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Ondas mecánicas
- 1. ONDAS MECANICAS INTRODUCCION El fenómeno ondulatorio aparece muy ampliamente en la vida cotidiana del ser humano pues a través de sus sentidos auditivo y visual le es posible captarlos como ondas sonoras y luminosas. Para generar, transmitir y recibir dichas ondas, se requiere de una fuente, un medio de propagación y un receptor. Por su naturaleza existen dos clases de onda; las “ondas mecánicas” y las “ondas electromagnéticas”. Las primeras requieren de un medio para que se propaguen, las segundas no necesariamente lo requieren, es decir, las ondas electromagnéticas pueden propagarse también en el vacío. En la práctica, las ondas mecánicas se aplican en gran diversidad de sistemas acústicos o sonoros. Las ondas electromagnéticas por su parte, se aplican en una muy amplia gama de sistemas y dispositivos relacionados con las comunicaciones y la electrónica. En este curso se describe y analiza el fenómeno ondulatorio partiendo de las leyes expuestas de la mecánica y del electromagnetismo. Con el propósito de simplificar nuestra exposición nos concentraremos en el estudio de las ondas mecánicas, enfatizando que los principios se extienden a formas de onda electromagnética. CARACTERISTCAS DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO (MO) Se dice que toda modificación del estado de equilibrio de un medio se debe a una perturbación denominada onda, la cual se propaga con cierta rapidéz. Esta rapidéz se conoce como “velocidad de propagación de la onda” Las ondas mecánicas al viajar, las partículas del medio sufren desplazamientos en forma transversal, longitudinal o transversal-longitudinal respecto a la dirección de propagación de la onda. ONDA TRANSVERSAL Una onda es “transversal” cuando al viajar, cada partícula del medio perturbado se mueve perpendicular a la dirección de su propagación de la onda. Un ejemplo ilustrativo es la propagación de una onda en forma de pulso generada al sacudir una vez una cuerda larga y extendida en uno d sus extremos. Ver figura 1.
- 2. Conforme avanza la onda en forma de pulso transversal, cada partícula de la cuerda (medio) se mueve perpendicularmente respecto a la propagación de la onda, regresando a su posición de equilibrio. ONDA LONGITUDINAL Una onda es “longitudinal” cuando al viajar cada partícula del medio se mueve paralela o longitudinalmente a la dirección de la onda. Un ejemplo es la propagación de una onda en forma de pulso longitudinal en un muelle o resorte flexible. Conforme avanza la onda en forma de pulso longitudinal, cada espira (partícula) del muelle se mueve paralelamente a la propagación de la onda, regresando a su posición de equilibrio. ONDA TRANSVERSAL-LONGITUDINAL En este tipo de onda los desplazamientos de las partículas perturbadas del medio se mueven perpendicular y paralelamente respecto a la dirección de propagación de la onda. Conforme pasa la onda, cada partícula de la superficie de agua se mueve en un círculo, regresando a su posición de equilibrio.
