Cuadros magicos

Fomento cálculo mental Jesús Javier Jiménez Ibáñez I.E.S Alhama de Corella
CUADRADOS MÁGICOS
Este juego consiste en un cuadrado con nueve casillas, donde se han de colocar nueve
números que sumados en vertical, en horizontal y en diagonal siempre den el mismo
resultado.
ACTIVIDAD 1: COMPROBAR SI UN CUADRADO ES O NO MÁGICO
Descubre cuál de estos cuadrados es un cuadrado mágico. Indica en caso afirmativo cuál
es el valor de la suma de cada línea.
A) B) C)
D) E) F)
G) H) I)
J) K) L)
Sol: A) No B) Si S=3 C) No D) Si S=-6 E) No F) No G) Si S = 6 H) Si S=-4 I) No J) Si S=1 K) No L)
Si S=-2

ACTIVIDAD 2: COMPLETAR UN CUADRADO MÁGICO (NATURALES)
Completa los siguientes cuadrados mágicos de números naturales.
Estrategia:
1º. Primero halla lo que suma una línea que esté completa.
2º. Comienza por completar las líneas a las que sólo falte un número.
A) B) C)
Suma = Suma = Suma =
D) E) F)
S = S = S=
G) H) I)
S = S = S =

ACTIVIDAD 3: COMPLETAR UN CUADRADO MÁGICO (ENTEROS)
Completa los siguientes cuadrados mágicos de números enteros.
A) B) C)
Suma = Suma = Suma =
D) E) F)
S = S = S=
G) H) I)
S = S = S =

ACTIVIDAD 4. CUADRADOS MÁGICOS MULTIPLICATIVOS
La multiplicación de los números de cada fila, columna o diagonal debe ser la misma.
Completa los siguientes cuadrados mágicos multiplicativos de números enteros.
A) B) C)
Producto = Producto = Producto =
D) E) F)
P = P = P =
G) H) I)
P = P = P =

ACTIVIDAD 5: INVESTIGACIÓN
Si realizo una operación matemática (sumar, restar, multiplicar o dividir por un nº), a
cada casilla de un cuadrado mágico, ¿obtendremos otro cuadrado mágico?. Si es así,
encuentra la relación que tienen la suma de las líneas S y S´ de ambos cuadrados
mágicos.
CUADRADO INICIAL OPERACIÓN CUADRADO FINAL
S =
+5
Sumo 5 a cada casilla del
cuadrado inicial.
S´=
S =
-4
Resto 4 a cada casilla del
cuadrado inicial.
S´=
S =
x (-3)
Multiplico por (-3) a cada
casilla del cuadrado inicial.
S´=
S =
: (-2)
Divido entre (-2) a cada
casilla del cuadrado inicial.
S´=

ACTVIDAD 6: CONFECCIONAR CUADRADOS MÁGICOS APLICANDO
FÓRMULAS
Aunque hay diversas formas de construir cuadrados mágicos, ésta es una de ellas.
Aplica las fórmulas para obtener los cuadrados mágicos de números naturales, enteros o
fraccionarios. Debes sustituir la variable por los valores indicados:
CUADRADO CON VARIABLES
S =
Si a = -2 y b = 3 Si a = -2 y b = 3 Si a = 1 y b = 1/3
S1 = S2 = S3 =
CUADRADO MULTIPLICATIVO CON VARIABLES
P =
Si a = 2 y b = 5 Si a = -3 y b = -1 Si a = 3/2 y b = 2/5
P1 = P2 = P3 =
Para profundizar más sobre el tema: http://www.terra.es/personal8/ebarcodi/index.htm

Cuadrados mágicos
Desde la antigüedad los pasatiempos numéricos han ocupado un
lugar destacado en las Matemáticas, no sólo por su aspecto lúdi-
co sino también porque algunos de ellos han dado lugar al nacimien-
to de nuevas ramas de esta ciencia: “La teoría de ecuaciones, la pro-
babilidad, el cálculo, la teoría de conjuntos, la topología, etc., son
frutos que se han desarrollado de semillas sembradas en el fértil suelo
de la imaginación creadora, pues todas ellas han nacido de problemas
planteados, en un principio, en forma de rompecabezas” (Matemáti-
cas e imaginación, Kasner y Newman).
Vicente Trigo Aranda
www.vicentetrigo.com
AUTORES CIENTÍFICO-TÉCNICOS Y ACADÉMICOS
89
La primera recopilación de rom-
pecabezas y pasatiempos apareció
en 1612, cuando se publicó Problè-
mes plaisants et delectables qui se
font par les nombres (Los proble-
mas placenteros y deleitosos que se
hacen con números), del francés
Claude-Gaspard Bachet (9-X-1581,
26-II-1638), que todavía sigue edi-
tándose, como se aprecia en la figu-
ra 1. Curiosamente, cuando se cita
a este autor en la historia de las
Matemáticas suele ser por otra de
sus obras, su traducción de la Arith-
metica de Diofanto (1621), ya que
en un comentario a este libro Fermat
escribió su famosa nota marginal,
conocida como “El último teorema
de Fermat”, cuya demostración
resistió el ataque de todos los mate-
máticos hasta 1993, en que Andrew
Wiles por fin lo consiguió. Figura 1. Portada de una edición de 1993

Continuando con las
obras dedicadas a pasa-
tiempos y rompecabezas,
con el paso de los años
fueron surgiendo otras
varias, entre las que des-
taca con luz propia
Récréations mathémati-
ques (Recreaciones ma-
temáticas), del también
francés Edouard Lucas
(4-IV-1842, 3-X-1891),
que fue publicada en
cuatro tomos entre 1881
y 1894. En uno de ellos
aparecía el famoso pro-
blema de las torres de
Hanoi, que vemos en la
figura 2.
A lo largo de siglos
fueron muchos los mate-
máticos célebres que dis-
frutaron analizando de-
terminados problemas de
matemáticas recreativas,
como Fermat, Euler, Mer-
senne, Leibnitz, Lagran-
ge, Hamilton, Caley, etc.; sin olvidarnos del norte-
americano Martin Gardner, que es, sin duda, la figu-
ra más destacada en este terreno durante el segundo
tercio del siglo XX.
Claro que todo lo relativo a pasatiempos matemá-
ticos hay que tomarlo con cierta mesura, porque si
bien es cierto que han sido la semilla de muchos
avances y son un buen complemento introductorio a
determinadas ramas del saber matemático, tampoco
son la panacea universal en la enseñanza de esta
siempre difícil disciplina científica.
De hecho, contra los peligros de los acertijos, tan
populares en el siglo XIX, ya advertía irónicamente
Flaubert en el célebre problema que envió a su her-
mana Caroline en 1843:
“Puisque vous étudiez la géométrie et la
trigonométrie, je vais vous soumettre un pro-
blème: Un bateau vogue sur l’Océan. Il a quit-
té Boston avec un chargement de laine. Il
jauge 200 tonneaux. Il se dirige vers le Havre.
Le grand mat est cassé, le garçon de cabine
est sur le pont, il y a douze passagers àbord.
Le vent souffle ENE, l’horloge marque 3 h; on
est au mois de mai. Quel est l’âge du capitai-
ne?”1
Y como el abanico de los pasatiempos matemáti-
cos es amplísimo, en este artículo vamos a centrarnos
en un caso muy concreto: los cuadrados mágicos. Eso
sí, para hacer este artículo más comprensible y
ameno, nos olvidaremos de las propiedades matemá-
ticas de estos objetos y nos quedaremos únicamente
con los temas históricos y lúdicos, sin olvidar los eso-
téricos.
¿Y qué relación hay entre la magia y los pasatiem-
pos matemáticos? Ninguna, desde el punto de vista
científico actual, como es evidente; sin embargo, es
innegable que ha existido una cierta conexión entre
ambas cuestiones a lo largo de la historia y siempre es
interesante conocer el presunto “poder de los núme-
ros”; así que, antes de pasar a analizar los cuadrados
mágicos, vamos a hacer una breve referencia a la
popular cábala de nuestro Medievo, que tanta impor-
tancia tuvo.
àLa cábala como estudio
de los números
La cábala parece ser que apareció en la comuni-
dad judía española durante los siglos XII y XIII y, entre
otras facetas, buscaba significados ocultos en los tex-
tos de la Biblia. ¿Qué nexo puede existir entre núme-
ros y textos para pretender encontrar mensajes ocul-
tos en la Biblia?
Tengamos en cuenta que el sistema de numera-
ción hebreo era muy similar al griego; es decir, a
cada letra del alefato (alfabeto hebreo) se le asigna-
ba un valor numérico, de modo que a cada palabra
o frase también le corresponde un determinado valor
numérico. Así, en la figura 3, observamos la equiva-
lencia numérica de las primeras letras de dichos alfa-
betos.
ACTAACTACuadrados mágicos
90
Figura 2. Las torres de Hanoi
1 Puesto que estudias geometría y trigonometría voy a proponerte un problema: Un barco navega en el océano. Salió de Boston con
un cargamento de lana. Desplaza 200 toneladas. Se dirige hacia Le Havre. El palo mayor se quebró, el camarero está en el puente,
a bordo hay doce pasajeros. El viento sopla ENE, el reloj marca las tres; es el mes de mayo. ¿Qué edad tiene el capitán?

