cap 4 - Mecanica de Fluidos - Dinamica - Bernoulli.pdf

Ecuación de continuidad
1
2
2
1
1 v
A
v
A
Caudal = Av
Al producto Av se
le denomina caudal
y sus unidades son
m3/s.
En una tubería el
caudal permanece
constante

Ejemplo
2
Mientras más pequeño sea el orificio de
salida, mayor será la rapidez de salida del
agua.

Líneas de flujo
3
Mientras más juntas están las líneas de flujo,
mayor es la rapidez de las partículas.

4
Ecuación de Bernoulli
Consideremos como sistema
el elemento de fluido que está
limitado por las secciones
transversales a y c.
Después de un instante dt, el
fluido que está en a se mueve
a b y el que está en c se
mueve a d.

5
Ecuación de Bernoulli
Por energía: m
nc
E
W )
(
U
K
ds
A
p
ds
A
p 2
2
2
1
1
1
)
(
)
(
2
1
)
( 1
2
2
1
2
2
2
1 y
y
gdV
v
v
dV
dV
p
p
Dividiendo entre dV y ordenando:
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
2
1
v
gy
p
v
gy
p

Caso particular: tubo horizontal
6
cte
v
p
v
p 2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
En un mismo tubo, a mayor rapidez del fluido,
menor será la presión en dicho punto.

Ejemplo 1
7
Se tiene un tanque abierto.
Hallar la rapidez de salida
del agua por el orificio
pequeño.

Solución
8
Ecuación de continuidad:
2
2
1
1 v
A
v
A
Ecuación de Bernoulli:
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
2
1
v
gy
p
v
gy
p
0
2
1 P
P
P
Tanque abierto:
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
v
gy
v
gy
)
(
2
1 2
1
2
2 v
v
gh

Solución (continuación)
9
2
2
1
1 v
A
v
A )
(
2
1 2
1
2
2 v
v
gh
Resolviendo:
2
1
2
2
2
1
2
A
A
gh
v
Si A1 >> A2, se obtiene:
gh
v 2
2

Ejemplo 2
10
¿Cuánto tardará el nivel del
agua en bajar la altura h?

Solución
11
2
1
2
2
1
2
1
1
2
A
A
gy
A
A
v
La rapidez con que baja el nivel del agua cuando
está a una altura y del pequeño agujero es:
2
1
2
2
1
2
1
2
A
A
gy
A
A
dt
dy
t
A
A
g
A
A
y
dy
h
2
1
2
2
1
2
0 1
2
1
2
2
2
2
1
A
A
g
h
t

Ejemplo 3
12
Una cubeta cilíndrica, abierta por arriba, tiene
25 cm de altura y 10 cm de diámetro. Se hace un
agujero circular con área de 1,5 cm2 en el centro
del fondo de la cubeta. Se está vertiendo agua en
la cubeta mediante un tubo que está arriba, a
razón de 2,4 10-4 m3/s. ¿A qué altura subirá el
agua en la cubeta?

Solución
13
El agua subirá hasta que el caudal que ingresa
es igual al caudal que sale por el orificio de la
base de la cubeta:
2
1
2
2
2
4
1
2
10
4
,
2
A
A
gh
A
cm
h 1
,
13
)
(
2
2 salida
caudal
v
A
entrada
caudal

Sustentación en un ala de avión
14
La presión en la parte
superior del ala es
menor que en la parte
inferior.
Fuerza de sustentación = P A

El medidor Venturi
15
2
2
1
1 v
A
v
A
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
v
p
v
p
1
0
1 gh
p
p
2
0
2 gh
p
p
gh
p
p 2
1
Resolviendo:
1
2
2
2
2
1
1
A
A
gh
v

Viscosidad
16
Un fluido no soporta esfuerzos de corte, sin
embargo, los fluidos presentan cierto grado de
resistencia al movimiento de corte. Esto se
debe a la fricción que existe entre capas
adyacentes del fluido, conforme se deslizan
una sobre otra. A esta fricción interna se
denomina viscosidad.

