3.- Los conejos, la sucesión de Fibonacci y el número de oro

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PAREJA DE CONEJOS

Imagen: MEC-ITE

Supongamos que…

Supongamos que tenemos una pareja de conejos recién nacidos, deberán esperar un mes para poder reproducirse, teniendo una nueva pareja de conejitos. Así, al cabo de dos meses, serán dos las parejas: la inicial y la pequeñita. En el tercer mes la primera pareja se vuelve a reproducir, teniendo una nueva parejita, los pequeños no se reproducen porque aún deben madurar. En el cuarto mes ya hay dos parejas reproductivas y una inmadura, en total cinco.

 

Si seguimos la misma pauta, aparecerán los números que conforman la serie de Fibonacci, observa la siguiente imagen y la tabla donde recogemos los datos de más meses:

Sucesión Fibonacci

Fin de mes Pares de conejos recién nacidos Pares de conejos adultos Total de pares de conejos
0 1 0 1
1 0 1 1
2 1 1 2
3 1 2 3
4 2 3 5
5 3 5 8
6 5 8 13
7 8 13 21
8 13 21 34
9 21 34 55
10 34 55 89
11 55 89 144
12 89 144 233

Jugando con los términos de la sucesión de Fibonacci (que coinciden, como puedes observar con el total de pares de conejos) se obtendría una curiosa propiedad:

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Propiedad:

Al dividir cada término de la sucesión de Fibonacci entre el término anterior, se va obteniendo un cociente que cada vez se aproxima más y más al valor del número de oro.


Puedes verlo en esta tabla: (Tomamos como valor aproximado de phi, con una precisión de diez cifras decimales, al número 1,6180339887)

Cociente Diferencia en valor absoluto con phi Cifras decimales de aproximación a phi
1 : 1 = 1 0,61803398 ... 0
2 : 1 = 2 0,38196601 ... 0
3 : 2 = 1,5 0,11803398 ... 0
5 : 3 = 1, 66666666 ... 0,04863267 ... 1
8 : 5 = 1,6 0,01803398 ... 1
13 : 8 = 1, 625 0,00696601 ... 2
21 : 13 = 1,61538461... 0,00264937 ... 2
34 : 21 = 1,61904776 ... 0,00101363 ... 2
55 : 34 = 1,61764705 ... 0,00038692.... 3
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Muy importante:

Jamás podremos escribir con cifras el valor exacto de phi, al ser un número irracional, es decir, un número con infinitas cifras decimales no periódicas.

Por tanto cualquier valor que tomemos para phi no será más que una mera aproximación. Otros números irracionales famosos serían π, e, √2, etc...


Cuanto más prolonguemos esta tabla, veremos como el cociente está cada vez más próximo al valor de las primeras cifras decimales de phi. Los matemáticos tienen una forma peculiar de transcribir esta propiedad, sería algo así:

No te preocupes, es extraño pero sencillo de comprender, significaría que si seguimos dividiendo cada término de esta sucesión entre el anterior hasta el infinito (bueno, lo más que podamos), llegaremos al valor exacto de phi. Esto es lo que se llama un límite en el infinito… pero calma, no te lo pediremos... ¿o sí?...

Icono de IDevice de pregunta Pregunta de Elección Múltiple

Calculadora

Autoevaluación

¿Cuál es el valor del cociente, con diez cifras decimales, entre los términos vigésimo primero y vigésimo de la sucesión de Fibonacci? ¿A cuántas cifras decimales de phi nos aproximaremos?

  
aproximación a 7 cifras decimales de phi)
aproximación a 4 cifras decimales de phi)
(aproximación a 5 cifras decimales de phi)

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Para saber más…

En esta presentación tienes otros ejemplos de cómo, en muchos casos, la Naturaleza se comporta como un perfecto geómetra:

Armonía natural