- 3. DESCRIPCION MATEMATICA DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO La función de Onda Viajera. Supóngase una forma de onda transversal como la que se forma al perturbar una cuerda larga y extendida. Al paso de la onda cada partícula de la cuerda (el medio) se mueve verticalmente en un desplazamiento 𝑦. Ver figura 4. Cualquier onda al propagarse varía en el tiempo y en el espacio, pero cuando todavía no se ha propagado; en 𝑡 = 0, la forma de onda solo es función del espacio y se expresa por: 𝑦( 𝑥, 𝑡) = 𝑦( 𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) En el tiempo 𝑡 el pulso, sin deformarse ha recorrido una distancia 𝑎 = 𝑣𝑡. Por lo tanto, en 𝑡 = 0 una partícula P del pulso está en la posición x0 respecto al origen 𝑂. En forma equivalente, en el tiempo 𝑡 una partícula del pulso estará en la posición 𝑥′, respecto al origen 𝑂′; de tal modo que la posición del punto P respecto a 𝑂 será: 𝑥 = 𝑎 + 𝑥′ = 𝑣𝑡 + 𝑥′ ∴ 𝑥′ = 𝑥 − 𝑣𝑡 Así que, la misma forma de onda en cualquier instante 𝑡, viajando en dirección +𝑥, se expresa por la ecuación: 𝑦( 𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥′ ) 𝑦( 𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡) (1) Si la onda se desplaza en dirección opuesta (−𝑥) de propagación de la onda es (−𝑣) y: 𝑦( 𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥 − (−𝑣) 𝑡) 𝑦( 𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥 + 𝑣𝑡) (2)
- 4. Ejercicio 1 En 𝑡 = 0 un pulso de onda transversal en una cuerda se describe por la función 𝑦 = 10 𝑥2+5 , donde 𝑥, 𝑦 están dados en cm. Determinar la función 𝑦(𝑥, 𝑡) que describe esta onda cuando está viajando en dirección +𝑥 con velocidad 2 m/S. 𝐸𝑛 𝑡 = 0 𝑦( 𝑥, 0) = 10 𝑥2 + 5 𝑐𝑚 En un instante 𝑡 𝑣 = 2 𝑚 𝑠 𝑥′ = 𝑥 − 𝑣𝑡 = 𝑥 − 2𝑡 𝑦( 𝑥, 𝑡) = 𝑓( 𝑥′) ∴ 𝑦( 𝑥, 𝑡) = 10 (𝑥′)2 + 5 = 10𝑥10−2 (𝑥 − 2𝑡)2 + 5 𝑚 𝑦( 𝑥, 𝑡) = 10−1 ( 𝑥 − 2𝑡)2 + 5 𝑚 SIMILITUDES Y DIFERENCIAS ENTRE EL MOVIMIENTO ONDULATORIO Y EL MOVIMIENTO OSCILATORIO Supóngase ahora que se agita periódicamente un extremo de una cuerda muy extensa provocando un tren de ondas en forma de pulsos. El efecto sobre un elemento de la cuerda al paso de la onda será un movimiento oscilatorio perpendicular a la propagación, la oscilación se representa por la función de tiempo 𝑦 = 𝑓(𝑡). La onda se expresa por la función del tiempo del espacio dada por: 𝑦( 𝑥, 𝑡) = 𝑓( 𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡). Al graficar, cada función, se observa que las similitudes entre ambos movimientos son solo su amplitud y periodicidad, ya que el movimiento de cada elemento de la cuerda queda confinada a un desplazamiento oscilatorio vertical y el movimiento