Coeficiente de viscosidad ( )
17
Consideremos dos placas paralelas muy grandes
como se muestra en la figura, el espacio entre
las placas está lleno con un fluido
0
Av
FD
corte
de
n
deformació
cambio
de
tasa
corte
de
Esfuerzo
Unidad: N.s/m2

Ley de Stokes
18
Una burbuja de aire en el agua, partículas de
polvo cayendo en el aire, pequeñas esferas que
caen en un fluido. Todos ellos experimentan la
oposición de fuerzas viscosas. George Stokes
encontró la relación para esta fuerza viscosa
sobre un cuerpo esférico en un fluido ,
donde R es el radio, v la velocidad de la esfera y
es el coeficiente de viscosidad.
Esta expresión se denomina ley de Stokes.
v
R
Fv 6

Medición del coeficiente de viscosidad
19
La ley de Stokes permite
determinar el coeficiente de
viscosidad de un líquido,
midiendo la velocidad terminal
de una esfera cayendo en el
fluido. 0
v
F
E
mg
0
6
3
4
3
4 3
3
t
liq
esf Rv
g
R
g
R

Lanzamiento con efecto
21
La curva se produce
debido al efecto
Magnus.
La pelota al girar arrastra capas de aire cerca de
su superficie. En un lado la rapidez aumenta,
mientras que en el lado opuesto disminuye.

Problema 1
22
Dos burbujas de aire de radios r1 y r2, con
r1 > r2, se desprenden del fondo de un lago y
llegan a la superficie con una diferencia de
tiempos t. Suponga que las burbujas suben
a la superficie con velocidad constante y que
sus radios permanecen constantes.
Determinar la profundidad H del lago.

Solución
23
0
6
3
4
3
4 3
3
t
aire
agua Rv
g
R
g
R
0
v
F
mg
E
9
)
(
2 2
aire
agua
t
g
R
v
2
1
2
1
1
2
1
2
)
(
v
v
v
v
H
v
H
v
H
t
t
t
Rapidez con que sube cada
burbuja. La de mayor radio
llega primero
2
2
2
1
2
2
2
1
9
)
(
2
r
r
t
r
r
g
H aire
agua

Problema 2
24
El aire fluye horizontalmente por las alas
de una avioneta de modo que su rapidez es
de 70 m/s arriba del ala y 60 m/s debajo. Si
la avioneta tiene una masa de 1340 kg y un
área de alas de 16,2 m2 , ¿qué fuerza
vertical neta (incluida la gravedad) actúa
sobre la nave? La densidad del aire es de
1,2 kg/m3.

Solución
25
Despreciando el espesor del ala, de la
ecuación de Bernoulli ( ) se obtiene:
Pa.
0
78
)
(
2)
1
( 2
1
2
2 v
v
ρ
p
2
1 y
y
La fuerza neta vertical sobre la avioneta es:
N.
496
)
s
m
kg)(9.80
1340
(
)
m
(16.2
Pa)
780
( 2
2

El Sifón
26
Un sifón es un dispositivo útil para sacar
líquidos de recipientes que no pueden inclinarse
o moverse fácilmente. Para establecer el flujo, el
tubo debe llenarse inicialmente con fluido.

Problema 3: principio del sifón
27
Suponga que el área transversal
del tubo es la misma en toda su
longitud.
a) ¿Cuál es la rapidez del fluido
en el punto C?
b) ¿Cuál es la presión en el
punto B?
c) ¿Cuál es la altura máxima H
que puede tener el punto alto del
tubo sin que deje de haber flujo?
Área del tanque
muy grande

Patm = Pa

d
h
ρg
p
H a )
(
)
(
)]
(
2
[
)
(
)
( 2
1
H
d
h
g
p
p
d
h
g
H
d
h
g
p
d
h
g
p
a
B
B
a
)
(
2
)
( 2
2
1
d
h
g
v
p
d
h
g
p c
a
a
Solución
28
a) Aplicando Bernoulli en un punto del nivel del
fluido en el tanque y el punto C: (Pc =Pa)
b) Aplicando Bernoulli en un punto del nivel del
fluido en el tanque y el punto B: ( )
B
C v
v
c) Para que exista flujo la presión en B no debe ser
negativa. Para PB = 0:

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