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DINÁMICA DE
FLUIDOS
TEMA III
Mgr. Iván Ruiz U.

DINÁMICA DE FLUIDOS
La dinámica de fluidos estudia el
movimiento de líquidos y gases.
El movimiento de un fluido, se debe a
la diferencia de presiones que existe
entre dos regiones y/ó a la acción de la
fuerza gravitatoria.
I. Ruiz
En el punto de vista de Lagrange, se
considera diferenciales de masa dm, a
los cuales se aplica la Segunda Ley de
Newton y así determinar su velocidad
y posición en función del tiempo.
El punto de vista de Lagrange no es viable, por cuanto, un
fluido tiene un número muy grande de partículas (1023
moléculas) y su cálculo se hace extremadamente pesado.

DINÁMICA DE FLUIDOS
El punto de vista de Euler:
No considera la historia temporal del
movimiento de las partículas.
Asocia a cada punto del espacio (x,y,z)
en el tiempo t, una magnitud física
dinámica que caracteriza el movimiento
del fluido tales como: densidad , presión
y velocidad, es decir, se especifica los
campos escalares de la densidad, presión
y el campo vectorial velocidad:
I. Ruiz
( , , , )
x y z t
 
=
( , , , )
P P x y z t
=
( , , , )
v v x y z t
=

FLUJO ESTACIONARIO Y NO ESTACIONARIO
Un flujo es estacionario, si los parámetros que describen el
movimiento de los fluidos, presión, densidad y velocidad, no
dependen del tiempo, pero pueden cambiar de un punto a
otro, es decir:
I. Ruiz
( , , )
x y z
 
= ( , , )
P P x y z
= ( , , )
v v x y z
=
Para que un flujo sea estacionario, el fluido debe moverse
con velocidades relativamente pequeñas.
El flujo es no estacionario, si la presión, densidad y
velocidad, además de cambiar con la posición cambian
también con el tiempo, es decir:
( , , , )
x y z t
 
= ( , , , )
P P x y z t
= ( , , , )
v v x y z t
=

FLUJO VISCOSO Y NO VISCOSO
El flujo viscoso, considera las fuerzas de
fricción interna dentro de los fluidos,
perdiendo parte de su energía cinética, que
se transforma en energía térmica.
Las fuerzas de fricción actúan entre las
superficies de capas del fluido, las cuales
desplazan una respecto de la otra.
En un flujo viscoso, la magnitud de la
velocidad varia en todos los puntos de cada
sección transversal.
I. Ruiz
En un flujo no viscoso, se desprecian las fuerzas de fricción
interna entre capas del fluido.
En flujo No Viscoso, la magnitud de la velocidad se mantiene
constante en todos los puntos de cada sección transversal.

FLUJO ROTACIONAL Y NO ROTACIONAL
En un flujo rotacional, los diferenciales
de elemento de fluido dm se trasladan y
rotan a la vez.
En este caso, la energía cinética de cada
diferencial de fluido, es la suma de la
energía cinética de traslación más la
energía cinética de rotación.
En un flujo no rotacional los
diferenciales se elemento solo se
trasladan, teniendo solo energía cinética
de traslación.
I. Ruiz

FLUJO INCOMPRESIBLE Y COMPRESIBLE
Un flujo es incompresible, si la densidad del fluido en
movimiento se mantiene constante, por ejemplo, los
líquidos.
Un flujo es compresible, si la densidad del fluido varía en
diferentes puntos del fluido en movimiento, por ejemplo el
movimiento de los gases.
Si la variación de la densidad de un gas en movimiento es
muy pequeña, entonces se puede considerar como flujo
incompresible.
I. Ruiz

LÍNEAS DE CORRIENTE
Una línea de corriente, es una línea curva
orientada e imaginaria que representa la
trayectoria que sigue una partícula de un
fluido en movimiento.
Tienen las siguientes características:
i) La velocidad de una partícula del fluido
es tangente a la línea de corriente.
ii) En un régimen estacionario, las líneas
de corriente no se cruzan entre sí.
iii) La magnitud de la velocidad es
proporcional a la densidad de líneas de
corriente.
I. Ruiz