Al igual que los griegos se tomaban muy en serio
las relaciones entre los valores numéricos de los nom-
bres, surgiendo así el estudio de los números primos,
amigos o perfectos, también es posible hacer algo
similar con los textos bíblicos. Por ejemplo, si en una
frase se habla del enviado de Dios y resulta que la
suma de sus letras equivale a la suma de las letras de
un nombre en concreto, la cábala daba por supuesto
que ahí existía una cierta conexión.
Basta dar un breve paseo por determinadas pági-
nas de Internet para leer que las letras del césar Nerón
equivalen al famoso 666 (el número de la bestia del
Apocalipsis), que las letras de Adán y Eva se diferen-
cian en 26 (las generaciones que separan Adán de
Moisés); el valor numérico de la primera palabra de la
Biblia es igual al número de años que median entre la
creación y la llegada de Cristo al mundo, etc.
Sí, ya sé que hoy en día hoy estas afirmaciones
nos hacen sonreír a la mayoría de la gente, pero no
siempre ha sido así, ni mucho menos. En realidad,
muchas personas todavía creen que “La Biblia tiene
la forma de un gigantesco crucigrama. Está codifica-
da de principio a fin con palabras que, al conectar
entre sí, revelan una historia oculta”, como se apunta
en el muy vendido libro El código secreto de la Biblia
de Michael Drosnin.
Es incontrovertible que enredando con números
podemos llegar casi a cualquier resultado que nos
interese, pero esta afirmación no resulta tan evidente
para las personas que carecen de formación científi-
ca, que aceptan las coincidencias numéricas, por muy
rebuscadas que sean, como una muestra más de lo
divino o sobrenatural. Por esta razón, la cábala,
entendida como el estudio de los números, tuvo un
gran auge durante muchos siglos y adquirió suma
relevancia, porque se consideraba que los números
no sólo representaban una cantidad sino que encerra-
ban un mensaje oculto que era necesario descifrar
para alcanzar sabe Dios qué.
Tampoco sonriamos demasiado, porque en la
actualidad tenemos un equivalente en los superpopu-
lares horóscopos, que pululan en periódicos, revistas,
etc. ¡Alucinante! Estamos en el tercer milenio y toda-
vía hay gente que se toma en serio esas cosas. Pase
que hace siglos hubiese grandes científicos que creye-
sen en esas cosas, como Kepler (figura 4) o Newton,
sin ir más lejos, pero la astrología hace tiempo que
debería haber caído en el olvido.
Figura 4. En 1608 Kepler hizo este horóscopo a
Albrecht von Wallenstein
àLa historia de los cuadrados
mágicos
Y después de todos los prolegómenos anteriores,
todavía debemos entrar en el núcleo central del
artículo. Así pues, ¿qué es un cuadrado mágico? Sim-
plemente una tabla de números (matriz, en termino-
logía matemática) que satisface la condición de que la
suma de todas las filas, columnas y las dos diagona-
les principales es siempre el
mismo número, denominado
constante mágica. El más famoso
de todos ellos es el que vemos en
la figura 5, cuya constante mági-
ca es 15, como resulta sencillo
comprobar.
Los cuadrados mágicos ya
eran conocidos en China muchos
siglos antes de nuestra era.
Según cuenta la leyenda, el río Lo
estaba desbordado y, a pesar de
Cuadrados
mágicos
91
Figura 3. Valores numéricos de las primeras
letras griegas y hebreas
Figura 5. Cuadrado mágico
de orden 3

las ofrendas que hacían al dios del río, no conseguían
que disminuyera su caudal. Por suerte para los habi-
tantes de la región, alguien observó que tras cada
ofrenda aparecía una misma tortuga y, curiosamente,
en las divisiones de su caparazón, tenía unas marcas
similares a las mostradas en la figura 6, que equivalen
a los números de la figura 5. Al percatarse de que se
trataba de un cuadrado mágico de constante 15,
hicieron quince ofrendas seguidas (o incluyeron quin-
ce objetos en la ofrenda, ¡quién sabe!) y las aguas del
río retornaron al cauce habitual.
Figura 6. Lo Shu
Con tamaña publicidad, no es extraño que los
cuadrados mágicos pasasen a ser considerados talis-
manes y se incorporasen a amuletos para muy
diversas aplicaciones: protegerse de las enfermeda-
des, prevenir desastres naturales, predecir el futuro,
etc. Claro que, como siempre, no cuesta nada enre-
dar con la cabalística y los números para llegar a
donde se quiere; así, por ejemplo, en la figura 7, que
forma parte de una página web sobre vivienda, se
utiliza ese cuadrado mágico para averiguar a qué fin
debe destinarse cada habitación de la casa. ¡Sin
comentarios!
Con el tiempo, y siguiendo una trayectoria similar
a la de otras áreas del saber y el conocimiento, los
cuadrados mágicos pasaron a la India; de ahí a los
árabes y, finalmente, aparecieron en Europa, alrede-
dor del siglo XIV. Debido a sus supuestos poderes
sobrenaturales, atribuidos por los alquimistas y caba-
listas, a esos cuadrados numéricos se les asoció el
calificativo de “mágicos”.
En nuestro continente, además de todas las pres-
taciones mágicas que habían ido incorporando a lo
largo de los milenios, se les asignaron otras nuevas,
especialmente en el ámbito de la astrología. Por ejem-
plo, el alemán Cornelius Agrippa (1486-1535) en su
obra De occulta philosophia libri tres (1533) presen-
taba siete cuadrados mágicos y los asociaba a los pla-
netas conocidos, con el añadido del Sol y la Luna, en
función de su constante mágica (en astrología los
cuerpos celestes tienen asignados determinados
números: 9, 15 y 45 para Saturno; 25, 65 y 325
92
Figura 7. http://www.euroresidentes.com/vivienda/feng-shui/lo-shu-basico-cuadrado-magico.htm

