β xn − 1 (25) donde el signo se escoge en cada iteración de forma aleatoria con una probabilidad de 21 en cualquier caso. Con β = 1 se obtiene la secuencia de Fibonacci aleatoria. Se puede probar que para un valor determinado de β, el lı́mite  (26) σ(β) = lim ( n |xn |) n→∞ existe de forma “casi segura”, y en el caso de la secuencia de Fibonacci aleatoria el resultado es la constante σ(1) = 1.1319882487943 . . . (27) encontrada por Divakar Viswanath en 1999, basado en la teorı́a del caos y de fractales [9,§8,pp.327-330]. El valor β ∗ ≈ 0.70258, conocido como la constante Embree-Trefethen, es definido como el umbral para el cual σ(β) < 1 para 0 < β < β∗ σ(β) > 1 para β > β∗ 8 (28) asi que la solución para la relación de recurrencia (25) decae o crece de forma exponencial con n → ∞. σ(β ∗ ) = 1 por definición. Una solución curiosa con la integral siguiente, denominada integral dorada, permite calcular  ∞ 0 dx =1 (1 + xϕ )ϕ (29) cuyo resultado se obtiene de las propiedades de las funciones Beta y Gamma, luego de realizar el cambio de variable u = xϕ . El máximo común divisor (M CD) de dos número cualquiera de la serie de Fibonacci, sean por ejemplo Fn y Fm , entonces M CD(Fn , Fm ) = FMCD(n,m) [17]. Cuando un número de Fibonacci Fn es primo, entonces n es también primo (al contrario no se satisface), con la única excepción del F4 = 3. Cuando se quiere expresar la serie de Fibonacci mediante el inverso de un número (a calcular) igual a S, tal que cada número Fn de la serie esté localizado dentro de a decimales por bloque de forma ordenada, entonces basta con calcular dicho número S con la serie S= ∞  n=0 Fn a(n+1) 10 (30) Haciendo un cambio en el el ı́ndice se tiene S= ∞ ∞  F1 F1 1  Fn′ +2 F0 F0 Fn′ +2 Fn′ +2 + + + + = + = 10a 102a 10a 102a 102a ′ 10a(n′ +1) 10a(n′ +3) 10a(n′ +3) n′ =0 n =0 n′ =−2 ∞  (31) Calculando una fracción S/10a como ∞ ∞  Fn′ +1  F0 S Fn 1  Fn′ +1 = = = + ′ 10a n=0 10a(n+2) 102a 102a ′ 10a(n′ +1) 10a(n +3) n′ =−1 n =0 (32) Ahora, y asumiendo Fn′ +2 = Fn′ +1 + Fn′ , calculamos S − S/10a, con lo cual obtenemos S− ∞ S Fn′ F0 F1 − F0 1  S 1 = + + + 2a ′ +1) = a a 2a 2a 2a a(n 10 10 10 10 10 10 10 n′ =0 (33) y finalmente agrupando los términos con S queda S 1− 1 1 − 2a 10a 10 = 1 102a (34) con lo cual se obtiene el valor de S que es S= (10a 1 − 1)10a − 1 Algunos valores de a nos da [17] [19] 9 (35) Tabla de número a de decimales por bloque para cada Fn y valor del decimal S. a 1/S S 1 90 − 1 89−1 2 9900 − 1 9899−1 3 999000 − 1 998999−1 a (10a − 1)10a − 1 · · 9 9 · · · 9 89 9 · (a−1)veces −1 (a−1)veces Phi SERIES √ 1+ 5 ϕ= 2 ∞  k=1 ∞  k=1 ∞  ∞  k+1 (−1) k=1 ∞  (−1)k+1 k=1 Φ(z, s, α) = ∞  k=0 zk (k + α)s   2π 2 1 1 + = ζ(2, 0.3) + ζ(2, 0.7) = (k − 0.7)2 (k − 0.3)2 ϕ   π 3 √2 + ϕ 1 1 − = ζ(3, 0.3) − ζ(3, 0.7) = 4 (k − 0.7)3 (k − 0.3)3 ϕ ϕ  1 1 8  π 4 (5 − ϕ) + = ζ(4, 0.3) + ζ(4, 0.7) = (k − 0.7)4 (k − 0.3)4 3 ϕ k+1 (−1) k=1 k=0 1 (k + α)s  k=1 k=1 ∞   π  √2 + ϕ 1 1 − = ζ(1, 0.3) − ζ(1, 0.7) = k − 0.7 k − 0.3 ϕ ϕ ∞  ∞  ζ(s, α) =   2π  1 1 + = Φ(−1, 1, 0.3) + Φ(−1, 1, 0.7) = k − 0.7 k − 0.3 ϕ   π 2 √2 + ϕ 1 1 − = Φ(−1, 2, 0.3) − Φ(−1, 2, 0.7) = 2 (k − 0.7)2 (k − 0.3)2 ϕ ϕ   π 3 1 1 (7 − ϕ) + = Φ(−1, 3, 0.3) + Φ(−1, 3, 0.7) = (k − 0.7)3 (k − 0.3)3 ϕ Notes: [16] dn−1 π [cot(πx)] (n − 1)! dxn−1    2 − x  1 − x   x  x + 1 −n ∓ ζ n, ∓ ζ n, ζ n, Φ(−1, n, x) ± Φ(−1, n, 1 − x) = 2 − ζ n, 2 2 2 2 ζ(n, x) + (−1)n ζ(n, 1 − x) = (−1)n−1 d d [cot(x)] = − csc2 (x) [− csc2 (x)] = 2 cot(x) csc2 (x) dx dx d [2 cot(x) csc2 (x)] = −2 csc2 (x) [ 2 cot2 (x) + csc2 (x) ] dx 10 ⎧ √ ⎨ csc(0.3π) = 5 − 1  √ ⎩ cot(0.3π) = 5 − 2 5 θ 1 − cos θ = 2 2 1 + cos θ θ cos2 = 2 2 sin2 cot sin θ 1 + cos θ θ = csc θ + cot θ = = 2 1 − cos θ sin θ sin η + sin θ η+θ = tan 2 cos η + cos θ Tribonacci Los números tribonacci (Mark Feinberg,1963) se derivan de la secuencia de ir sumando los tres últimos elementos como xn+1 = xn + xn−1 + xn−2 en lugar de (1), comenzando con tres números iniciales. Dicha sucesión al ir avanzando, la razón xn+1 /xn entre elementos adyacentes converge hacia el número ∆ = (1 +   √ √ 3 3 19 + 3 33 + 19 − 3 33 )/3 ≈ 1.8392867555 . . . (en lugar de ϕ), que es la solución real positiva de la ecuación ∆3 − ∆2 − ∆ − 1 = 0 (compárese con (4)). Este concepto se puede generalizar (Mark Barr,1913) a tetranacci, pentanacci, etc. siendo la relación de los dos últimos elementos incrementada cada vez más, tendiendo hacia un valor extremo de 2.0 [14;pp.227-228]. Polinomios de Fibonacci y Lucas Los polinomios de Fibonacci y Lucas se definen mediante la siguientes relaciones de recurrencia [20] ⎧ ⎧ Si n = 0 Si n = 0 ⎨2 ⎨0 Si n = 1 Si n = 1 (36.a) Fn (x) = 1 Ln (x) = x ⎩ ⎩ xLn−1 (x) + Ln−2 (x) Si n ≥ 2 xFn−1 (x) + Fn−2 (x) Si n ≥ 2 Para ı́ndices negativos se definen F−n (x) = (−1)n−1 Fn (x) L−n (x) = (−1)n Ln (x) (36.b) Los primeros ejemplos son F0 (x) = 0 L0 (x) = 2 F1 (x) = 1 L1 (x) = x F2 (x) = x L2 (x) = x2 + 2 F3 (x) = x2 + 1 L3 (x) = x3 + 3x F4 (x) = x3 + 2x L4 (x) = x4 + 4x2 + 2 F5 (x) = x4 + 3x2 + 1 L5 (x) = x5 + 5x3 + 5x F6 (x) = x5 + 4x3 + 3x L6 (x) = x6 + 6x4 + 9x2 + 2 (37) El grado de Fn (x) es n − 1 y el grado de Ln (x) es n. Los números de Fibonacci y de Lucas se recuperan de evaluar los polinomios en x = 1; los números de Pell se recuperan al evaluar Fn (x) en x = 2. Las funciones generadoras ordinarias para las secuancias son ∞  ∞  t Fn (x) t = 1 − xt − t2 n=0 n n=0 Ln (x) tn = 2 − xt 1 − xt − t2 (38) Los polinomios se pueden expresar en términos de la sucesión de Lucas como Fn (x) = Un (x, −1) Ln (x) = Vn (x, −1) (39) donde Un (P, Q) y Vn (P, Q) satisfacen la relación de recurrencia xn = P xn−1 + Q xn−2 . Pueden también ser expresados en términos de los polinomios de Chebyshev Un (x) y Tn (x) como Fn (x) = in−1 · Un−1 ( −ix ) 2 Ln (x) = 2 · in · Tn ( 11 −ix ) 2 (40) Algunas identidades incluyen Lm+n (x) = Lm (x)Ln (x) − (−1)n Lm−n (x) Fm+n (x) = Fm+1 (x)Fn (x) + Fm (x)Fn−1 (x) Fn+1 (x)Fn−1 (x) − Fn (x)2 = (−1)n F2n (x) = Fn (x)Ln (x) (41.a, b) (41.c, d) Las expresiones de forma cerrada, similares a la fórmula de Binet son Fn (x) = α(x)n − β(x)n α(x) − β(x) donde α(x) = x+ Ln (x) = α(x)n + β(x)n √ x2 + 4 2 β(x) = x− (42) √ x2 + 4 2 (43) son las soluciones en t de t2 − xt − 1 = 0. Una relación entre los polinomios de Fibonacci y los polinomios de base estándar viene dada por ⌊n/2⌋  xn = Fn+1 (x) + n n − k k−1 (−1)k k=1  Fn+1−2k (x) (44) Por ejemplo x4 = F5 (x) − 3 F3 (x) + 2 F1 (x) x5 = F6 (x) − 4 F4 (x) + 4 F2 (x) x6 = F7 (x) − 