Representación gráfica de fasores de ondas incidentes, reflejadas y transmitidas en líneas de transmisión.
Para que una onda electromagnética se propague necesita de un medio, medios como el vacío, dieléctricos sin pérdidas, disipativos y buenos conductores. Algunos ejemplos de ondas electromagnéticas son ondas de radio y televisión, estas ondas se propagan con propiedades de ondas como velocidad de propagación y longitud de onda.
Es claro que las ondas electromagnéticas necesitan de un medio para su propagación, y estas se irradian desde una fuente al medio, es aquí donde se incluyen las líneas de transmisión como un medio.
Las ondas pueden representarse, como fasores de onda, por ejemplo, como muestra la ecuación [1] de un voltaje sinusoidal:
Su representación fasorial es la mostrada en la ecuación [2],
Y si se quisiera volver a una forma instantánea se obtiene la ecuación [3],
El fasor rota según la onda se desplaza, si la señal de voltaje se desplaza hacia la derecha, el fasor rota en un sentido anti-horario como se presenta en la Figura 1. Por otra parte, si la señal de voltaje se desplaza hacia la izquierda, el fasor rota en sentido horario como lo muestra la Figura 2.
Líneas de transmisión
Las líneas de transmisión son estructuras guiadas capaces de dirigir la propagación de energía de una fuente o generador hacia una carga. Se componen normalmente de 2 o más conductores paralelos que se conectan entre la fuente y la carga, como lo muestra la Figura 3. Las fuentes pueden ser entes como antenas, transmisores u osciladores, mientras que la carga sería un sistema como otra antena o un osciloscopio.
Frecuentemente las líneas de transmisión son empleadas en la distribución de potencia (a bajas frecuencias) y las comunicaciones (a altas frecuencias). Tipos comunes de líneas de transmisión son líneas bifilares (líneas de dos alambres), líneas de placas paralelas, cables de par trenzado, cables coaxiales, microcinta, entre otros.
Normalmente las líneas de transmisión se describen según sus parámetros, los cuales son: resistencia por unidad de longitud R, inductancia por unidad de longitud L, conductancia por unidad de longitud G y capacitancia por unidad de longitud C. Los parámetros R, L, G y C varían de acuerdo al tipo de línea de transmisión con la que se este trabajando, ya sean líneas de tipo coaxial, tipo plana o de dos alambres, entre otras. Además, estos parámetros, no son de carácter discreto ni global, sino de carácter distribuido, esto debido a que su distribución es uniformemente a lo largo de toda la línea de transmisión.
Las ondas viajeras que se desplazan sobre las líneas de transmisión son ondas transmitidas o de transmisión. Para poder interpretar las ondas transmitidas se requiere comprender los conceptos mencionados acerca de ondas viajeras y líneas de transmisión. Además, estas son ondas planas no uniformes, por medio de las cuales se transmite potencia a través de la línea de transmisión.
Onda Incidente y Reflejada
Se mencionó que las líneas de transmisión pueden ser tratadas como medios para el transporte de energía, por el cual pueden viajar señales de voltaje, así como de corriente a través de los conductores, que implica la presencia de campos eléctricos y magnéticos en el espacio que circulan los conductores. En consecuencia, esa señal que viaja por un medio a través del conductor se conoce como onda incidente, y también, aquella que viaja en sentido opuesto es llamada onda reflejada, para comprender mejor se mostrarán las ecuaciones.
Para analizar, se usarán señales de voltaje con las cuales se está más familiarizado, además se analizará el caso de onda incidente y reflejada para reflexión total. La ecuación de onda para una señal fasorial de voltaje “Vs” en una línea de transmisión con propagación en el eje “z” es gobernada por la ecuación [4]:
Donde “γ” representa la constante de propagación compleja dada por las ecuaciones [5] y [6]:
La solución de la Ecuación diferencial [4] está dada por la ecuación [7]:
A partir de la ecuación [7] se muestra la existencia de dos ondas en la propagación, la onda incidente que se propaga hacia la carga y la onda reflejada originada en algún punto, donde el medio (línea de transmisión) presenta variación, en la Figura 4 se muestra una línea de transmisión y las ondas presentes en esta.
Onda Estacionaria
Según lo anterior dos ondas de voltaje con frecuencias y amplitudes iguales se propagan en direcciones opuestas a través de una línea de trasmisión. Es posible determinar el voltaje total en función del tiempo y la posición.
Las ondas tienen la misma frecuencia y por ello se puede escribir su combinación utilizando sus formas fasoriales. Suponiendo una constante de atenuación “α” igual a cero y una constante de fase, “β” constante, con una amplitud real, donde las amplitudes de voltaje pueden ser llamadas “Vo”. A partir de esto y remplazando la ecuación [8] en [7] se obtiene la ecuación [9].
La Figura 5 muestra la onda resultante obtenida de la ecuación [9].
Si se quisiera ver su variación en el tiempo, se puede agregar su componente temporal como se muestra en la ecuación [10].
Las ecuaciones [9] y [10] pueden reconocerse como una onda estacionaria, en la cual la amplitud varía en la forma cos(βz), y oscila en el tiempo de forma cos(ωt). En puntos fijos la sumatoria de la onda se presentará con amplitudes máximas como indica la ecuación [11]
y mínimas iguales a cero.
La Figura 6 detalla una línea de transmisión y como las ondas incidente y reflejada generan una onda estacionaria, así como la amplitud de esta y la rotación de los fasores de las ondas incidente y reflejada para el caso de reflexión total.
Se observa en la Figura 6 que cuando los fasores se encuentran en fase se produce un máximo en la onda estacionaria, mientras que cuando los fasores se encuentran en contra-fase se produce un mínimo en esta.
En el siguiente vídeo, se ofrece un resumen de lo presentado.
Enlaces
Autores
Castro Adrián, Chacón Oldemario, Muñoz Ayrton
Tecnológico de Costa Rica
Referencia bibliográfica
Matthew N. O. Sadiku , “Elementos del Electromagnetismo”, Oxford UNIVERSITY PRESS Edición, 3ª Ed, 2000.
W. H. Hayt Jr. and J. A. Buck , “Engineering Electromagnetics”, McGraw-Hill International Edition, 8ª Ed, 2014
