La secuencia de Fibonacci, la enigmática serie de números que está en todas partes

Se trata de la serie de números más enigmática de la historia de las matemáticas, y aparece una y otra vez en la naturaleza, en el arte y en la literatura. Es conocida como “los números de Fibonacci”, en honor a su descubridor, un matemático medieval nacido en la ciudad de Pisa y autor de diversos manuales dedicados al cálculo, el álgebra y los números fraccionarios.

Hijo de un comerciante, Fibonacci aprendió a aplicar el sistema de numeración decimal a los pesos, las medidas, la contabilidad comercial y los cambios de moneda. Todo lo que descubrió durante dos años fue recopilado en un manual denominado Liber abaci (Libro del ábaco o de los cálculos) que publicó en el año 1202, cuando solo tenía 32 años. Es en este libro donde aparece escrita por primera vez la sorprendente secuencia de números que ha sido objeto de estudio a lo largo de los siglos.

Números mágicos

La famosa serie numérica surge como respuesta a uno de los problemas matemáticos que se plantean en el libro. El enunciado del problema reza más o menos así: “Imaginemos que una pareja de conejos, macho y hembra, viven encerrados en una granja. Supongamos que los conejos comienzan a procrear cuando tienen dos meses de edad y que cada pareja de conejos engendra todos los meses otra pareja formada por un macho y una hembra. ¿Cuántas parejas de conejos encontraremos al cabo de un año en esta granja?”.

Para resolver el problema, Fibonacci trazó una sencilla gráfica de dos ejes. En un eje aparecía el número de meses y en el otro eje el número de parejas de conejos.

El primer y segundo mes habría solo una pareja de conejos. El tercer mes ya serían dos las parejas existentes. El cuarto mes los padres tendrían otra pareja y los hijos todavía no, por lo tanto, serían tres los pares. El quinto mes, se produciría el primer parto de los hijos y otro más de los padres, con lo que las parejas que corretearían por la granja ya serían cinco. A partir de aquí no hay más que seguir el proceso para ir calculando la cifra de roedores durante los siguientes meses.

De esta manera, se va formando la serie: primer mes, una pareja; segundo mes, una pareja; tercer mes, dos parejas; cuarto mes, tres parejas; quinto mes, cinco parejas; sexto mes, ocho parejas… La sucesión resultante es: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144.

Lo que quiere decir que, al cabo de un año, la granja estaría habitada por 144 parejas de conejos. Esta era la solución al problema. Todo hubiera quedado como un simple pasatiempo sin importancia si no fuera porque la serie numérica que apareció escrita en el segundo eje de la gráfica resultó tener propiedades asombrosas.

La primera de estas propiedades es que podemos averiguar cada nuevo número de la serie simplemente sumando los dos últimos. También es sorprendente que en toda la serie los números consecutivos son primos entre sí.

Pero quizás la propiedad más fascinante aparece cuando vamos dividiendo cada número de la sucesión por el inmediatamente anterior. Cuanto más avanzamos en la serie, el resultado de este cociente se acerca cada vez más al 1,618033…, el conocido como número Phi o número de oro, precisamente el que determina la proporción áurea o divina proporción.

Por eso, si hacemos una composición geométrica de cuadrados cuyos lados tengan la misma medida que los números de Fibonacci y los vamos colocando de menor a mayor tamaño, podemos trazar una espiral, que también se conoce como proporción áurea, y que funciona de maravilla en composiciones pictóricas o fotográficas.

Los números de Fibonacci en la naturaleza

Sólo con observar la naturaleza, encontramos los números de Fibonacci por todas partes. La gran mayoría de las especies vegetales parecen crecer siguiendo la sucesión de Fibonacci: un tronco se divide en una rama grande, esta rama se divide en dos, luego, cada una de ellas se divide en tres ramas más pequeñas, y así sucesivamente.

Nuestro propio cuerpo también parece seguir este patrón: un tronco, una cabeza, dos brazos, cada uno de los cuales se divide en tres partes: brazo, antebrazo y mano, de la que a su vez salen cinco dedos: 1, 1, 2, 3, 5.

Hay muchos más ejemplos. Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con la sucesión de Fibonacci. Cualquier variedad de piña presenta siempre espirales que coinciden con dos términos de la sucesión de los conejos de Fibonacci, 8 y 13 o 5 y 8. Los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144. Las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y 34 espirales.

Los números de Fibonacci no solo se hallan inscritos en la armonía de la naturaleza sino también en la belleza creada por el hombre. Por ejemplo, los encontramos en algunas obras musicales. En la Quinta sinfonía de Beethoven se puede observar cómo el tema principal está separado por un número de compases que pertenece a la sucesión de Fibonacci. Relaciones matemáticas de este estilo se han encontrado también en la coral situada al final de Die Kunst der Fuge de Johann Sebastian Bach y en varias sonatas de Mozart.

Un buen asesor bursátil

Pero seguramente el campo en el que los números de Fibonacci tienen una mayor importancia en nuestros días es el de los mercados financieros. La serie se aplica a diario tanto para operar en bolsa como para fijar precios. Así que no nos equivocaremos si afirmamos que el matemático medieval es hoy en día uno de los más fiables asesores bursátiles.

Los denominados “retrocesos de Fibonacci” se calculan tras un movimiento al alza o a la baja en los mercados financieros. Si, tras dicho movimiento, la cotización comienza a darse la vuelta y a evolucionar en sentido contrario, estos niveles de Fibonacci actuarán como soporte o resistencia, según cada caso.

La sucesión de Fibonacci ha tenido intrigados a los matemáticos durante siglos, debido a su tendencia a presentarse en los lugares más inopinados. Pero, sobre todo, porque el más novato de los aficionados en teoría de números, aun con conocimientos que van poco más allá de aritmética elemental, puede aspirar a investigarla y a descubrir curiosos teoremas inéditos, de los que parece haber una variedad inagotable.