5 F5 (x) + 9 F3 (x) − 5 F1 (x) (45) x7 = F8 (x) − 6 F6 (x) + 14 F4 (x) − 14 F2 (x) Para los polinomios de Lucas (n > 0), se tiene Ln (x) = ⌊n/2⌋  k=0 n n−k xn−2k n−k k (46) Si F (n, k) es el coeficiente de xk en Fn (x), es decir, Fn (x) = n  F (n, k) xk (47.a) k=0 entonces F (n, k) = ⎧ ⎨ ⎩ 1 2 (n + k − 1) k 0 Si n ≡ k (mod 2) (47.b) Otra forma Esto da una forma de leer los coeficientes del triángulo de Pascal en semi-diagonales como se muestra en la figura 5 (cuando la paridad de n y k son opuestas), pero en los ı́ndices de los números combinatorios de (47.b), recorridos en semi-diagonales descendentes en (47.a) (k in crescendo). Este resultado es consistente con la fórmula (18.a), pero en los ı́ndices de los números combinatorios recorrido en semi-diagonales ascendentes (k in crescendo), simétricas con la anteriores. Este resultado también es consistente con que Fn = Fn (1) = n  k=0 12 F (n, k) (48) como se definió arriba en el comentario después de la ecuación (37). Las sumatorias en (18.a) y (48) son equivalentes, aunque las variables n en cada una de ellas se diferencien en una unidad. Ver referencia [20]. REFERENCIAS: [1] Ferris, T. La Aventura del Universo, de Aristóteles a la Teorı́a de los Cuantos: Una Historia sin Fin. Grijalbo Mondadori (Barcelona, España), 1990. [2] Ferris, T. Coming of Age in The Milky Way. William Morrow & Co (Nueva York), 1980. [3] https://es.wikipedia.org/wiki/Icosaedro [4] https://es.wikipedia.org/wiki/Pentagrama (geometrı́a) [5] https://es.wikipedia.org/wiki/Número áureo [6] https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral logarı́tmica [7] https://www.youtube.com/watch?v=dTWKKvlZB08, Golden Proof - Numberphile [8] https://www.youtube.com/watch?v=Nu-lW-Ifyec, Fibonacci Mystery - Numberphile [9] Livio, M. La Proporción Áurea, La Historia de Phi, el Número más Sorprendente del Mundo. Editorial Planeta (Barcelona, España), 2006. [10] Livio, M. The Golden Ratio, The Story of Phi, The World’s Most Astonishing Number. Broadway Books (New York), 2002. [11] VV.AA. La Magia de Las Matemáticas, Un Viaje Fascinante al Universo de Los Números. RBA Libros (Barcelona, España), 2019. [12] Cano Suárez, Marı́a Rosa. Los Números Metáticos, Proyecto ESTALMAT. [13] https://es.wikipedia.org/wiki/Triángulo de Pascal [14] Gardner, M. Circo Matemático, 2da Edición. Alianza Editorial (Madrid), 2018. [15] https://images.math.cnrs.fr/Nueva-traduccion-El-Numero-Aureo-en-Matematicas.html?lang=es [16] Cvijović, D., & Klinowski, J. (1999). “Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments”. Mathematics of Computation, Vol.68, No.228, pp.1623-1631. doi:10.1090/s00255718-99-01091-1 [17] Strachan, L. Curiosidades Numéricas, Alianza Editorial S. A. (Madrid), pp.93-96,186-187, 2018. [18] https://www.wolframalpha.com/input?i=fibonacci+sequence&lang=es [19] https://www.cantorsparadise.com/why-does-1-89-represent-the-fibonacci-sequence-7e09873533c3 [20] Arthur T. Benjamin & Jennifer J. Quinn. Proof that Really Count: The Art of Combinatorial Proof. Dolciani Mathematical Expositions, The Mathematical Association of America, 2003. Andrés L. Granados M., 09/Marzo/2016. Revisado: 02/Feb/2021, 04/Dic/2021, 19/Oct/2022, 17/Oct/2023, 08/Feb/2024. 13