Encontré esta pregunta en Reddit: ¿Sobreviviría una cucaracha a una caída desde la estratosfera? Qué cuestión más bonita. Pero, ¿por qué detenerse ahí? La estratosfera solo se eleva 50 kilómetros, ¿y si una cucaracha cayera desde el espacio? El espacio comienza en la línea de Kármán, a 100 kilómetros de altura.
Calculemos una respuesta aproximada.
Calculando la caída sin aire
Como la mayoría de los problemas del mundo real, la física puede complicarse mucho. Cuando un físico se plantea el destino de esta cucaracha que cae, su primer paso es convertir el problema en algo más sencillo. No se trata de hacer trampa, sino de obtener una respuesta inicial en la que pensar.
Obviamente, el mayor factor de complicación será la interacción entre la cucaracha y el aire. El aire ejercerá una importante fuerza de empuje hacia atrás que cambia con la velocidad de la cucaracha. ¿Y si imaginamos que cae en un entorno sin aire? Eso es mucho más sencillo.
La manera en que el aire interactúa con un objeto que cae depende de la forma del objeto, pero como en este primer cálculo no tenemos aire, la forma no importa. Así que simplifiquemos de nuevo e imaginemos que la cucaracha es una esfera. En concreto, supongamos que tenemos un objeto esférico con una masa (M) que se deja caer desde una altura (h) sobre el suelo. ¿A qué velocidad se desplazará cuando impacte contra la Tierra?
Si hubiéramos dejado caer esta cucaracha redonda desde un edificio alto, podríamos suponer que la fuerza gravitatoria es constante y se calcula como la masa multiplicada por el campo gravitatorio(g), que es igual a 9.8 newtons por kilogramo. Sin embargo, a medida que nos alejamos de la superficie terrestre, ya no podemos suponer que el campo gravitatorio es constante.
Podemos calcular el valor de g con la siguiente expresión. Aquí, G es la constante gravitatoria universal, ME es la masa de la Tierra, RE es el radio de la Tierra y h es la altura sobre la superficie.
Como el radio de la Tierra es bastante grande (6.38 x 106 metros), dominará el valor del denominador en esa expresión. Incluso utilizando una h de 10,000 metros, el campo gravitatorio solo bajará a un valor de 9.76 N/kg. Se podría decir que es esencialmente constante. Por supuesto, si nos desplazamos hasta 100 kilómetros, entonces el campo disminuirá a un valor de 9.49 N/kg. Esto significa que necesitamos una forma de tener en cuenta esta fuerza cambiante para un objeto que cae.
Hay dos maneras de hacerlo. Primero, podríamos utilizar el principio trabajo-energía para encontrar el valor de la velocidad final, utilizando el cambio en el potencial gravitatorio. Sin embargo, este método no funcionará cuando añadamos el aire al problema, ya que la fuerza del aire no puede representarse como energía. Así que quizá esta no sea la mejor opción.
El segundo método divide el movimiento del objeto que cae en intervalos de tiempo muy cortos. Digamos que cada uno dura un segundo. Durante cada uno de estos intervalos, podemos aproximar el campo gravitatorio con un valor constante. Esto significa que podemos usar algo de física simple para encontrar el cambio de velocidad y posición durante este intervalo de un segundo.
Para modelar el movimiento durante 100 segundos, necesitaríamos 100 de estos cálculos. Nadie tiene tiempo para tantos cálculos, así que la solución más sencilla es hacer que una computadora haga todo el trabajo duro. Me gusta usar Python para crear estos cálculos numéricos, pero puedes usar cualquier código que te haga feliz. Aquí está el mío, por si quieres ver mi versión.
Con eso, podemos obtener el siguiente gráfico que muestra la velocidad del objeto a medida que cae:
Esto muestra que en el impacto, el objeto estaría viajando a 1,389 metros por segundo, que son 3,107 millas por hora. Esto es superior a Mach 4, y más rápido que el avión a reacción más veloz. Pero no es muy realista. La resistencia del aire impediría que un objeto lanzado se moviera tan rápido. Sí, por fin vamos a tener que considerar los efectos del aire.
Habrá que calcular la caída con aire
Podemos modelar la interacción entre un objeto en movimiento y el aire con una fuerza de resistencia. Ya entiendes intuitivamente esa fuerza; es lo que sientes cuando sacas la mano por la ventanilla de un auto en movimiento y el aire empuja tu mano hacia atrás. Esta resistencia del aire aumenta de magnitud a medida que el vehículo va más rápido.
Aproximemos la magnitud de esta fuerza con la siguiente ecuación:
En esta expresión, ρ es la densidad del aire, A es el área de la sección transversal del objeto (para una esfera sería el área de un círculo), C es un coeficiente de resistencia que depende de la forma del objeto y v es la magnitud de la velocidad. Dado que esta fuerza de resistencia del aire depende de la velocidad, y la velocidad depende de la fuerza (debido a la segunda ley de Newton), este sería un problema difícil de resolver. Sin embargo, como estamos dividiendo el movimiento en intervalos de tiempo cortos, supondremos que la fuerza de resistencia es constante durante ese tiempo corto. Esto hace que sea mucho más fácil de resolver.
Pero, espera, no solamente cambia la velocidad del objeto. La densidad del aire también cambia con la altitud. Cerca de la superficie de la Tierra, la densidad del aire es de unos 1.2 kilogramos por metro cúbico, pero sigue disminuyendo a medida que subes. Afortunadamente, disponemos de un modelo de la densidad del aire en función de la altitud. Es un poco complicado, pero ¿a quién le importa? Mientras podamos calcular este valor, podemos introducirlo en la fórmula de la resistencia aerodinámica y utilizarlo en el cálculo numérico.
Hay una cosa más a tener en cuenta. Si no hay resistencia del aire en un objeto que cae, entonces la fuerza total es solo la fuerza gravitatoria, y esta es proporcional a la masa. Recuerda que la segunda ley de Newton dice que la fuerza neta es igual al producto de la masa por la aceleración(Fnet = ma). Al ser la fuerza neta proporcional a la masa, podemos cancelarla con la masa multiplicada por la aceleración, de forma que la aceleración no depende de la masa. Esta es la razón por la que, en algunos casos, objetos de masas diferentes chocarán contra el suelo al mismo tiempo.
Sin embargo, si añadimos la resistencia del aire, la fuerza neta no solo depende de la masa, sino también del tamaño del objeto. Esto significa que una bola de bowling que cae y una pelota de tenis que cae tendrán movimientos diferentes.
Bien, pasemos al gráfico. Aquí tienes el mismo gráfico para cuatro caídas: un objeto sin resistencia del aire y tres con resistencia del aire: una cucaracha, una pelota de tenis y una bola de bolos. Elegí al azar las pelotas de bowling y de tenis para ver cómo caían objetos esféricos de distintos tamaños. Es decir, si puedes imaginar una situación en la que un insecto cae desde el espacio, ¿por qué no una bola de bowling?
(Consulta el código completo aquí.)
Hay algunas cosas interesantes aquí. Observa que los objetos con resistencia del aire alcanzan velocidades increíblemente altas al caer en la atmósfera superior, donde encuentran muy poca resistencia del aire. Sin embargo, una vez que entran en el aire más denso, se ralentizan. La cucaracha se ralentiza de forma extraña porque mi modelo de densidad del aire (para altitudes muy elevadas) tiene poca resolución.
Pero todos esos objetos alcanzan finalmente cierta velocidad terminal. Para la bola de bowling, esta velocidad final es de 83 metros por segundo (185 mph), mientras que la cucaracha termina con una velocidad de solo 1,5 metros por segundo (3.3 mph). La pelota de tenis se sitúa entre estas dos, con una velocidad terminal de 23.8 m/s (53 mph). Si quieres probar con un objeto diferente, utiliza el enlace al código e introduce los valores del objeto que quieras dejar caer.
Desde el punto de vista de la supervivencia, parece que la cucaracha podría lograrlo. Si alguna vez has visto una cucaracha, sabrás que pueden moverse fácilmente más rápido de lo que tú puedes caminar, lo que equivale a unos 5 km/h. Si pueden moverse tan rápido por el suelo, creo que sobrevivirían a un impacto contra el suelo a esa misma velocidad.
La pelota de tenis tampoco debería tener problemas: esa velocidad terminal es algo que podría verse durante un partido de tenis. Sin embargo, esa bola de bowling probablemente se destruirá. Estoy seguro de que si choca contra una superficie dura, como cemento o tierra seca, explotará. Puede que sobreviva al impacto con algo más blando, como agua o barro.
