Ondas estacionarias en medios con o sin pérdidas.
¿Qué son ondas estacionarias?
Para comprender el funcionamiento de una onda estacionaria es necesario comprender qué es una onda incidente y una onda reflejada.
Cuando una onda electromagnética viaja por un medio y se encuentra con otro, dependiendo de las características de estos puede que se refleje una parte y la otra se transmita al otro medio. Se le llama onda incidente a la onda inicial que viaja en el medio 1 y se encuentra con el medio 2, mientras que la onda reflejada es la parte de la onda incidente que no se transmite al nuevo medio, si no que rebota (reflexión de onda). Lo anterior se puede ilustrar en la figura 1.
La onda estacionaria se da por la interferencia entre la onda reflejada y la incidente (se suman sus fasores).
Coeficiente de reflexión
La ecuación (1) corresponde al coeficiente de reflexión, esta indica cuánto de la onda incidente se refleja.
Antes de comenzar a ver los diferentes casos de ondas estacionarias es necesario comprender el concepto de coeficiente de reflexión, pues la magnitud de la onda reflejada depende directamente de este y la magnitud de la onda incidente.
Casos de ondas estacionarias dependiendo de los medios
Existen diferentes casos de ondas estacionarias, las variaciones de estas dependen del medio en los cuales se propaguen.
En esta sección veremos diferentes casos de ondas estacionarias, en específico las magnitudes de estas y cómo se comportan ante la variación de los diferentes parámetros que las conforman.
- Caso 1: Ondas Estacionarias en medios sin pérdidas.
A continuación se presentan las características propias de este caso.
La constante de propagación está descrita por la ecuación (2) :
Para este tipo de onda estacionaria se toma la constante de atenuación como:
Si se cumple la ecuación (3), se dice que es un medio sin pérdidas, en cualquier otro caso el medio presenta pérdidas.
Caso 1.1: Dieléctrico sin perdidas - Conductor Perfecto.
Las ecuaciones (4) y (5) describen el comportamiento de los campos eléctrico y magnético incidentes respectivamente en el dominio del tiempo, para el caso en que el medio 1 corresponde a un dieléctrico perfecto y el medio 2 a un conductor perfecto.
La conductividad en el medio 2 es infinita entonces se cumple la ecuación (6).
Las ecuaciones (7) y (8) son sus equivalentes a las ecuaciones (4) y (5) en notación fasorial.
Las ecuaciones (9) y (10) representan a los campos eléctrico y magnético reflejados respectivamente en el dominio del tiempo. Para el caso 1.1, cuando el medio 2 es un conductor perfecto, el coeficiente de reflexión es -1, ya que la impedancia intrínseca (η) del medio 1 es mucho mayor a la del medio 2.
Las ecuaciones (11) y (12) son sus equivalentes a las ecuaciones (9) y (10) en notación fasorial.
Para este caso la onda incidente y reflejada tienen las misma magnitud.
La magnitud del patrón de onda estacionaria (POE) en el campo eléctrico viene dada por la ecuación (13).
Este patrón se puede ver en la figura 2.
La magnitud del POE para el campo magnético viene dada por la siguiente ecuación (14).
Y este patrón se puede observar en la figura 3.
Los patrones de onda estacionaria del campo eléctrico y magnético se encuentran desfasados 90° como se muestra en la figura 4.
Caso 1.2: Dieléctrico perfecto- Dieléctrico perfecto
Cuando ambos medios son dieléctricos sin pérdidas la magnitud del coeficiente de reflexión va a ser un valor entre 0 y 1, lo cual va a cambiar magnitud de la onda reflejada, por lo que la onda estacionaria también va a presentar un cambio, como se observa en la ecuación (15).
La ecuación (16) corresponde a su forma instantánea.
La ecuación (16) representa al campo total en el medio 1, la ecuación (17) representa la magnitud de un máximo, el cual se genera cuando las ondas incidente y reflejada están en fase, y la ecuación (18) representa la posición de estos máximos
La ecuación (19) permite calcular la magnitud de los mínimos los cuales se forman cuando las ondas incidente y reflejada están en contrafase, la ecuación (20) permite ubicar dichos mínimos. En la figura 5 se puede ver en forma general el comportamiento del patrón de onda estacionaria eléctrica en medios sin pérdida, el cual está dado por la ecuación (21).
Cuando la magnitud del coeficiente de reflexión es 1 se dice que hay desacople total, esto indica que toda la onda incidente se refleja como se muestra en la Figura 6 y cuando es 0 se dice que hay acople total lo cual indica que toda la onda incidente se transmite al medio 2 como se muestra en la Figura 7.
- Caso 2: Ondas Estacionarias en medios con pérdidas
Para este caso la constante de atenuación está descrita por la ecuación (22)
Si se cumple la ecuación (22), se dice que es un medio con pérdidas y la ecuación que describe la onda estacionaria en su totalidad está descrita por la siguiente ecuación (23).
Para este caso en específico las ecuaciones(24),(25) y (26) describen el comportamiento de la onda incidente, reflejada y total de un campo eléctrico respectivamente en un medio con perdidas de forma instantánea son :
Donde tenemos que la onda estacionaria es la suma de las ondas incidente y transmitida. También vemos que el exponente con el que se amortigua la onda incidente es negativo como se muestra en la ecuación (27).
mientras que en la onda reflejada el exponente es positivo como se muestra en la ecuación (28).
El comportamiento de las ecuaciones se refleja en la figura 8.
El patrón de onda estacionaria se obtiene por medio de la siguiente ecuación (29).
La ecuación (29) define cómo se comporta la onda en un medio con pérdidas, donde su forma depende del valor de la constante de reflexión, esta forma se puede ver en la figura 9.
- Razón de Onda Estacionaria.
El ROE es el cociente de la magnitud máxima de onda entre la magnitud mínima de onda. Se puede ver como una relación geométrica entre ambos valores. La ecuación (30) que lo caracteriza es la siguiente:
La razón de onda estacionaria es siempre un número positivo y tiene el siguiente comportamiento:
- Si no hay onda reflejada (todo se transmite), no existirán máximos ni mínimos, por lo que el ROE será constante y de valor igual a 1.
- Si una parte de la onda se refleja, habrán máximos y mínimos, y el ROE será mayor a 1.
- Si se refleja toda la onda incidente, habrán máximos y los mínimos estarán en cero. Para este caso el ROE es infinito.
Se recomienda ver el siguiente video para mejorar la comprensión de los conceptos expuestos anteriormente.
Integrantes
Tayron David Durán Godínez
Jeniffer Madrigal López
Karin Porras Clarke
Marvin Humberto Zúñiga Aguilar
Referencias
[1] Hayt, W., Buck, J.(2012)Teoría Electromagnética. (8a. ed). McGraw Hill.
[2] (02 de marzo del 2013). El RG-58 y la ROE. Recuperado de https://www.radiomakers.org/?q=El%20RG-58%20y%20la%20ROE.
[3]Coziol, R.(2013)Ondas electromagnéticas. Recuperado de http://www.astro.ugto.mx/~rcoziol/Cursos/EM/part2/EM2013_s2_cap13.pdf
[4]Neri, R.(1999) Líneas de Transmisión. Mexico.Editorial Mc Graw-Hill Interamerica .
[5]Sadiku,M.(2005). Elementos de Electromagnetismo. (3ra. Ed)Alfaomega-Oxford.