TUBO DE CORRIENTE
Es un conjunto de líneas de corriente
que limitan una región parcial o total
de un fluido en movimiento.
Considerando que las líneas de
corriente marcan el camino seguido
por las partículas que componen el
fluido, las partículas del fluido no
pueden moverse hacia dentro ó fuera
de los lados laterales del tubo de
corriente.
I. Ruiz

FLUJO DE MASA
Es la magnitud física escalar que
mide la cantidad de masa de fluido
que pasa por una sección transversal
de un tubo en la unidad de tiempo:
I. Ruiz
m
dm
dt
 =
La unidad del flujo de masa en el
sistema internacional es Kg/s.
Considerando un flujo estacionario, no viscoso y no
rotacional, el diferencial de fluido contenido en el cilindro de
área A y altura dx, tiene una masa dada por:
dm dV Adx
 
= =

FLUJO DE MASA
Como este diferencial de masa dm
pasa por la sección transversal A en el
intervalo de tiempo dt, el flujo de
masa esta dado por:
I. Ruiz
m
dm Adx
dt dt

 = =
Como la velocidad del fluido se
puede expresar como
El flujo de masa esta también dado por la expresión:
d x
v
dt
=
m Av
 
=

FLUJO DE VOLUMEN Ó CAUDAL
Es la magnitud física escalar que
mide la cantidad de volumen de
fluido que pasa por una sección
transversal de un tubo en la unidad de
tiempo:
I. Ruiz
V
dV
dt
 =
La unidad del flujo de volumen en el
sistema internacional es m3/s.
El flujo de masa esta también dado por la expresión:
V
dV Adx
dt dt
 = = V Av
 =

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
Expresa el teorema de conservación de la
masa para el movimiento de un fluido.
“Considerando el movimiento de un fluido
en un tubo donde no existe fuentes ni
sumideros, entonces, la cantidad de masa
de fluido que entra por una sección
transversal es igual a la misma cantidad
de masa de fluido que sale por otra
sección transversal en la unidad de tiempo
y de manera simultánea”.
I. Ruiz
Es decir: el flujo de masa que entra por la sección transversal
A1 es igual al flujo de masa que sale por la sección
transversal A2:
1 2
m m
 
= 1 1 1 2 2 2
A v A v
 
=

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
Si el fluido es incompresible, la densidad se mantiene
constante, y el teorema de conservación de la masa para el
movimiento de fluidos se reduce a la expresión:
I. Ruiz
Esta ecuación permite concluir que:
“La velocidad del fluido es mayor en regiones donde la
sección transversal es pequeña comparado con regiones
donde su secciones transversal es mayor”.
1 1 2 2
A v A v
=
1 2
V V
 
=

ECUACIÓN DE BERNOULLI
Expresa el teorema de conservación de la energía por unidad
de volumen, para un fluido en movimiento estacionario, no
viscoso, no rotacional e incompresible.
La ecuación de Bernoulli se deduce a partir del teorema de
trabajo y energía cinética dada por la ecuación:
I. Ruiz
2
2 1
1 K K
W F dr E E
=  = −

Expresado en forma diferencial:
2 1
K K
dW F dr dE dE
=  = −
Se considera el movimiento de un fluido dentro de un tubo
cuya sección transversal cambia a lo largo de su longitud,
debido a la acción de la fuerza gravitatoria (peso) y la fuerza
por diferencia de presiones entre dos secciones transversales
del tubo, que realizan un trabajo mecánico sobre cada
diferencial de masa dm del fluido.