Marte; 36, 111 y 666 el Sol, etc.). Por ejemplo, en la
figura 8, vemos un talismán dedicado a Saturno.
Figura 8. Talismán de Saturno
Tanta difusión adquirieron los cuadrados mágicos
que resulta fácil encontrarlos en obras artísticas.
Seguramente la más popular es el grabado Melanco-
lía del alemán Albert Durero (21-V-1471, 6-IV-1528)
que vemos en la figura 9. En él, entre tantos símbolos
alquimistas (reloj de arena, balanza, rueda de molino,
etc.), observamos en su esquina superior derecha el
cuadrado mágico de la figura 10, precisamente el
asociado a Júpiter, por lo que todas las virtudes inhe-
rentes a este planeta (prosperi-
dad, larga vida, felicidad, etc.) se
trasladan a quien esté bajo el
influjo del cuadrado mágico.2
¡Cuánta tontería, verdad! En
efecto, pero no olvidemos que la
credulidad humana en ocasiones
parece como si fuese infinita. De
hecho, en un revista (omito su
nombre por pudor) aparece la
siguiente “prueba” de que el cua-
drado mágico de Durero es el
símbolo de la felicidad total:
“Y por otro lado, si sumamos las 16 cifras que
componen el cuadrado o multiplicamos 34 por cua-
tro obtenemos 136, cifra que, al ser reducida a su
mínima expresión (1+3+6=10) (1+0=1), nos da un
1, dígito considerado en magia planetaria como el de
la perfecta felicidad”.
No sé si reírme o llorar ante esa presunta demos-
tración. Si sumamos las cifras de la fecha de mi naci-
miento (26 del 9 de 1955), resulta 37 y al sumar sus
dos cifras obtenemos 10 y, como ya sabemos,
1+0=1. ¿Seré la prueba viviente de la perfecta felici-
dad? Claro que si cambiamos al calendario árabe o
judío las cifras son diferentes e igual paso a ser la
representación del mal.
¡Qué manera más sencilla de dejar al descubierto
la superchería! Si piensa eso es que no ha escuchado
la voz de la credulidad, que tomaría ese razonamien-
to precisamente como la prueba del yin y yang y, a
partir de ahí, enlazaría la dualidad universal con otros
números y cualquiera sabe dónde nos llevaría. ¡Qué
atrevida es la ignorancia!
àUnos cuadrados mágicos
para completar
En su origen los cuadrados mágicos de orden n
debían estar formados por los n2 primeros números
naturales, como sucede con los mostrados en las figu-
ras anteriores. Sin embargo, posteriormente la defini-
ción se fue generalizando a cualquiera tabla numéri-
ca que cumpliese la condición de que fuese idéntica
la suma de todas las filas, columnas y las dos diago-
nales principales.
Cuadrados
mágicos
93
Figura 9. Melancolía de Durero
2 Los dos números centrales de su fila inferior conforman el año de creación del grabado, 1514.
de Durero

Por ejemplo, también se con-
sidera cuadrado mágico al mos-
trado en la figura 11, compuesto
por números primos finalizados
en 7.
Igualmente se asigna el califi-
cativo de mágico al cuadrado
presentado en la figura 12, que
se encuentra en la Sagrada
Familia de Barcelona. A diferen-
cia de los anteriores, en este caso
hay números que se repiten… la
única forma de que la constante
mágica sea 33 (la edad de Cris-
to).
Después de todo cuanto lle-
vamos visto sobre los cuadrados
mágicos, quizás sea buena idea
hacer una pausa en la lectura y
cambiar a una cuestión más lúdi-
ca; es decir, la resolución de algu-
nos cuadrados mágicos a modo
de entretenimiento. Evidente-
mente no cuesta mucho escribir un programa de
ordenador que haga el trabajo en nuestro lugar, pero
resulta más gratificante hacer las cuentas a mano. De
todas formas, si algún cuadrado mágico se resiste, al
final del artículo se encuentran las soluciones de
todos ellos.
n Un cuadrado panmágico o
diabólico es un cuadrado
mágico que, además, verifica
que la suma de los elementos
de las diagonales secundarias
es también la constante mági-
ca. ¿Resolvemos el de la figura
13?
n Un cuadrado invertible es un
cuadrado mágico que genera
otro al girarse 180º, con la
misma constante mágica; lógi-
camente sólo se manejan los
dígitos 1, 6, 8 y 9. En concre-
to, el de la figura 14 está com-
puesto por números de dos
cifras.
n Los cuadrados mágicos for-
mados exclusivamente por
números primos son bastante
escasos (y de sus propiedades
cabalísticas mejor no hablar).
Los números del presentado
en la figura 15 son todos ellos
primos inferiores a cien.
Y para terminar con los cua-
drados mágicos numéricos,
comentar que se conocen diver-
sos algoritmos que permiten
generarlos. Si le interesa el tema,
puede visitar las siguientes pági-
nas web, donde también encon-
trará amplia información sobre
ellos.
http://www.geocities.com/cuadradosmagicos/como_hacerlos.htm
http://enciclopedia.us.es/index.php/Cuadrado_mágico
http://gaussianos.com/cuadrados-magicos/
àTambién las letras aparecen
en cuadrados con magia
Hasta el momento hemos hablado de cuadrados
mágicos numéricos, pero las letras también están por
ahí y no debemos desatenderlas. Por ejemplo, entre
las ruinas de Pompeya se encontró un curioso palín-
dromo, ROTAS OPERA TENET AREPO SATOR,
cuya traducción varía desde una especie de mensaje
publicitario, “El sembrador Arepo guía con destreza
las ruedas” o “El artesano Arepo tiene ruedas para el
trabajo”, hasta un muy diferente “El creador tiene las
inestables claves de su Obra”.
¿Y qué tiene que ver con los
cuadrados mágicos? Pues que
dicho palíndromo tenía la pecu-
liaridad de estar escrito forman-
do un cuadrado, como vemos
en la parte superior de la figura
16. Ya que su legibilidad no es
muy alta, debajo está escrito
más claramente y ahí podemos
comprobar que tiene la particu-
laridad de leerse tanto en senti-
do horizontal como en vertical.
A pesar de que las distancias
en aquellos tiempos suponían
una separación enorme, ese
cuadrado debió de tener una
popularidad inmensa, porque se
han encontrado copias antiguas
de él en sitios tan alejados de
Pompeya como Gran Bretaña
(figura 17) o Siria.
94
Figura 11. El 7 tiene propie-
dades mágicas… y los
números primos también
en la Sagrada Familia
Figura 13. Cuadrado
panmágico para completar
Figura 14. Cuadrado
invertible para completar
primo para completar
con letras

Figura 17. Cuadrado mágico del Corinium Museum
Y es que, buscando significados ocultos, podemos
reordenar las letras y obtener “Pater noster” por
duplicado. Claro que sobran
dos A y O, como se aprecia
en la figura 18, pero no hay
problema; basta decir que se
trata de alfa y omega, el prin-
cipio y el fin, y así tenemos
una oración en toda regla.
Por esta razón, mucha gente
asocia este cuadrado literal
con el cristianismo y quiere
verlo como una primera
prueba de su llegada a los
sitios citados anteriormente.
Por si fuera poco, con nuevas reordenaciones se
obtienen frases como “El pater, ores, pro aetate nos-
tra” o “Satan, oro te, reparato opes”, que pueden
emplearse en las más diversas circunstancias. En
resumen, no es extraño que en aquellos tiempos de
ignorancia se le atribuyesen propiedades mágicas,
siendo considerado un remedio contra las enferme-
dades, un talismán para evitar incendios, un amuleto
para que los demonios no se apoderasen del alma del
feto de las embarazadas, etc. Debido a tantísimas
cualidades milagrosas, no es extraño encontrarlo en
palacios e iglesias, en escudos heráldicos, en obras de
arte e, incluso, en lápidas más modernas, como
vemos en la figura 193.
Figura 19. Curiosa lápida
¡Qué crédula era la gente en aquellos tiempos! Sí,
desde luego, pero, ¿seguro que la cosa ha cambiado
mucho? Acabo de encontrar en Internet sitios donde
se afirma sin el menor rubor que el cuadrado SATOR
es un talismán para evitar la adicción a la heroína,
conseguir el amor de una chica, etc.
àEl Taquin (Puzzle 14-15)
Olvidémonos de tantas patrañas sin sentido y
regresemos al más divertido mundo de los pasatiem-
pos. En concreto, pasamos ahora a un juego que
tiene relación con los cuadrados numéricos y que
adquirió una notabilísima repercusión hace más de
un siglo; de hecho, en la actualidad todavía lo pode-
mos encontrar en muchas tiendas de juguetes, en
consolas y sitios web donde se juega on-line. Se trata
del Taquin, también conocido como “Puzzle 14-15”,
cuya presentación original vemos en la figura 20.
Figura 20. Ilustración del libro de Sam Lloyd
Cuadrados
mágicos
95
Figura 18. Texto en forma
de cruz
3 Si comparamos el cuadrado de la lápida con el original, comprobaremos que las palabras están escritas ahora en orden inverso (lo
que no importa mucho, por tratarse de un palíndromo). Esta segunda forma de escritura ha adquirido más popularidad y, por ello, a
ese cuadrado mágico literal se le conoce por cuadrado SATOR.

