Aplicar procesos de recursión en matemáticas
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El documento presenta información sobre sucesiones y ecuaciones de recurrencia. Explica que una sucesión cumple una relación de recurrencia cuando su término general depende de términos anteriores. La sucesión de Fibonacci sigue la ecuación Fn=Fn-1+Fn-2 y modela la reproducción de conejos. Resolver una ecuación de recurrencia implica hallar una expresión donde el término solo dependa de su posición y no de términos previos.
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- 1. “Para aprender matemática lo mismo es esencial la razón como el corazón”. B.T.V. ESTUDIANTE: …………………………… QUE APRENDERÉ FECHA:………………… A aplicar procesos de recursión es un conjunto de situaciones matemáticas o reales planteadas, con perseverancia y rigor en el uso de los símbolos y procesos, haciendo aportes y respetando a sus compañeros y sus ideas. QUE NECESITO PARA LOGRARLO a) Calcula: 8+2x3=….. 3-24:8+1=…… d) ¿Qué número sigue: 2, 5, 10, 17,…. b) Si A=5n2-n+1, calcula A cuando n=3. c) Si f(n)=4-2n, halla f(0)-f(2). SITUACIÓN PROBLEMÁTICA (Adecuado de PISA-preguntas liberadas) Roberto construye un esquema de una escalera usando cuadrados. Estas son las etapas que sigue: Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Como se puede ver, utiliza un cuadrado para el Nivel 1, Una sucesión es una tres cuadrados para el Nivel 2, y seis para el Nivel 3. función f: NA. Para indicar la imagen en el ¿Cuántos cuadrados en total deberá usar para construir conjunto A de n, esto es hasta el décimo nivel? f(n), se emplea el ANALICEMOS símbolo an. i) ¿Cuántos cuadrados se utilizarán en el Nivel Una sucesión suele 4:……., en el Nivel 5:……..? denotarse por a1, a2, ii) ¿Crees que existe una relación entre las Etapas y a3,…, o por {an}. A los el número de cuadrados empleados para construir elementos a1, a2, a3, …se la escalera? les llama términos de la iii) ¿Cómo se expresará esa relación, si lo hubiera? sucesión. Descúbrela.
- 2. LECTURA N° 12 Buscando regularidades Un modelo de cunicultura Fibonacci introdujo la sucesión que lleva su nombre como modelo para la reproducción de conejos. Partía Fibonacci de ciertas hipótesis, a saber: (a) los conejos viven eternamente; (b) cada mes, un par de adultos de distinto sexo da lugar a un nuevo par de conejos de distinto sexo; y (c) cada conejo se hace adulto a los dos meses de vida, momento en el que comienza a tener descendencia. Designemos por F n el número de pares de conejos al final del mes n. partimos de un par de conejos que nacen en el primer mes; esto es F1=1. Al cabo de un mes seguiremos teniendo una pareja de conejos, todavía no adultos: F2=1. En el tercer mes ya tenemos una pareja de adultos, que da lugar a una pareja de recién nacidos: F 3=2. En el cuarto mes seguiremos teniendo una pareja de adultos, que tendrá descendencia. Y la pareja nacida en el mes anterior tendrá ahora un mes. En total, habrá tres parejas de conejos: F4=3. Y así sucesivamente. Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Parejas de adultos 0 0 1 1 2 3 5 Completa la tabla Parejas con un mes de edad 0 1 0 1 1 2 3 Parejas de recién nacidos 1 0 1 1 2 3 5 Número total de parejas, Fn 1 1 2 3 5 8 13 La tabla recoge las distintas poblaciones al comienzo de cada mes. Observa que el número de parejas en el mes n es la suma del número de parejas en el mes n-1 más las parejas que nacen en el propio mes n. De éstas hay tantas como parejas adultas hubiera en el mes n. y a su vez, tantas como parejas en el mes n-2 (pues se tardan dos meses en ser adulto). En total, para n3, Fn=Fn-1+Fn-2 ecuación de Fibonacci Una expresión de este tipo, en que el término general de la sucesión se escribe en función de algunos términos anteriores, recibe el nombre de relación de recurrencia, ecuación de recurrencia o ecuación de diferencias. En este tipo de sucesiones, para obtener un término concreto, debemos ir obteniendo todos los anteriores, lo cual no siempre es práctico. ¿Cuál es el término T50 de la sucesión de Fibonacci? Encontrar una solución a la ecuación de recurrencia es determinar una expresión de tipo an=f(n) en la que el término general sólo dependa de la posición que ocupa y no de los anteriores. Para que la solución sea única es necesario conocer algunos términos de la sucesión, lo que llamaremos condiciones iniciales. En el caso anterior F 1=1, F2=1.