En la sección transversal de área A1
actúa la fuerza P1A1, cuyo trabajo
mecánico sobre el diferencial de
fluido dm, es:
I. Ruiz
1 1 1 1
dW P A dl
=
En la sección transversal de área A2
actúa la fuerza P2A2, cuyo trabajo
mecánico sobre el diferencial de
fluido dm, es:
2 2 2 2
dW P A dl
= −
La fuerza de gravedad realiza un
trabajo mecánico sobre le diferencial
de fluido dm, para llevarlo desde la
región 1 hasta la región 2, esta dado
por:
3 1 2
dW dW dr dm g z dm g z
=  = −

El trabajo mecánico total sobre el diferencial de fluido dm
para llevar de la región 1 a la región 2, esta dada por:
I. Ruiz
Aplicando el teorema de trabajo y energía cinética, se tiene:
1 2 3 1 1 1 2 2 2 1 2
dW dW dW dW P A dl P A dl dm g z dm g z
= + + = − + −
2 2
2 1 2 1
1 1
2 2
K K
dW dE dE dmv dmv
= − = −
Por la ecuación de la continuidad se tiene:
Dividiendo entre el diferencial de volumen dV se tiene:
1 1 2 2
A dl A dl dV
= =
2 2
1 2 1 2 2 1
1 1
2 2
dm dm dm dm
P P g z g z v v
dV dV dV dV
− + − = −
Aplicando la definición de densidad y reordenando términos,
la ecuación de Bernoulli esta dada por:
2 2
1 1 1 2 2 2
1 1
2 2
P g z v P g z v
   
+ + = + +
2
1 const
2
P g z v
 
+ + =

APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI
Tubo de Venturi
Es un dispositivo que permite medir la
velocidad de un fluido que se mueve en
alguna tubería.
I. Ruiz
Aplicando la ecuación de Bernoulli y la ecuación de la
continuidad a los puntos 1 y 2, se obtiene:
2 2
1 1 2 2
1 1
2 2
P v P v
 
+ = +
1 1 2 2
A v A v
=
Eliminando v2 de ambas
ecuaciones, se obtiene:
( )
2
2
1
1 2 1
2
2
1 1
2
A
P P v
A

 
− = −
 
 
Considerando el manómetro en U del tubo de Venturi:
1 1 2 1
( ) '
P y g P g y h g h
  
+ = + − + 1 2 ( ' )
P P g h  
− = −
Igualando las diferencias de presión, la velocidad del fluido en el
tubo esta dada por la relación:
( )
1 2
2 2
1 2
2 ( ' )
g h
v A
A A
 

−
=
−

Fuerza de Sustentación
Es la fuerza ascensional que actúa sobre el ala de un avión,
aspas de un helicóptero, pelota de fútbol, etc.
Considerando el ala de un avión en dirección horizontal:
i) En la superficie superior, la velocidad aumenta y
disminuye la presión .
ii) En la superficie inferior, la velocidad es menor y la
presión es mayor.
I. Ruiz
Esta diferencia de presiones
establece una fuerza de
sustentación neta F en dirección
vertical hacia arriba.

Aplicando la ecuación de Bernoulli
a los puntos 1 y 2, se obtiene:
I. Ruiz
2 2
1 1 1 2 2 2
1 1
2 2
P g z v P g z v
   
+ + = + +
Si el espesor del ala es muy pequeño,
z1  z2, la diferencia de presiones
esta dada por:
( ) ( )
2 2
1 2 2 1
1
2
P P v v

− = −
Si el área del ala es A, la fuerza de sustentación esta dada
por:
( ) ( )
2 2
1 2 2 1
1
2
F P P A v v A

= − = −

Atomizador
Está formado por un tubo horizontal
que lleva una constricción, acoplado a
un tubo vertical que se comunica con
un recipiente con algún líquido.
I. Ruiz
Por el tubo horizontal se deja pasar aire, en la constricción
aumenta su velocidad y disminuye su presión, permitiendo el
ascenso del liquido a través del tubo vertical, este liquido se
mezcla con el aire que fluye en el tubo horizontal
dispersándose en un fino rocío de gotas.
Este sistema se utiliza en botellas de perfumes, pistolas de
pintar, y en el carburador de un motor a gasolina, que mezcla
aire con gasolina, la cual entra a los cilindros de explosión.