Este rompecabezas fue ideado en 1878 por un
gran creador de pasatiempos: el estadounidense
Sam Lloyd (31-1-1841, 10-4-
1911). Consiste en una pequeña
caja cuadrada en la que se inser-
tan quince bloques móviles,
numerados de 1 a 15, dejando
un hueco libre que puede ser
usado para desplazar los móviles
lateralmente, colocados inicial-
mente tal y como se muestra en
la figura 21.
¿Y dónde está la gracia del
rompecabezas? Generalmente
en, dada una posición determinada de los bloques,
indicar los pasos a seguir para alcanzarla desde la
posición inicial.
Según señalan las crónicas de la época, los abun-
dantes concursos que aparecieron al cobijo del
Taquin supusieron una verdadera plaga. Así, por
ejemplo, los empresarios colocaron anuncios prohi-
biendo jugar en horas de trabajo; un periodista escri-
bió: “no hay ni una sola casa de campo en donde no
anide esta araña, esperando a la víctima que caerá en
sus redes”; incluso el matemático y diputado alemán
S. Gunther afirmaba: “veo en el Parlamento a hono-
rables señores jugando con la cajita”.
Al cabo de unos años de salir al mercado, se
demostró que sólo la mitad de las posiciones posi-
bles permitían regresar a la posición inicial. Esa era
la razón por la cual la mayoría de los grandes pre-
mios que se ofertaban eran imposibles de alcanzar.
Precisamente este motivo le impidió a Lloyd paten-
tar su invento, ya que si observamos detenidamente
los cuadrados de las dos figuras anteriores, compro-
baremos que hay una pequeña diferencia entre
ellos: en el puzzle de Sam Lloyd las fichas de los dos
últimos números están intercambiados, por lo que
no existe ningún camino que nos lleve del uno al
otro.
¿Y cómo sabemos si una posición es posible? Sólo
tenemos que sumar el número de inversiones que
hay en toda la tabla (se produce una inversión cuan-
do un número está colocado antes que otro inferior a
él). La posición sólo es factible si el número de inver-
siones es par.
Así, por ejemplo, podemos comprobar que sí es
posible volver a la posición inicial a partir de la dis-
posición de la figura 22 y, en cambio, resulta imposi-
ble hacerlo desde la mostrada en la figura 23.
àEl cubo de Rubik
En 1978 el profesor Erno
Rubik presentó en la feria inter-
nacional de Budapest su famoso
“cubo mágico”, que, como
vemos en la figura 24, en cierto
aspecto recuerda en cierto modo
al Taquin. Cada una de las seis
caras del cubo está dividida en
nueve partes y en el centro del
cubo hay un engranaje que arti-
cula las piezas, permitiendo hacer
giros con ellas.
Al igual que sucedió con el Taquin cien años
antes, la creación de Rubik dio lugar a multitud de
concursos y premios; de hecho, cuando se presentó
en la feria de juguetes de 1980 la empresa distribui-
dora ofreció un premio de cinco mil marcos a quien
lo resolviera en menos de tres minutos. Entonces
nadie lo ganó, si bien ahora el récord ronda los diez
segundos.
A los pocos años su popularidad era ya inmensa,
especialmente porque su manejo se aprende en unos
segundos y su regla básica (volver a la posición ini-
cial) resulta muy sencilla. Se han vendido más de tres-
cientos millones en todo el mundo y, por aquello de
ir actualizándolo, han ido surgiendo en el mercado
versiones con más piezas, algunas de las cuales se
muestran en la figura 25.
Figura 25. También hay cubos de Rubik 4x4x4 y 5x5x5
96
Figura 21. Configuración
inicial
Figura 22. Configuración
factible
Figura 23. Configuración no
factible
Figura 24. Cubo de Rubik

Las personas que son capaces de resolver el cubo
de Rubik (nunca lo he conseguido, palabra), saben
que exige bastante práctica y dedicación, porque
ir probando al azar no tiene mucho sentido. Tenga-
mos en cuenta que el número teórico de posiciones
distintas que admite el cubo de Rubik es
519.024.039.293.878.272.000 (8! x 38 x 12! x 212),
que, aunque se reducen en la práctica porque las pie-
zas están engranadas, todavía queda un número bas-
tante grande: 43.252.003.274.489.856.000.
Lógicamente, en Internet es fácil encontrar muchí-
simas páginas dedicadas al cubo de Rubik. Las
siguientes son sólo unas pocas, pero representativas:
n Para descubrir cómo solucionarlo:
http://www.rubikaz.com/resoluciones.html
http://biboz.net/juegos/cubo-de-rubik/
http://www.angelfire.com/co/cubo/
n Para jugar con el cubo de Rubik online:
http://biboz.net/juegos/cubo-de-rubik/
http://www.rubiks.com/cube_online.html
n Para resolver online el cubo de Rubik, si no que-
remos utilizar el viejo truco de despegar las eti-
quetas y volverlas a pegar:
http://www.wedran.com/?page=cube/
àLos sudokus
El genial Leonhard Euler (15-4-1707, 18-9-1783)
parece ser que fue el primero en estudiar las propie-
dades matemáticas de los llamados cuadrados lati-
nos, que se caracterizan por el
hecho de que cada símbolo
(Euler utilizó letras latinas, de ahí
su nombre) sólo aparece una vez
en cada fila y en cada columna.
Por ejemplo, el cuadrado de la
figura 26 cumple esta propiedad.
Estos cuadrados latinos, que
le surgieron a Euler al estudiar los
cuadrados mágicos (de hecho el
título de su texto era Recherches
sur une nouvelle espece de qua-
rre magique), hoy en día son muy utilizados en esta-
dística, sobre todo en diseño de experimentos.
También, claro está, aparecen en la sección de
pasatiempos de las revistas y periódicos, en forma de
sudokus, que, como resulta evidente de la definición
anterior, son unos cuadrados
latinos 9x9, con la limitación
adicional de que cada uno de
los nueve subcuadrados 3x3
en que está dividido contiene
los nueve dígitos del 1 al 9.
Por ejemplo, en la figura 27
vemos el típico sudoku para
resolver.
Los primeros sudokus de
la historia publicados, mostra-
dos en la figura 28, aparecie-
ron en mayo de 1979, en el número 16 de la revista
“Dell Pencil Puzzles & Word Games”. Se atribuye su
autoría al arquitecto retirado Howard Garns, fallecido
en 1989, y el nombre original de este pasatiempo era
“Number place” (colocar el número).
Figura 28. Primeros sudokus publicados
En 1984 la editorial Nikoli
exportó el juego a Japón, dán-
dolo a conocer bajo el nombre
“Suji wa dokushin ni kagiru” (los
números están solo una vez, más
o menos), abreviándose más
adelante a sudoku, contracción
de “su” (número) y “doku”
(solo).
Posteriormente, el juez neoze-
landés Wayne Gould desarrolló
un programa que generaba su-
dokus y consiguió venderle el
nuevo juego al prestigioso “The
Times”, que lo dio a conocer en el
mundo occidental en noviembre
de 2004, desatando la fiebre por
este pasatiempo numérico… y no
hay peligro de que se agote el
filón, porque pueden generarse
6.670.903.752.021.072.936.960
sudokus diferentes.
Cuadrados
mágicos
97
Figura 26. Un cuadrado
latino
Figura 27. Sudoku para
resolver
Figura 29. Soluciones a
los cuadrados mágicos
propuestos

