El documento presenta información sobre sucesiones y ecuaciones de recurrencia. Explica que una sucesión cumple una relación de recurrencia cuando su término general depende de términos anteriores. La sucesión de Fibonacci sigue la ecuación Fn=Fn-1+Fn-2 y modela la reproducción de conejos. Resolver una ecuación de recurrencia implica hallar una expresión donde el término solo dependa de su posición y no de términos previos.
1. “Para aprender matemática
lo mismo es esencial la
razón como el corazón”.
B.T.V.
ESTUDIANTE: ……………………………
QUE APRENDERÉ FECHA:…………………
A aplicar procesos de recursión es un conjunto de situaciones matemáticas o
reales planteadas, con perseverancia y rigor en el uso de los símbolos y
procesos, haciendo aportes y respetando a sus compañeros y sus ideas.
QUE NECESITO PARA LOGRARLO
a) Calcula: 8+2x3=….. 3-24:8+1=…… d) ¿Qué número sigue: 2, 5, 10, 17,….
b) Si A=5n2-n+1, calcula A cuando n=3.
c) Si f(n)=4-2n, halla f(0)-f(2).
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA (Adecuado de PISA-preguntas
liberadas)
Roberto construye un esquema de una escalera usando
cuadrados. Estas son las etapas que sigue:
Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3
Como se puede ver, utiliza un cuadrado para el Nivel 1, Una sucesión es una
tres cuadrados para el Nivel 2, y seis para el Nivel 3. función f: NA. Para
indicar la imagen en el
¿Cuántos cuadrados en total deberá usar para construir
conjunto A de n, esto es
hasta el décimo nivel?
f(n), se emplea el
ANALICEMOS símbolo an.
i) ¿Cuántos cuadrados se utilizarán en el Nivel Una sucesión suele
4:……., en el Nivel 5:……..? denotarse por a1, a2,
ii) ¿Crees que existe una relación entre las Etapas y a3,…, o por {an}. A los
el número de cuadrados empleados para construir elementos a1, a2, a3, …se
la escalera? les llama términos de la
iii) ¿Cómo se expresará esa relación, si lo hubiera? sucesión.
Descúbrela.
2. LECTURA N° 12 Buscando regularidades
Un modelo de cunicultura
Fibonacci introdujo la sucesión que lleva su nombre como
modelo para la reproducción de conejos. Partía Fibonacci
de ciertas hipótesis, a saber: (a) los conejos viven
eternamente; (b) cada mes, un par de adultos de distinto
sexo da lugar a un nuevo par de conejos de distinto sexo; y
(c) cada conejo se hace adulto a los dos meses de vida,
momento en el que comienza a tener descendencia. Designemos por F n el
número de pares de conejos al final del mes n. partimos de un par de conejos que
nacen en el primer mes; esto es F1=1. Al cabo de un mes seguiremos teniendo
una pareja de conejos, todavía no adultos: F2=1. En el tercer mes ya tenemos una
pareja de adultos, que da lugar a una pareja de recién nacidos: F 3=2. En el cuarto
mes seguiremos teniendo una pareja de adultos, que tendrá descendencia. Y la
pareja nacida en el mes anterior tendrá ahora un mes. En total, habrá tres parejas
de conejos: F4=3. Y así sucesivamente.
Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Parejas de adultos 0 0 1 1 2 3 5 Completa
la tabla
Parejas con un mes de edad 0 1 0 1 1 2 3
Parejas de recién nacidos 1 0 1 1 2 3 5
Número total de parejas, Fn 1 1 2 3 5 8 13
La tabla recoge las distintas poblaciones al comienzo de cada mes. Observa que
el número de parejas en el mes n es la suma del número de parejas en el mes n-1
más las parejas que nacen en el propio mes n. De éstas hay tantas como parejas
adultas hubiera en el mes n. y a su vez, tantas como parejas en el mes n-2 (pues
se tardan dos meses en ser adulto). En total, para n3,
Fn=Fn-1+Fn-2 ecuación de Fibonacci
Una expresión de este tipo, en que el término general de la sucesión se
escribe en función de algunos términos anteriores, recibe el nombre de
relación de recurrencia, ecuación de recurrencia o ecuación de diferencias.
En este tipo de sucesiones, para obtener un término concreto, debemos ir
obteniendo todos los anteriores, lo cual no siempre es práctico. ¿Cuál es el
término T50 de la sucesión de Fibonacci?