Calculando caída y calentamiento
Si has prestado atención a cualquier cosa relacionada con la exploración espacial, sabrás que cuando los objetos reingresan en la atmósfera a velocidades muy altas, se calientan. La interacción entre el objeto y el aire crea una fuerza de resistencia del aire que empuja hacia atrás, pero también comprime el aire delante del vehículo en movimiento. Este aire comprimido se calienta y, a su vez, calienta la superficie delantera del objeto en caída. Para una nave espacial durante la reentrada, este calentamiento puede ser bastante extremo, tanto que necesita un escudo térmico para evitar que el resto del vehículo se derrita.
¿Y qué ocurre con los objetos que caen? Las cosas pueden complicarse bastante cuando se trata de aire en movimiento, especialmente a altas velocidades, pero eso está bien. Como esto es solo por diversión y no para aplicaciones aeroespaciales reales, podemos utilizar una aproximación para calcular la cantidad de calentamiento durante la caída.
En primer lugar, podemos calcular el trabajo realizado por la fuerza de resistencia del aire. El trabajo es básicamente un producto de la fuerza (que ya he calculado) y una distancia. Dado que la fuerza cambia a medida que el objeto cae, puedo calcular la pequeña cantidad de trabajo durante cada pequeño intervalo de tiempo en mi programa anterior, y luego simplemente sumar todos estos pequeños trozos de trabajo para encontrar el total.
En segundo lugar, voy a suponer que este trabajo se destina a calentar tanto el aire como el objeto; para simplificar, puedo decir que la mitad de la energía va al objeto.
Por último, puedo calcular la capacidad calorífica específica de cada objeto. Se trata de una propiedad que establece una relación entre la energía que entra en el objeto y el cambio de temperatura. Nota: no voy a medir experimentalmente la capacidad calorífica específica de una cucaracha.
Con esas estimaciones, obtengo unos números disparatados. La bola de bolos tiene un cambio de temperatura de más de 1,000 grados Celsius. Eso es alrededor de 2,000 Fahrenheit, que es super caliente. La pelota de tenis es aún peor. Los cálculos muestran que aumentaría 1,700 °C, o 3,000 °F. Si cualquiera de estas pelotas alcanzara esas temperaturas, no solo se derretirían, sino que se vaporizarían. No quedaría nada para golpear el suelo.
¿Y la cucaracha? Tampoco parece irle tan bien, ya que obtiene un cambio de temperatura de 960 °C.
Si estas temperaturas parecen extremas, quizá lo sean. Esto supone que el objeto aumenta de temperatura en cada intervalo de tiempo. No tiene en cuenta el efecto refrigerante del movimiento a través de otro aire.
Veamos, en cambio, a qué velocidad aumentan de temperatura los objetos solo debido a la interacción con el aire. Aquí tienes un gráfico de la velocidad de cambio de temperatura de los tres objetos:
La bola de bowling estaba fuera de control. Reduje la escala de los datos en un factor de 0.001 para que aún se pudieran ver los detalles de las tasas de temperatura de la pelota de tenis y la cucaracha.
Los resultados son malas noticias, al menos para quienes no somos muy aficionados a las cucarachas. Fíjate en que la cucaracha tiene períodos cortos de aumento de temperatura. Esto se debe probablemente a la transición a un aire de mayor densidad, donde tiene que reducir la velocidad. Pero durante el resto del otoño, no se calienta mucho. Esto le daría mucho tiempo para enfriarse, aumentando sus probabilidades de supervivencia.
Lo mismo ocurre con la pelota de tenis, aunque tenga períodos con tasas de cambio de temperatura mucho más elevadas.
La bola de bowling, en cambio, tiene un período de calentamiento rápido, de unos 10,000 °C por segundo. Con su mayor masa, puede alcanzar una velocidad considerable antes de colisionar con el aire, mucho más denso, cerca del suelo. Esto provoca un inmenso aumento de la resistencia del aire y rápidos cambios de temperatura. Creo que la bola de bowling podría derretirse si se dejara caer desde el espacio. Lástima que esa cucaracha no sea una bola de bowling.
Artículo originalmente publicado en WIRED. Adaptado por Mauricio Serfatty Godoy.