Septiembre 2009 • 2009ko Iraila 107
SIGMA
34LA MAGIA DE LOS CUADRADOS MÁGICOS
Pedro Alegría (*)
El estudio de los llamados cuadrados mágicos ha estado siempre presente en la matemática
recreativa. No sólo su propiedad fundamental, “la suma de todos los números de cada fila, de
cada columna y de cada diagonal es constante”, sino que algunos de los métodos ideados para
su construcción son tan ingeniosos que merecen el apelativo de “mágicos”.
Los cuadrados mágicos han estado presentes en todas las épocas y culturas del conocimiento
humano, han sido objeto de veneración religiosa, se han utilizado como elementos mágicos y
místicos, han merecido un lugar destacado en diversas manifestaciones artísticas e industriales
e, incluso, han despertado el interés entre los más ilustres matemáticos a lo largo de la histo-
ria, no sólo por su componente recreativa o didáctica. Algunos de los resultados matemáticos
relativos a los cuadrados mágicos tienen aplicaciones importantes a diversos campos del
conocimiento científico.
Sin pretender aportar nuevas propiedades de estos elementos matemáticos, ofrecemos aquí
una exposición de algunas de sus peculiaridades y características principales y describiremos
algunas aplicaciones que justifiquen su apelativo de “mágicos”, no en el contexto de la magia
mística sino en el del ilusionismo. Este enfoque puede proporcionar una nueva manera de
introducir contenidos matemáticos en programas didácticos y divulgativos en diferentes etapas
de la formación educativa.
1. INTRODUCCIÓN
Por definición, un cuadrado mágico de orden n es un tablero cuadrado formado por n filas
y n columnas en las que se escriben los n2
primeros números naturales, de modo que sea
constante la suma de los números de cualquier fila, cualquier columna y cualquiera de las dos
diagonales.
No es un ejercicio difícil determinar que dicho valor constante, llamado constante mágica, es
igual a n(n2
+1)/2. Para obtener este resultado, basta dividir por n la suma de los n2
primeros
números naturales.
En un contexto más general, utilizamos también el término cuadrado mágico incluso si se eli-
mina la restricción de que la matriz esté formada por los n2
primeros números naturales.
Un caso particular de estos cuadrados mágicos generales, que se han puesto de moda con el
popular pasatiempo llamado SUDOKU, lo constituyen los cuadrados latinos. Un cuadrado
latino de orden n es un tablero cuadrado formado por n filas y n columnas en las que se escri-
ben n números distintos pero dispuestos de modo que cada número aparece una y sólo una
vez en cada fila y columna.
1 2 3
Ejemplo de cuadrado latino de orden 32 3 1
3 1 2
(*) Dpto. Matemáticas, Universidad del País Vasco.

Es famoso el problema de los oficiales propuesto por Leonhard Euler en 1779, el cual ha sido
origen de importantes resultados en Combinatoria y Teoría de Grafos, así como en diseño de
experimentos estadísticos. El problema, cuya respuesta es negativa, se plantea como sigue:
"De cada uno de seis regimientos distintos se escogen seis oficiales de distinto rango, por
ejemplo general, coronel, capitán, teniente, alférez y sargento. Queremos colocar los 36 ofi-
ciales en seis filas de seis personas cada una de manera que en ninguna fila y ninguna columna
haya dos oficiales del mismo rango ni del mismo regimiento. ¿Es posible dicha disposición?"
En su aspecto recreativo, es también muy conocido el solitario de los naipes, cuya solución
animamos a descubrir. Su planteamiento es el siguiente:
"De una baraja se extraen las cuatro figuras, sota, caballo, rey y as de todos los palos. Se
pide colocar las 16 cartas formando un cuadrado 4 x 4 de modo que cada fila y columna
contenga únicamente una carta de cada valor y de cada palo".
2. ASPECTOS HISTÓRICOS
Los cuadrados mágicos se conocen desde la antigüedad (año 2800 a.C.) por los chinos. Se dice
que su origen se remonta a la leyenda del “Lo Shu” (Shu significa libro en chino):
En una época pasada, grandes inundaciones asolaron una región de China. Los pobladores
intentaron apaciguar la cólera del río Lo (el actual río Amarillo) ofreciendo sacrificios, pero no
lograron dar con la cantidad adecuada hasta que observaron una tortuga que llevaba en la con-
cha unos símbolos en forma de cuadrado mágico 3 x 3, con lo que dedujeron que el número
adecuado era precisamente el 15, suma de todas las filas, columnas y diagonales.
4 9 2
3 5 7
8 1 6
Los chinos dieron un entorno místico a esa figura pues asignaron, a los números, los princi-
pios básicos de la vida: los números pares simbolizaron el principio yin, de lo femenino, y los
impares el principio yang, de lo masculino. El centro del cuadrado está ocupado por el 5), que
simboliza la Tierra y representa el equilibrio entre el yin y el yang pues pertenece a las filas, a
las columnas y a las diagonales. En los lados se representan los cuatro elementos principales:
los metales (4 y 9), el fuego (2 y 7), el agua (1 y 6) y la madera (3 y 8).
En el Renacimiento se utilizaron cuadrados mágicos con fines terapéuticos. Por esto, como
amuleto para ahuyentar la melancolía, los astrólogos de la época “recetaban” cuadrados mági-
cos de orden cuatro. Muestra de ello es la pintura del alemán Alberto Durero, quien puso un
cuadrado mágico de cuarto orden en posición dominante en su grabado Melancolía.
Otros tipos de cuadrados mágicos no corrieron la misma suerte pues era de mal augurio estar
en posesión de ellos. Algunos eran “diabólicos” pues, al intercambiar algunas filas o columnas,
se mantienen sus propiedades. Otros eran “satánicos” porque seguían siendo un cuadrado
mágico cuando se elevaba cada uno de sus números al cuadrado o al cubo.
Los pueblos árabes atribuían a los cuadrados mágicos propiedades misteriosas. A partir de una
obra de un autor anónimo árabe del siglo XI, que se conserva en Estambul, Jacques Sesiano
ha realizado en 1996 la reproducción, traducción y comentarios que se muestran en el libro
108
Pedro Alegría
SIGMA Nº 34 • SIGMA 34 zk.

La magia de los cuadrados mágicos
titulado Un traité médiéval sur les carrés magiques, cuya tapa mostramos. El libro explica los
métodos generales de construcción de cuadrados mágicos de cualquier dimensión.
Se trata del texto más antiguo que se conserva sobre el estudio sistemático de los cuadrados
mágicos.
La introducción de los cuadrados mágicos en Europa se produjo en el siglo XIV a través de los
árabes por intermedio del monje griego Manuel Moschopoulos, quien publicó un libro basado
en los descubrimientos del matemático árabe Al-Buni. También aquí fueron considerados
como amuletos y talismanes contra diversas enfermedades.
Una teoría completa de construcción de cuadrados mágicos ya aparece en el tratado Ganita-
Kaumudi (año 1356) del matemático hindú Narayana Pandit.
En el siglo XVI aparece la obra de Cornelius Agrippa,
De occulta Philosophia, escrita en 1533. En ella se cons-
truyen cuadrados mágicos de órdenes 3 a 9, llamados
tabulae Saturni, Jovis, Martis, Solis, Veneris, Mercurii y
Lunae, cada uno de ellos asociado a uno de los siete
planetas conocidos (incluyendo el Sol y la Luna). La
imagen “Tabula Saturni” de dicha obra corresponde a un
cuadrado de orden 3 y de constante 15, como muestra
la figura adjunta.
En 1838 aparece la obra de B. Violle Traité complet des carrés magiques pairs et impairs, sim-
plex et composés, a bordures, compartiments, chassis, équerre, etc., suivi d’un traité des cubes
magiques, en dos volúmenes. El libro ha sido digitalizado y puede encontrarse en http://books.
google.es/books?id=5kADAAAAQAAJ.
Los cuadrados mágicos han utilizado en diferentes manifestaciones artísticas, como muestran
los siguientes ejemplos.
En la fachada del templo Parashvanatha en la ciudad india de
Khajuraho se encuentra el cuadrado mágico de la figura, cuya cons-
tante mágica es 34:

110
Pedro Alegría
Este es un cuadrado mágico pandiagonal, es decir en el que también es constante la suma de
los números de las diagonales secundarias.
La imagen que mostramos a continuación es un grabado en cobre titulado Melancolia de
Alberto Durero, y muestra un cuadrado mágico en el cual aparece la fecha de finalización
del cuadro, 1514. Otras informaciones indican que la última fila contiene incluso la fecha de
fallecimiento de su esposa, día 4 del año 1514, mes 1 (Enero).
En dicho cuadrado existen hasta 86 diferentes combinaciones de cuatro números cuya suma
es el número mágico 34. Pero tiene más propiedades mágicas: la suma de los cuadrados de
los números de las dos primeras filas (o columnas) es igual a la suma de los cuadrados
de los números de las dos últimas filas (o columnas). Además, la suma de los cuadrados de los
números de filas (o columnas) alternadas (primera y tercera, segunda y cuarta) es la misma.
Otro hecho asombroso es que la suma de los cuadrados de los números situados sobre las dia-
gonales es igual a la suma de los cuadrados de los números no situados sobre las diagonales,
propiedad que también se cumple con los cubos.
El siguiente cuadrado mágico fue diseñado por el escultor Josep Subirachs para la fachada de
la Pasión de la Sagrada Familia:
Su característica principal consiste en que la suma de las filas y columnas es 33, la supuesta
edad de Cristo en el momento de su muerte.

Se trata a su vez de un cuadrado supermágico, pues es innumerable la cantidad de combina-
ciones que pueden realizarse para conseguir la misma suma.
Los cuadrados mágicos han aparecido también en el arte figurativo. La escultura que mos-
tramos en la figura adjunta es obra del artista Patrick Ireland y se encuentra en el jardín de
la galería de arte de Eaton en West Palm Beach, Florida. Representa un cuadrado mágico de
orden 3 en el que los números se han sustituido por bloques de diferentes tamaños.
Métodos generales de construcción de cuadrados mágicos se deben a Bachet, La Loubère,
Meyer, Conway y muchos otros. Posteriormente ilustraremos algunos de sus métodos. Todavía
actualmente se estudian sus propiedades y se obtienen clasificaciones generales. Éduard Lucas
bautizó con el nombre de cuadrados diabólicos a cuadrados mágicos con propiedades adicio-
nales muy sorprendentes.
Solamente existe un cuadrado mágico (salvo simetrías y rotaciones) de orden tres, 880 cuadra-
dos mágicos de orden cuatro (descritos en su totalidad por Bérnard Frenicle de Bessy en 1693)
y 275.305.224 cuadrados mágicos de orden 5, número obtenido por Richard Schroeppel
mediante un programa de ordenador en 1973. El número de cuadrados mágicos crece consi-
derablemente al aumentar el orden, pero no se conoce una fórmula general para determinar
el número de cuadrados mágicos de cualquier orden.
Los cuadrados mágicos ilustran de forma atractiva propiedades aritméticas así como de facto-
rización de enteros. Su teoría y métodos de construcción pueden aplicarse en la resolución de
sistemas de ecuaciones con muchas incógnitas.
3. JUEGOS DE MAGIA CON CUADRADOS MÁGICOS
En esta sección presentamos algunos juegos relacionados con cuadrados numéricos con pro-
piedades mágicas y mostramos algunos métodos ingeniosos de construcción de cuadrados
mágicos. Su interés no se limita a su característica recreativa sino que presentan valiosas cua-
lidades pedagógicas.
3.1 Calendarios mágicos
El siguiente juego de adivinación con un calendario se basa en una propiedad de los cuadra-
dos que contienen números dispuestos en orden creciente. Aunque no sean cuadrados mági-
cos propiamente dichos, contienen una constante mágica que es la suma de ciertos valores de
los cuadrados.
El desarrollo del juego es el siguiente:
• Busca un calendario y escoge cualquier mes.

112
Pedro Alegría
• Forma un cuadrado de tamaño 4 x 4. Se muestra un ejemplo en la figura siguiente.
• Encierra en un círculo cualquier número del cuadrado elegido y tacha todos los números
de su misma fila y columna.
• Encierra en un nuevo círculo cualquier número no tachado y tacha todos los que se
encuentren en su misma fila y columna.
• Repite el proceso hasta que queden seleccionados cuatro números.
• Suma los cuatro números seleccionados.
Una vez conocida la suma, es posible saber rápidamente los números que forman el cuadrado
elegido.
Solución: Al dividir por cuatro el resultado final y restar 12 al cociente se obtiene el extremo
superior izquierdo del cuadrado elegido. Es fácil ahora deducir el resto de números teniendo
en cuenta las características de los calendarios.
Resultados similares pueden obtenerse utilizando cuadrados de distintos tamaños. Para ello
han de aplicarse las propiedades de las progresiones aritméticas y sus sumas. Por ejemplo, si
se utiliza un cuadrado 3 x 3, se divide por tres el resultado final y se resta cuatro para obtener
el número superior izquierdo del cuadrado.
3.2 Cuadrado mágico reversible
Como una variante del juego anterior se puede realizar la predicción inversa, en la que se adi-
vina la suma de los números elegidos por el espectador. El juego que describimos a continua-
ción es original de Walter Gibson (1938) y modificado posteriormente por Maurice Kraitchik
(1942).
Sigue las siguientes instrucciones:
• Dibuja un cuadrado de tamaño 4 x 4 y rellena todos los cuadros con las cifras 1 al 16,
siguiendo el orden natural.
• Selecciona un número cualquiera del cuadrado y tacha los demás números que estén en
la misma fila y columna que el número señalado.
• Repite esta operación cuatro veces (a la cuarta ocasión sólo puedes elegir un único
número, pues todos los demás ya han sido elegidos o tachados).

• Finalmente, suma esos cuatro números.
A pesar de la total libertad de elección, el resultado de la suma es 34.
Explicación: Basta observar que cada uno de los cuatro números seleccionados está en una fila
y columna diferentes. Además la suma de ellos es la misma que la suma de los números en la
diagonal principal (llamada traza de la matriz):
1 + 6 + 11 + 16 = 34.
Veamos por qué:
Partimos por ejemplo de la suma de los números de la primera fila
1 + 2 + 3 + 4 = 10.
Si cambiamos uno de ellos por el correspondiente de la segunda fila, la suma aumenta en 4;
al cambiar otro de ellos por el correspondiente de la tercera fila, la suma aumenta en 8; y al
cambiar el restante por su correspondiente de la cuarta fila, la suma aumenta en 12. En defi-
nitiva, independientemente del elemento que cambiemos, la suma total será
10 + 4 + 8 + 12 = 34.
Toda disposición cuadrada con estas características recibe el nombre de cuadrado mágico
reversible. Posee las siguientes propiedades generales:
1. La suma de dos números situados en esquinas opuestas de cualquier diagonal es igual a
la suma de los dos números de las esquinas en la diagonal opuesta.
2. La suma de los dos extremos en cualquier fila o columna es igual a la suma de los dos
números interiores de dicha fila o columna.
Los cuadrados reversibles pueden construirse de la siguiente forma general:
• Elegir un número.
• Descomponerlo en ocho sumandos.
• Formar la tabla de sumar con los sumandos.
• El resultado de sumar cuatro números de distinta fila y columna es independiente de las
filas y columnas escogidas.
Ejemplo. Para construir un cuadrado mágico reversible cuya suma sea 30, podemos hacer la
descomposición
30 = 2 + 5 + 10 + 1 + 3 + 6 + 1 + 2
y formar la tabla siguiente:
Por último se eliminan los números que encabezan las filas y las columnas y el cuadrado que
resulta tiene la característica deseada.
Este método permite construir cuadrados reversibles con cualquier número de filas y colum-
nas. Basta seguir las indicaciones anteriores descomponiendo el número mágico en más o
menos sumandos.