Encontrar una solución a la ecuación de recurrencia es determinar una expresión
de tipo an=f(n) en la que el término general sólo dependa de la posición que ocupa
y no de los anteriores.
Para que la solución sea única es necesario conocer algunos términos de la
sucesión, lo que llamaremos condiciones iniciales. En el caso anterior F 1=1, F2=1.
3. Las apariencias engañan
Las sucesiones:
2, 4, 8, 16,…
6, 12, 24, 48,…
satisfacen la misma relación de recurrencia an=2 a n-1, si n1. La condición inicial
a0=1 junto con esta relación de recurrencia determinan de forma única la primera.
El conjunto {an=2a n-1 si n1, a0=3} define la segunda.
Razonamiento simple
Para an=3an-1 si n1, a0=5. Determina el término general de la sucesión.
Resolución
Tenemos:
a0=5
a1=3 a0=3x5
a2=3 a1=3(3x5)=32x5
a3=3 a2=3(32x5)=33x5
a4=3 a3=……………………..
………………………………………….
Por lo tanto, el término general es an=3nx5.
Según la lectura, responde:
a. Cuando el término general de una sucesión está en función de algunos
términos anteriores, la sucesión recibe el nombre de………………………….
b. La sucesión de Fibonacci está relacionada con………………………………..
c. En el modelo de la reproducción de conejos de Fibonacci, en el octavo mes
habrá………………parejas de conejos, y en el noveno………….parejas.
d. La ecuación de Fibonacci significa que………………………………………….
………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………..
e. Para hallar la solución de una ecuación de recurrencia debemos inducir
la………………………………………o……………………………………………
f. Para la sucesión: 4, 12, 36, 108,……..¿cuál es la relación de recurrencia y
las condiciones iniciales?
………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………..
APLICAMOS EN GRUPO
1. Encuentra la solución general de la ecuación de
recurrencia an=6an-1, con n1, a0=13.
Resolución
4. 2. Resolver an=7.an-1, n1 y a2=98.
Resolución
3. Determina la fórmula general para calcular el número de cuadrados que
necesita Roberto para construir la escalera hasta el décimo Nivel.
Resolución
4. El número de bacterias de un cultivo de laboratorio es de 1 000 unidades.
Sabemos que ese número se incrementa en un 250% cada 2 horas.
Encontrar una relación de recurrencia para conocer lo que ocurrirá al cabo
de un día.
Resolución
EN RESUMEN
Los procesos de recursión nos permiten inferir regularidades entre los
términos de una sucesión, originando las relaciones de recurrencia o
ecuaciones de recurrencia.
La solución general de una ecuación de recurrencia permite calcular
un término cualquiera en función del lugar que ocupe y no de la
relación que existe entre los términos precedentes.
ME AUTOEVALUÓ
Encuentra la solución general de an+1=1,5.an si n0, a0=3.
5. VISITA E INVESTIGA
Ingresa a la siguiente dirección e investiga sobre la
sucesión de Fibonacci, el número de oro y su relación
con la naturaleza
http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/fibonacci-
sucesion.html
AFIANZO Y COMPLEMENTO EN CASA
1. Determina la fórmula general de la sucesión: 3, 7, 11,
15,…
2. Encuentra una relación de recurrencia, con una
condición inicial, que determine de una manera única
cada una cada una de las sucesiones:
a. 2, 10, 50, 250,…. b. 1, 1/3, 1/9, 1/27,…
3. Resuelve la siguiente ecuación de recurrencia: an=-3an-1, donde a0=2.
4. Encontrar una ecuación de recurrencia con la obtener el número de
regiones en la que queda dividido un plano al trazar en él n rectas, de
forma que se corten dos a dos y tal que tres rectas no tengan un punto en
común.
EVALUAMOS NUESTRO TRABAJO
Cada uno complete la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, según
corresponda. Luego, comparen y comenten sus respuestas.
INTEGRANTES
Respeté las opiniones de los demás
integrantes
Cumplí con las tareas que me comprometí
Hice aportes interesantes para desarrollar
el trabajo
5. Comenten y respondan: ¿en qué podrían mejorar para el próximo trabajo
en equipo?
6. JUEGO EN LÍNEA
Ingresa en, http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/
Juega con dos, tres, cuatro y cinco discos. Determina la relación entre el mínimo
número de movimientos y el número de discos, y halla la fórmula general.
COMENTARIO DEL PROFESOR
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FIRMA DEL PADRE
DNI N° ……………….