Son cuadrados mágicos aritméticos  un conjunto de números enteros, iguales o diferentes, colocados en casillas de un enrejado cuadrado de tal manera que la suma de los números en cada fila, columna o diagonal principal sea siempre la misma, ese número contante se denomina Constante del Cuadrado y el número de casillas de una fila o columna es el Orden del Cuadrado. No existen cuadrados mágicos aritméticos de orden dos, salvo aquellos en que todas las cifras de las celdas sean iguales y eso tiene poco de mágico.

Tradicionalmente se les imponía a los cuadrados mágicos aritméticos una condición extra, los números debían ser consecutivos e iniciar en el uno. Con estas combinaciones se les conoce como Cuadrados Mágicos Aritméticos Esotéricos, y se les atribuían propiedades mágicas. Por ejemplo, en el Renacimiento, los médicos y astrólogos de la época recetaban cuadrados mágicos de cuarto orden con fines terapéuticos, como una forma de que los pacientes ahuyentaran la melancolía y el aburrimiento [Claro que esto sólo servía a las clases altas que sabían leer y escribir, y que estaban aburridas de ver trabajar a los siervos; el pobre que debía trabajar para comer y que era analfabeta no tenía tiempo para estos juegos de solitarios]. Aquí está el origen del grabado de la «Melancolía» del alemán Alberto Durero, quien puso un cuadrado mágico de cuarto orden en la obra indicando incluso el año de la misma 1514. Se tiene que sólo existe un cuadrado esotérico de orden tres, en 1693  Frenicle De Bessy estableció que existen 880 cuadrados mágicos esotéricos de orden cuatro, hay 275.305.224 combinaciones posibles para el orden cinco, para ordenes mayores sólo existen estimaciones, así que si había ejercicio mental en encontrar tantas posibilidades para el orden cuatro como sujerían los médicos de la epoca.

Los cuadrados aritméticos esotéricos reciben el nombre de Cuadrados diabólicos si además de las diagonales principales, el resto de las diagonales quebradas suman el número mágico. El cuadrado mágico de Durero ha sido clasificado en esta categoría en virtud de que  aparecen muchas combinaciones regulares dentro del cuadrado que dan el número mágico, pero no cumple con esta condición extra para realmente ser considerado diabólico. También suele ser llamado cuadrado diabólico o satánico el cuadrado esotérico de orden seis, en virtud de que la suma de los números de 1 al 36 tiene por resultado 666, número asociado a la bestia (Satanás o el anticristo) en el Libro de las Revelaciones.

Se denominan cuadrados satánicos aquellos en los cuales los números del cuadrado esotérico al ser elevado a alguna potencia (2, 3, 4, 5,…) siguen siendo mágicos. También  llamados p-mágicos, por el grado de la potencia a la cual pueden ser elevados los valores de  tabla. El valor «p» es el orden de la potencia  mayor a la que son elevados los números; ello  implica que el cuadrado es un cuadrado mágico para valores de exponente «k » tales que 1<k<p+1; por ejemplo si es un tetra-mágico, los números de cada celda del cuadrado al ser elevado a potencias dos, tres y cuatro son también cuadrados mágicos.

El cuadrado «bi-mágico»  menor conocido es de orden ocho (ver el cuadrado en la figura inferior, siendo las constante de los cuadrados iguales a 260 (k=1) y 11180 (k=2)) y se supone que no hay cuadrados orden inferior a ocho, aunque no existe prueba concluyente de ello. Se han construido cuadrados tri-mágicos de órdenes 12, 32, 64, 81 y 128; (el único tri-mágico de orden 12 encontrado se señala abajo, siendo sus constantes mágicas 870 (k=1), 83.810 (k=2) y 9 082.800 (k=3)). El tetra-mágico menor encontrado es de orden 64 y el primer penta-mágico encontrado en 2003 es de orden 729. (Para autores de los descubrimientos y otros datos sobre estos p-cuadrados consultar aquí). [Gente  sin  oficio pensaría uno, claro el único logro es entrar en un libro de récords]