114
Pedro Alegría
3.3 Cuadrado mágico instantáneo
Este juego, original de Royal V. Heath y publicado por John Hilliard en el libro Greater Magic,
permite simular gran habilidad en la construcción de un cuadrado mágico cuya suma cons-
tante sea elegida por un espectador.
Para realizar el juego, pide a un espectador que nombre un número cualquiera, entre 23 y 100.
A continuación, escribe en una hoja de papel una tabla cuadriculada de tamaño 4 x 4 y, rápi-
damente, rellena cada cuadro con los siguientes números:
Observa que la mayoría de cuadros contiene un valor fijo, independiente de la elección del
número. Sólo hay cuatro números que dependen del resultado deseado. Si llamamos N al
número elegido, para conseguir un cuadrado mágico con constante igual a N, sustituye los
valores “a”, “b”, “c” y “d” por N – 20, N – 21, N – 18 y N – 19, respectivamente.
Por ejemplo, si el número elegido es N = 31, la tabla quedaría así:
Se puede comprobar que es un cuadrado mágico, pues la suma de las filas, las columnas y las
diagonales es igual a N. Además se trata de un cuadrado pandiagonal pues también es igual
a N la suma de los valores de las diagonales secundarias. Más aún, es un cuadrado perfecto,
pues muchas otras combinaciones de cuatro números suman N. Invitamos a descubrir las más
de 30 combinaciones de números con los que se llega al mismo resultado.
3.4 Cuadrado mágico casi instantáneo
El juego anterior tiene dos inconvenientes: si el número elegido es demasiado alto, hay una
gran discrepancia entre los valores de los números que forman el cuadrado; además, el juego
no puede repetirse porque la mayoría de los números son siempre los mismos. La siguiente
versión permite disimular aún más el principio utilizado.
Aprende de memoria el siguiente cuadrado mágico cuya suma es 30:

A continuación, pide a un espectador que nombre cualquier número, que llamaremos N.
Realiza secretamente la siguiente operación: C = (N – 30)/4.
Si la división es exacta, construye rápidamente un cuadrado sumando C a todos los elementos
del cuadrado original que has memorizado. Se obtiene así un cuadrado mágico cuya suma es
el número elegido por el espectador.
Si la división no es exacta, suma C a todos los elementos del cuadrado original y además suma
el resto de dicha división a los números en negrita (los mayores que 11). Nuevamente has
obtenido un cuadrado mágico con el número elegido por el espectador.
Por ejemplo, si el número elegido es N = 75, se obtiene el valor C = 11 y el resto es 1. El cua-
drado mágico que se obtiene es
3.5 Cuadrado mágico del cumpleaños
Mostramos a continuación la forma de construir un cuadrado mágico personalizado con la
fecha de nacimiento de cualquier persona. El juego es original de Leslie Vincent y ha sido
publicado por Alan Shaxon en la revista mágica Linking Ring.
El desarrollo del juego es el siguiente:
1. Pide a una persona que nombre la fecha de su cumpleaños. Para seguir las explicaciones,
supongamos que se trata del 12 de marzo de 1957.
2. Escribe en una hoja de papel estos datos: 12/03/57. Mientras tanto, calcula mentalmente
3 · (D + M + A) y anuncia que se trata de su número mágico.
3. Construye un cuadrado mágico de tamaño 3 x 3 en base a la siguiente distribución:
Las cantidades a escribir en cada cuadro son las siguientes:
X1 = A (57)
X2 = X1 + D (57 + 12 = 69)
X3 = X2 + D (69 + 12 = 81)
X4 = X1 + M (57 + 03 = 60)
X5 = X4 + M (60 + 03 = 63)
X6 = X2 + M (69 + 03 = 72)
X7 = X6 + M (72 + 03 = 75)
X8 = X3 + M (81 + 03 = 84)
X9 = X8 + M (84 + 03 = 87)

116
Pedro Alegría
Se puede comprobar que el cuadrado obtenido es mágico y que la constante mágica es preci-
samente el valor indicado desde el principio.
En el ejemplo propuesto, el cuadro final queda de la forma:
Explicación: El método utilizado asegura que se trata de un cuadrado mágico de suma cons-
tante 3D + 3M + 3A. Basta observar el cuadrado siguiente, con los valores indicados en cada
casilla.
Otro cuadrado mágico, relacionado con el cumpleaños, puede realizarse de la siguiente
manera:
1. Un espectador nombra su fecha de nacimiento. Seguiremos de nuevo las explicaciones
con el 12 de marzo de 1957.
2. Anuncia que a dicha fecha le corresponde el número de la suerte 91. En el caso general,
dicho número se obtiene sumando los valores día + mes + dos primeras cifras del año de
nacimiento + dos últimas cifras del año de nacimiento. No digas la operación que has
realizado para obtener el número de la suerte.
3. Dibuja un cuadrado de tamaño 4 x 4 y escribe en la primera fila los cuatro números
citados, donde A = día, B = mes, C = dos primeras cifras del año, D = dos últimas cifras
del año. Termina de construir el cuadrado teniendo en cuenta las reglas siguientes:
Es fácil comprobar que se trata de un cuadrado mágico con la constante anunciada.
3.6. Sudoku relámpago
El matemático y mago austriaco Werner Miller, autor de muchos juegos de magia matemática,
ha ideado un método de construcción de un sudoku bajo condiciones aparentemente muy
restrictivas. Sigue las indicaciones que describimos a continuación.

Asegura al público que tienes gran habilidad en realizar un SUDOKU de forma extraordina-
riamente rápida y con la configuración inicial que elija un espectador.
Para demostrarlo, enseña un tablero de SUDOKU en blanco, como el que se muestra a con-
tinuación.
Pide a un espectador que escriba los números del 1 al 9, en el orden que prefiera pero sin
repetir, en las nueve casillas sombreadas.
Supongamos, por ejemplo, que el espectador escribe los números siguientes:
A partir de los números ya escritos, para rellenar todo el cuadro, realiza los siguientes pasos:
1. Escribe todos los números de la columna central siguiendo la dirección de las flechas de
la siguiente figura:

118
Pedro Alegría
2. De forma similar, escribe todos los números de la fila central siguiendo las flechas de la
siguiente figura:
3. Completa el resto del cuadro escribiendo todas las filas de modo que se mantenga el
orden cíclico basado en la fila central, tomando como referencia los números ya escritos
de la columna central. En nuestro caso, para la primera fila escribiremos los valores 9-2-
5-7 a partir del 3 y los valores 8-1-4-6 delante del 3. Quedaría así:
Realizando el mismo proceso con el resto de las filas, es fácil completar el cuadro y comprobar
que, efectivamente, se trata de un SUDOKU válido (cada fila, columna y cuadrado de tamaño
3 x 3 contiene todos los números sin repeticiones).
Como se observa fácilmente, con esta construcción no se cumple la condición de unicidad del
SUDOKU, ya que existen muchas soluciones con los mismos datos iniciales. Simplemente, la
disposición inicial permite una construcción rápida y sencilla de todo el cuadrado.

4. MÉTODOS DE CONSTRUCCIÓN DE CUADRADOS MÁGICOS
A simple vista, la construcción de un cuadrado mágico de orden n requiere la resolución de
un sistema de 2n+2 ecuaciones, n para las filas, n para las columnas y dos para las diagona-
les, de modo que podrían aplicarse los métodos de resolución de sistemas lineales. Es fácil
deducir que este planteamiento requiere realizar una gran cantidad de cálculos y muchas de
las incógnitas no están unívocamente determinadas. Por esta razón, a lo largo de la historia
se han ido desarrollando métodos alternativos de construcción de cuadrados mágicos más o
menos ingeniosos.
En el ya mencionado libro Ganita-Kaumudi, Narayana clasifica los cuadrados en grupos de
lados 4n, 4n + 1, 4n + 2 y 4n + 3. También muestra métodos generales de construcción en
algunos de los grupos y métodos particulares para otros, como el del movimiento del caballo
de ajedrez para los cuadrados de orden 4n. En esta sección mostraremos algunos de los méto-
dos más sencillos para construir cuadrados mágicos de cualquier orden.
4.1 Cuadrados de orden impar
• Método “Lozenge” de Conway
1. Se selecciona el rombo central (en el ejemplo está señalado con el símbolo “X”).
2. Se va rellenando dicho rombo (de abajo arriba y de izquierda a derecha) con núme-
ros impares consecutivos.
3. Se continúa rellenando las diagonales (siempre de abajo arriba) con números pares con-
secutivos bordeando el rombo inicial (y pasando al cuadro inferior como continuación
del cuadro superior, así como al cuadro izquierdo como continuación del derecho).