- 5. de la onda se desplaza, sin que se presente desplazamiento horizontal, de los elementos del medio (cuerda) a lo largo de la propagación de la onda. FUNCION DE ONDA ARMONICA COMO MODELO DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO Y SUS ELEMENTOS AMPLITUD, N° DE ONDA Y FRECUENCIA ANGULAR. Un caso especial de mucha aplicación en la práctica se presenta cuando la función de onda 𝑦( 𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡) es una función armónica (senoidal o cosenoidal) dada por: 𝑦( 𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝑘(𝑥 − 𝑣𝑡) (3) Donde A es la amplitud de la onda y se ha introducido el factor “k” que determina las unidades apropiadas del argumento de la función senoidal. Este factor está asociado al período longitudinal denominado “longitud de onda” λ de la siguiente forma: 𝑘 = 2𝜋 𝜆 𝑚−1 (4) O bien: 𝜆 = 2𝜋 𝑘 𝑚 (5) Toda onda armónica cumple con la propiedad de “periodicidad”, esto es, cada periodo longitudinal λ (o periodo temporal T) se repite la onda. Por lo tanto, la onda senoidal satisface la igualdad: 𝑦( 𝑥 + 𝜆, 𝑡) = 𝑦(𝑥, 𝑡) (6) 𝑦( 𝑥 + 𝜆, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝑘(𝑥 + 𝜆 − 𝑣𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝑘 (𝑥 + 2𝜋 𝑘 − 𝑣𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛[𝑘( 𝑥 − 𝑣𝑡) + 2𝜋] = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝑘(𝑥 − 𝑣𝑡) ∴ 𝑦( 𝑥 + 𝜆, 𝑡) = 𝑦(𝑥, 𝑡) Esta igualdad también se satisface para cualquier múltiplo de λ, esto es:
- 6. 𝑦( 𝑥 + 𝑛𝜆, 𝑡) = 𝑦(𝑥, 𝑡) (7) El factor 𝑘 se denomina “número de onda” y representa el número de longitudes de onda que hay en 2π rad, por lo tanto, la ecuación (3) representa una onda senoidal de longitud de onda λque se propaga en dirección +x con una velocidad de propagación 𝑣. Esta expresión también se escribe como: 𝑦( 𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝑘𝑣𝑡) 𝑦( 𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝑤𝑡) (8) Donde la frecuencia angular y la velocidad de propagación de la onda se expresa de la siguiente forma: 𝜔 = 𝑘𝑣 = 2𝜋𝑣 𝜆 𝑟𝑎𝑑 𝑠𝑒𝑔 (9) Como 𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋𝑣 𝜆 y 𝑓 = 1 𝑇 𝐻𝑧 𝑣 = 𝜆𝑓 𝑚 𝑠 (10) 𝑣 = 𝜆 𝑇 𝑚 𝑠 (11) Las ecuaciones (3) y (8) también se pueden escribir de la siguiente forma: 𝑦( 𝑥, 𝑡) 𝐴𝑠𝑒𝑛𝑘( 𝑥 − 𝑣𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛 2𝜋 𝜆 (𝑥 − 𝜆𝑓𝑡) 𝑦( 𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛2𝜋 ( 𝑥 𝜆 − 𝑡 𝑇 ) (12) Donde 𝑇 es el periodo temporal de la onda. Las expresiones (3), (8) y (2) son las formas alternas de representar una función de onda senoidal. Las expresiones ara una onda senoidal que se propaga en dirección −𝑥 son: 𝑦( 𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝑘(𝑥 + 𝑣𝑡) 𝑦( 𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 + 𝜔𝑡) 𝑦( 𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛2𝜋 ( 𝑥 𝜆 + 𝑡 𝑇 ) (13) Las ecuaciones (9), (10) y (11) muestran la relación entre los parámetros longitud de onda λ, frecuencia 𝑓 y la velocidad de propagación 𝑣.