VISCOSIDAD
Es la propiedad de los fluidos que establece la fuerza de
fricción interna que experimentan los fluidos en movimiento.
I. Ruiz
En los líquidos, la viscosidad se debe a
las fuerzas de cohesión entre las
moléculas.
En los gases, la viscosidad se debe a las
colisiones entre moléculas.
La viscosidad está cuantificada por el coeficiente de
viscosidad .
Se considera cierta cantidad de fluido contenido entre dos
placas planas paralelas, la placa P1 se halla en reposo y la
placa P2 se mueve con velocidad por la acción de la fuerza
El fluido que está en contacto con las placas se adhieren a ellas
v F

VISCOSIDAD
I. Ruiz
P1 esta en reposo.
P2, tiene la velocidad
Las capas, tienen velocidades que
varían desde cero hasta
Experimentalmente se encuentra que:
“La magnitud de la fuerza F es proporcional a la velocidad ,
al área A de la placa e inversamente proporcional a la distancia
de separación entre placas”.
v
v
El fluido que está en contacto con las placas se adhieren a
ellas, por tanto, el fluido en contacto con:
v
Av
F
l

Av
F
l

=
La unidad en el S.I. es el decapoise (dP), definida por:
1dP=1Pa s
F v
A l

=

VISCOSIDAD
I. Ruiz
La relación F/A se la llama esfuerzo de corte, que se
transmite íntegramente a todas las capas de fluido, desde la
placa P2 hasta la placa P1 , debido a la viscosidad del fluido.
Considerando el movimiento del
fluido por capas de espesor dz, cuyas
velocidades de dos capas adyacente
están dadas por y
Aplicando la ecuación de la viscosidad a dos capas
consecutivas se obtiene:
v v dv
+
( )
v dv v
F
A dz

+ −
= F dv
A dz

=
La magnitud se llama gradiente de la velocidad.
dv
d z

DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES EN UN FLUJO VISCOSO
I. Ruiz
Se considera un flujo viscoso en un tubo cilíndrico horizontal
de radio R y longitud L, por la acción de una diferencia de
presiones P2-P1.
Se considera el movimiento de una capa de fluido de radio
interno r, espesor dr y longitud L, que se desplaza sobre un
fluido en forma cilíndrica maciza de radio r y longitud L.
2
F dv
r L dr


=
F dv
A dz

=
La fuerza de fricción F que experimenta el diferencial de fluido
por acción del cilindro macizo de radio r, es igual en magnitud
pero de signo contrario al que experimenta el cilindro macizo por
la acción del diferencial de capa, es decir:
Aplicando la ecuación de la viscosidad a
la capa de fluido cilíndrica, se tiene:
2
1 2
( )
F P P r

= − −

DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES EN UN FLUJO VISCOSO
I. Ruiz
Sustituyendo en la anterior ecuación y reordenando términos
se obtiene:
2
F dv
r L dr


=
Resolviendo la integral, la distribución de velocidades en función
de la distancia radial r está dada por:
Integrando bajo la condición de frontera: para r=R, v=0 y
para alguna distancia radial r la velocidad es v, se obtiene:
2
1 2
( )
2
P P r dv
r L dr



− −
= 1 2
( )
2
P P r dr
dv
L

−
− =
1 2
0
( )
2
r v
r R v
P P
r dr dv
L
 = =
−
− =
 
2 2
1 2
( )
( )
4
P P
v R r
L

−
= −
La máxima velocidad se da en el eje del tubo,
r=0, dada por: 2
1 2
0
( )
4
P P R
v
L

−
=

ECUACIÓN DE POISEVILLE
I. Ruiz
Establece el flujo de masa para un flujo viscoso:
Se calcula el diferencial de masa en un diferencial de fluido
cilindro hueco, en cuya sección transversal, la velocidad se
mantiene constante, obteniéndose:
Integrando sobre todo el área
transversal:
2 2
1 2
( )
( )2
4
m
P P
d vdA R r r dr
L

  

−
= = −
2 2
1 2
0
( )
( )
2
R
m
r
P P
R r r dr
L
 

 =
−
= −

Resolviendo esta integral, el flujo de masa total esta dada por:
4
1 2
( )
8
m
P P R
L
 


−
=
Llamada ecuación de Poiseuille.