120
Pedro Alegría
Primera diagonal extendida: Segunda diagonal extendida:
Sucesivas diagonales extendidas:
• Método siamés (también llamado método hindú o de La Loubère).
1. Se escribe el número 1 en la fila central de la primera columna (o en la columna
central de la primera fila).
2. Mediante un recorrido diagonal (hacia la derecha y hacia arriba) se rellenan los
cuadros libres con números consecutivos (continuando en la fila inferior al llegar a
la fila superior). Se acaba al llegar al punto de partida.
3. Desde el último número escrito, se desplaza hacia abajo un cuadro y se continúa
recorriendo la diagonal de la misma forma.

4. Se repite el proceso anterior hasta completar el cuadrado.
Es también clásico el método de Bachet, explicado por ejemplo en el libro Problemas y
Experimentos Recreativos de Yakov Perelman.
4.2 Cuadrados de orden n = 4k
• Método de los nueve bloques (que ilustraremos con el ejemplo 8 x 8).
1. Se numeran todos los cuadros con los números 1 al 64, consecutivamente de
izquierda a derecha y de arriba abajo.
2. Se divide el cuadrado en nueve bloques (que llamaremos A, B, C, D, E, F, G, H, I,
ordenados de izquierda a derecha y de arriba abajo):

122
Pedro Alegría
En general, los bloques A, C, G, I son de tamaño n/4 x n/4; B, H son de tamaño n/4 x n/2; D,
F de tamaño n/2 x n/4; y el bloque E de tamaño n/2x n/2.
3. Se dejan en los bloques alternos A, C, E, G, I los números escritos inicialmente.
4. Los números de los bloques B, D, F y H se sustituyen por los simétricos respecto al
centro del cuadrado:
• Método de inversión de las diagonales (explicado con el ejemplo 8 x 8).
1. Se numeran todos los cuadros con los números 1 al 64, consecutivamente de
izquierda a derecha y de arriba abajo.
2. Se divide el cuadrado en cuatro bloques de tamaño 4 x 4 (en general serán k bloques
de tamaño 4 x 4) y se trazan en cada bloque las dos diagonales.

3. Se dejan en su lugar todos los números de los cuadros no cortados por dichas diagonales.
4. En el resto de cuadros, se sustituye cada número por su simétrico respecto al centro
del cuadrado.
Observación. Los cuadrados de Durero y Subirachs son variantes del cuadrado obtenido por
este método. Una vez obtenido el cuadrado

124
Pedro Alegría
basta intercambiar las columnas dos y tres para que aparezca la fecha deseada por Durero en
las columnas centrales de la última fila.
Si ahora realizamos una rotación de 180º, llegamos al siguiente:
Restamos una unidad a los elementos (1,3), (2,1), (3,2) y (4,4), para no perder la característica
mágica y disminuir en una unidad la constante:
El cuadrado es ahora el representado en la Fachada de la Pasión de la Sagrada Familia.
4.3 Cuadrados de orden n = 4 k + 2
Método LUX de Conway
1. Se construye un cuadrado de tamaño (2k+1) x (2k+1), escribiendo la letra “L” en las k+1
primeras filas, la letra “U” en la fila siguiente y la letra “X” en las k-1 últimas filas.
2. Se intercambia la “L” central con la “U” que está debajo de ella.
3. Se construye el cuadrado mágico de orden 2k+1 siguiendo el recorrido del método
siamés en el cuadrado de letras (empezando en la letra central de la fila superior), de la
forma siguiente:
Se sustituye cada letra por un cuadrado 2 x 2 llenando los cuadrados con el siguiente grupo
de cuatro números consecutivos usando el esquema indicado por la letra.
Los esquemas “L”, “U”, “X” son

L: U: X:
4 1 1 4 2 3
2 3 1 4 3 2
Ejemplo n = 10 (k = 2).
PASOS 1 Y 2:
PASO 3:
Primer desdoble Segundo desdoble
Primera diagonal

126
Pedro Alegría
Resultado final
Para finalizar, enunciaremos sin demostración algunas propiedades mediante las cuales pue-
den construirse cuadrados mágicos a partir de otros ya construidos.
1. Si se suma o resta el mismo valor a todos los números de un cuadrado mágico, el resul-
tado es otro cuadrado mágico.
2. Si se multiplica o divide por el mismo valor a todos los números de un cuadrado mágico,
el resultado es otro cuadrado mágico.
3. Si se suman los términos correspondientes de dos cuadrados mágicos, el resultado es otro
cuadrado mágico.
4. Si en un cuadrado mágico se intercambian dos filas y después dos columnas de modo
que las cuatro estén a la misma distancia del centro, el resultado es otro cuadrado
mágico.
5. Si se divide un cuadrado mágico de tamaño par en cuatro cuartos iguales y se cam-
bian simultáneamente –y sin girar– los cuartos opuestos, el resultado es otro cuadrado
mágico.
Por último, una curiosidad: el desarrollo decimal de la fracción 1/19 tiene un periodo formado
por 18 cifras. Las sucesivas fracciones de denominador 19 contienen las mismas cifras en el
mismo orden cíclico y, con ellas, puede construirse el siguiente cuadrado mágico (de suma 81):
1/19 = 0,052631578947368421 10/19 = 0,526315789473684210
2/19 = 0,105263157894736842 11/19 = 0,578947368421052631
3/19 = 0,157894736842105263 12/19 = 0,631578947368421052
4/19 = 0,210526315789473684 13/19 = 0,684210526315789473
5/19 = 0,263157894736842105 14/19 = 0,736842105263157894
6/19 = 0,315789473684210526 15/19 = 0,789473684210526315
7/19 = 0,368421052631578947 16/19 = 0,842105263157894736
8/19 = 0,421052631578947368 17/19 = 0,894736842105263157
9/19 = 0,473684210526315789 18/19 = 0,947368421052631578

De hecho, este cuadrado es el más pequeño que se puede construir con los decimales de una
fracción periódica. El siguiente cuadrado mágico que se puede construir a partir de un número
cíclico corresponde a la parte periódica de 1/383.
Este cuadrado fue diseñado por Harry A. Sayles como observa W. S. Andrews en su libro,
Magic Squares and Cubes, publicado en 1917.

128
Pedro Alegría
PARA SABER MÁS
[1] Berlekamp, E., Conway, J., y Guy, R., 1982: Winning Ways for your Mathematical Plays.
[2] Carlavilla, J. L., y Fernández, M., 2000: Cuadrados Mágicos. Proyecto Sur de Ediciones.
[3] Dörmann, M., The Perfect Magic Square.
members.aol.com/mdormann/tricks/vernon.html
[4] Dyment, D., How to construct a forcing matrix.
www.oratory.com/deceptionary/aboutmatrices.html
[5] Gardner, M., 1988: Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas. Labor.
[6] Gardner, M., 2001: Training the Mind and Entertaining the Spirit.
[7] Giraldo, C., Matemática Insólita.
matematicainsolita.8m.com/Index.html
[8] Heinz, H., Magic Squares, magic stars and other patterns.
www.geocities.com/~harveyh/index.htm
[9] Lucas, É., 2008: Cuadrados Mágicos de Fermat. RBA.
[10] Molina, M., Cuadrados mágicos.
www.geocities.com/cuadradosmagicos/
[11] Perelman, Y., Experimentos maravillosos.
www.geocities.com/problemasyexperimentos/cap22em.html
[12] Simon, W., 1964: Mathematical Magic.
[13] Zimmerman, G., About the Subirachs Magic Square, en
www.markfarrar.co.uk/gzimmerman01.htm

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