- 7. DIFERENCIA ENTRE LAS ONDAS MECANICAS Y LAS ONDAS ELECTROMAGNETICAS. Las ondas electromagnéticas como las ondas de luz, de radio, de rayos x, gamma, microondas, etc., a diferencia de las ondas mecánicas, no requieren un medio para su propagación, viajan a través del vacío con una velocidad 𝑐 ≈ 3𝑥108 𝑚 𝑠 . La función de onda es un campo eléctrico 𝐸(𝑥, 𝑡) asociado con la onda. Cuando se deduce la ecuación de onda, ésta resulta similar a las ondas mecánicas transversales, es decir el campo eléctrico es perpendicular a la dirección de propagación, de modo que las ondas electromagnéticas son ondas transversales. La función de onda se puede expresar por: 𝐸( 𝑥, 𝑡) = 𝐸0(𝑥 ± 𝑣𝑡) Y su ecuación de onda por: 𝜕2 𝐸 𝜕𝑥2 = 1 𝐶2 𝜕2 𝐸 𝜕𝑡2 Donde para el vacío: 𝐶 = 1 √ 𝜇0 𝜀0 Y para un medio diferente al vacío: 𝑣 = 1 √ 𝜇𝜀 Ejercicio 2 Un diapasón oscila con una frecuencia 𝑓 = 440 𝐻𝑧. Si la velocidad del sonido es 𝑣 = 340 𝑚 𝑠 , hallar, la longitud de onda y el número de onda del sonido. Escribir las expresiones que representan a la onda. 𝑓 = 440 𝐻𝑧 𝑣 = 340 𝑚 𝑠 𝑣 = 𝜆𝑓 ∴ 𝜆 = 𝑣 𝑓 = 340 𝑚 𝑠 440 𝑠−1 = 0.772 𝑚 𝑘 = 2𝜋 𝜆 = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 340 440 𝑚 = 880 340 𝜋 = 8.14 𝑟𝑎𝑑 𝑚
- 8. 𝑦 = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝑘( 𝑥 − 𝑣𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛( 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋(440) 𝑦 = 𝐴𝑠𝑒𝑛(8.14𝑥 − 880𝜋𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛(8.14𝑥 − 2.77𝑥103 𝑡) 𝑦 = 𝐴𝑠𝑒𝑛2𝜋 ( 𝑥 𝜆 − 𝑡 𝑇 ) = 𝐴𝑠𝑒𝑛2𝜋 ( 𝑥 340 440 − 𝑡 1 440 ) 𝑦 = 𝐴𝑠𝑒𝑛(8.13𝑥 − 2.77𝑥103 𝑡) Ejercicio 3 La luz se propaga en el vacío con velocidad 3𝑥108 𝑚 𝑠 . Encontrar la longitud de onda y el número de onda correspondiente a una frecuencia de 5𝑥1014 𝐻𝑧, que es la de la luz en la región roja del espectro visible. Expresar una ecuación que represente esta onda. 𝑣 = 3𝑥108 𝑚 𝑠 𝑓 = 5𝑥1014 𝐻𝑧 𝜆 = 𝑣 𝑓 = 3𝑥108 5𝑥1014 𝑚 𝑠 𝑠−1 = 6𝑥10−7 𝑚 𝑘 = 2𝜋 𝜆 = 2𝜋 6𝑥10−7 = 1.05𝑥107 𝑟𝑎𝑑 𝑚 𝑦 = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝑘( 𝑥 − 𝑣𝑡) = 𝐴𝑠𝑒𝑛 1.05𝑥107 (𝑥 − 3𝑥108 𝑡) 𝑦 = 𝐴𝑠𝑒𝑛(1.05𝑥107 𝑥 − 3.15𝑥1015 𝑡) 𝑚 Ejercicio 4 A medida que una onda dada por 𝑦( 𝑥, 𝑡) = 0.65𝑠𝑒𝑛(40.3𝑥 − 785.85𝑡) pasa a través de una cuerda, las partículas, de ésta se mueven hacia abajo y hacia arriba en un ángulo recto a la dirección del movimiento ondulatorio: a) encuentre las expresiones para la velocidad y la aceleración de una partícula situada en x1=0.245 m b) evalué el desplazamiento transversal, la velocidad y la aceleración de cada partícula cuando t=15 ms. 𝑦( 𝑥, 𝑡) = 0.65𝑠𝑒𝑛(40.3𝑥 − 785.85𝑡) 𝜔 = 785.85 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝑘 = 40.3 𝑚−1 a) 𝑣 𝑦( 𝑡) = −𝜔𝐴𝑐𝑜𝑠( 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) = −(785.85)(0.65 ) 𝑐𝑜𝑠[40.3(0.245)− 785.85𝑡] 𝑐𝑚 𝑠
- 9. 𝑣 𝑦( 𝑡) = (510.51 𝑐𝑚 𝑠 ) 𝑐𝑜𝑠 [9.87𝑟𝑎𝑑 − (785.4 𝑟𝑎𝑑 𝑠 ) 𝑡] 𝑣 𝑦( 𝑡) = −5.1051cos[9.87 𝑟𝑎𝑑 − (785.4 𝑟𝑎𝑑 𝑠 ) 𝑡] 𝑚 𝑠 𝑎 𝑦( 𝑡) = −𝐴𝜔2 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 𝑎 𝑦( 𝑡) = −0.65(785.85)2 𝑠𝑒𝑛[9.87 𝑟𝑎𝑑 − (785.4 𝑟𝑎𝑑 𝑠 ) 𝑡] 𝑐𝑚 𝑠2 𝑎 𝑦( 𝑡) = −4.01𝑠𝑒𝑛 [9.87 𝑟𝑎𝑑 − (785.4 𝑟𝑎𝑑 𝑠 ) 𝑡] 𝑚 𝑠2 b) En 𝑡 = 15𝑥10−3 𝑠 𝑦 = 0.65𝑠𝑒𝑛(40.3𝑥0.245− 785.85𝑡) = 0.65𝑠𝑒𝑛(9.8735 − 250𝜋𝑥15𝑥10−3) = 0.65𝑠𝑒𝑛(−109.290121°) 𝑦 = −0.614 𝑐𝑚 𝑣 𝑦 = −5.1051 cos(−109.290121°) = 1.6865 𝑚 𝑠 𝑎 𝑦 = −4.01𝑠𝑒𝑛(109.290121°) = 3.785 𝑚 𝑠2