FLUJO TURBULENTO
I. Ruiz
Un flujo es turbulento, si las trayectorias
que siguen las partículas son
desordenadas o caóticas, formando
pequeños remolinos.
Ejemplo: el humo de un cigarrillo, rio caudaloso con piedras
como obstáculos, estela del aire por el movimiento de un avión.
Un flujo es laminar, si el movimiento de las partículas es
perfectamente ordenado, siguiendo trayectorias bien definidas.
Este movimiento se modela como un movimiento por capas.
Un flujo puede ser laminar o turbulento,
dependiendo de: la rapidez del fluido,
del coeficiente de viscosidad, densidad
del fluido y de una longitud
característica de donde se mueve.

FLUJO TURBULENTO
I. Ruiz
Considerando el movimiento de un fluido a través de un tubo
de diámetro D, viscosidad , densidad , caracterizada por
una velocidad crítica vc, que caracteriza al tipo de flujo.
Si la velocidad del fluido v > vc, el flujo es turbulento.
Si la velocidad del fluido v < vc, el flujo es laminar.
vc es la velocidad promedio en la sección transversal del tubo.
Experimentalmente se encuentra
que: la velocidad crítica vc depende
de ,  y D, es decir:
a b c
c
v D
 

Aplicando la técnica del análisis dimensional, se tiene:
       
a b c
c
v D
 
= ( ) ( )
3
b
a
c
L M M L
T LT L
=

FLUJO TURBULENTO
I. Ruiz
Igualando los exponentes de cada factor se obtiene:
Introduciendo la constante adimensional R, Número de
Reynolds, la velocidad crítica está dada por:
b
a +
=
0 a
b
c −
−
= 3
1 a
−
=
−1
Resolviendo este sistema de ecuaciones, se obtiene:
1
=
a 1
−
=
b 1
−
=
c
Por tanto, la velocidad crítica esta dada por:
c
v
D



c
v R
D


= c
v D
R


=
Si R > 2000 el flujo es del tipo turbulento.
Si R < 2000 el flujo es laminar.

CUERPOS EN MOVIMIENTO DENTRO DE UN FLUIDO
I. Ruiz
Un cuerpo que se mueve dentro de un fluido, por ejemplo: un
avión en el aire, un submarino en el mar, experimentan una
fuerza de resistencia que se opone a su movimiento.
La fuerza de resistencia depende de: la viscosidad del fluido,
la velocidad del cuerpo, la forma geométrica del cuerpo en
movimiento, y del tipo de régimen laminar o turbulento.
En analogía al caso anterior, el número de Reynolds para el
movimiento de un objeto dentro de un fluido se define por la
expresión:
Si Re < 1 el flujo que le rodea al objeto es laminar.
Si Re > 1 el flujo que le rodea al objeto es turbulento.
e
v L
R


=

CUERPOS EN MOVIMIENTO DENTRO DE UN FLUIDO
I. Ruiz
Experimentalmente se encuentra que:
“Considerando un objeto en movimiento dentro de un fluido
bajo el régimen laminar, la magnitud de la fuerza de
resistencia que experimenta el objeto es directamente
proporcional a su velocidad”.
Es decir:
k, depende del tamaño y forma geométrica del cuerpo y del
coeficiente de viscosidad del fluido.
Si el cuerpo es una esfera de radio r, la constante k esta dada:
F k v
=
6
k r
 
=
Para el flujo turbulento, la magnitud de la fuerza de
resistencia es proporcional a la velocidad elevada a
potencias mayores que uno.

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