- 3. Las apariencias engañan Las sucesiones: 2, 4, 8, 16,… 6, 12, 24, 48,… satisfacen la misma relación de recurrencia an=2 a n-1, si n1. La condición inicial a0=1 junto con esta relación de recurrencia determinan de forma única la primera. El conjunto {an=2a n-1 si n1, a0=3} define la segunda. Razonamiento simple Para an=3an-1 si n1, a0=5. Determina el término general de la sucesión. Resolución Tenemos: a0=5 a1=3 a0=3x5 a2=3 a1=3(3x5)=32x5 a3=3 a2=3(32x5)=33x5 a4=3 a3=…………………….. …………………………………………. Por lo tanto, el término general es an=3nx5. Según la lectura, responde: a. Cuando el término general de una sucesión está en función de algunos términos anteriores, la sucesión recibe el nombre de…………………………. b. La sucesión de Fibonacci está relacionada con……………………………….. c. En el modelo de la reproducción de conejos de Fibonacci, en el octavo mes habrá………………parejas de conejos, y en el noveno………….parejas. d. La ecuación de Fibonacci significa que…………………………………………. ……………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………….. e. Para hallar la solución de una ecuación de recurrencia debemos inducir la………………………………………o…………………………………………… f. Para la sucesión: 4, 12, 36, 108,……..¿cuál es la relación de recurrencia y las condiciones iniciales? ……………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………….. APLICAMOS EN GRUPO 1. Encuentra la solución general de la ecuación de recurrencia an=6an-1, con n1, a0=13. Resolución
- 4. 2. Resolver an=7.an-1, n1 y a2=98. Resolución 3. Determina la fórmula general para calcular el número de cuadrados que necesita Roberto para construir la escalera hasta el décimo Nivel. Resolución 4. El número de bacterias de un cultivo de laboratorio es de 1 000 unidades. Sabemos que ese número se incrementa en un 250% cada 2 horas. Encontrar una relación de recurrencia para conocer lo que ocurrirá al cabo de un día. Resolución EN RESUMEN Los procesos de recursión nos permiten inferir regularidades entre los términos de una sucesión, originando las relaciones de recurrencia o ecuaciones de recurrencia. La solución general de una ecuación de recurrencia permite calcular un término cualquiera en función del lugar que ocupe y no de la relación que existe entre los términos precedentes. ME AUTOEVALUÓ Encuentra la solución general de an+1=1,5.an si n0, a0=3.
- 5. VISITA E INVESTIGA Ingresa a la siguiente dirección e investiga sobre la sucesión de Fibonacci, el número de oro y su relación con la naturaleza http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/fibonacci- sucesion.html AFIANZO Y COMPLEMENTO EN CASA 1. Determina la fórmula general de la sucesión: 3, 7, 11, 15,… 2. Encuentra una relación de recurrencia, con una condición inicial, que determine de una manera única cada una cada una de las sucesiones: a. 2, 10, 50, 250,…. b. 1, 1/3, 1/9, 1/27,… 3. Resuelve la siguiente ecuación de recurrencia: an=-3an-1, donde a0=2. 4. Encontrar una ecuación de recurrencia con la obtener el número de regiones en la que queda dividido un plano al trazar en él n rectas, de forma que se corten dos a dos y tal que tres rectas no tengan un punto en común. EVALUAMOS NUESTRO TRABAJO Cada uno complete la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, según corresponda. Luego, comparen y comenten sus respuestas. INTEGRANTES Respeté las opiniones de los demás integrantes Cumplí con las tareas que me comprometí Hice aportes interesantes para desarrollar el trabajo 5. Comenten y respondan: ¿en qué podrían mejorar para el próximo trabajo en equipo?
- 6. JUEGO EN LÍNEA Ingresa en, http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/ Juega con dos, tres, cuatro y cinco discos. Determina la relación entre el mínimo número de movimientos y el número de discos, y halla la fórmula general. COMENTARIO DEL PROFESOR ------------------------ FIRMA DEL PADRE DNI N° ……………….