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Mercurio y la precesión anómala del perihelio de su órbita

Como ya comentaba en el apartado de introducción a la relatividad general, una de las pruebas más valoradas de la validez de la Teoría general de la Relatividad es su capacidad de estimar correctamente La llamada "precesión anómala del perihelio de la órbita de los planetas", que se añadirá a la que se puede esperar por efecto de la atracción gravitatoria de los otros planetas del sistema solar.

Ya antes de que Einstein creara su teoría, se observaba que la órbita de Mercurio poseía una precesión de su perihelio, un avance girando del eje de la órbita, de unos 9,55 minutos de arco por cada 100 años terrestres, que fue achacado a los efectos de atracción de los otros planetas. Pero los cálculos con mecánica newtoniana daban un valor inferior al observado en aproximadamente 43,1 segundos de arco por siglo. Esto, que parece poco, es suficiente y no debería ocurrir para la precisión de las mediciones astronómicas.

Einstein con su teoría de la Relatividad General nos da una explicación de este fenómeno, obteniendo en primera aproximación una desviación del perihelio de la órbita de cualquier planeta acorde a la fórmula

que nos proporciona el exceso de la precesión por revolución, en radianes, siendo

a el semieje mayor de la órbita elíptica, ε la excentricidad de la órbita y T el tiempo de revolución en segundos .

.

Otra expresión habitual de esta fórmula es

siendo

x = GM/(ac²)

y también la fórmula

como aproximación aún peor, pues ni siquiera aparece la excentricidad en la expresión y por lo tanto es solo válida para órbitas casi circulares, y siendo L el semieje menor de la órbita (55,4430 Km para Mercurio) y m la masa del astro que genera el campo gravitatorio en unidades astronómicas (1,475 Km para el Sol =GM/c²) , lo que nos da 0,1034 segundos de arco por revolución de una órbita de Mercurio, que son 42,9195 segundos de arco por siglo, lo cual se acerca mucho a lo observado.

Esta expresión es calculable, por ejemplo siguiendo los pasos de Einstein, como nos lo muestran en http://www.mathpages.com/home/kmath598/kmath598.htm, o como suele hacerse en física moderna, tal como se ve en http://www.mathpages.com/rr/s6-02/6-02.htm.

Para una mejor comprensión del fenómeno, podemos a partir de la métrica de Schwarzschild llegar a la expresión de la aceleración radial en función del tiempo propio ((2) en http://www.mathpages.com/rr/s6-05/6-05.htm)

(con m definido arriba y r en unidades-luz, R/c) y como los dos primeros términos son la aceleración gravitacional clásica y la aceleración centrípeta clásica, el problema puede resumirse a una órbita elíptica tradicional más una perturbación radial en dirección al Sol de valor el tercer término.

Como esta aceleración extra del tercer término representa una fracción de 3m/r veces la aceleración centrípeta clásica, entonces su fuerza correspondiente será inversamente proporcional al radio al cubo, que ha de producir con bastante seguridad un avance del perihelio de la órbita.

    Se puede intentar la estimación del avance del perihelio para esa fuerza extra de 3m/r veces la clásica suponiendo que el eje de la órbita avanzará en esa fracción (3m/r) respecto a los 2π radianes clásicos de la órbita. Así los 3m/r multiplicados por 2π y cambiando r por L (el semieje menor) como aproximación, ya que el efecto de esta aceleración es mayor en el perihelio, nos dará exactamente la expresión antes citada

Esta deducción es muy burda y simple y no debe ser tomada más que como un intento intuitivo de aproximación, pues carece de fundamento matemático, pero puede ser útil para visualizar el contexto del problema. Pero la realidad es que el espacio-tiempo se deforma de modo que observamos esto, aunque realmente no exista fuerza alguna que atraiga ni desvíe.