Simulaciones numéricas de las ondas electromagnéticas en coordenadas nulas.

Jarrouj, Yoliano¹ Rosales, Luis² Serrano Orlando³

Área de Matemática UNEG, Puerto Ordaz.¹ yulianoj@yahoo.com

Laboratorio de Física Computacional UNEXPO, Puerto Ordaz.² luis.rosales@gmail.com

Área de Procesos Físicos Químicos UNEG Puerto Ordaz.³ oserrano@uneg.edu.ve

Resumen

En este trabajo se resolvió la ecuación de onda no lineal 3D para la evolución característica del campo electromagnético. Se Desarrolló un código tridimensional en Fortran 90, que fue calibrado hasta lograr la estabilidad y convergencia a segundo orden. El código desarrollado, permitió el cálculo preciso de los patrones de radiación electromagnética en el infinito. Como una aplicación se simuló la evolución no lineal de pulsos electromagnéticos asimétricos de radiación entrante que se propaga hacia la frontera del tubo mundo y se calculó la retrodispersión de la radiación electromagnética saliente.

Palabras Clave: Patrones de radiación electromagnética/ Evolución característica/ Simulaciones numéricas/ Ondas electromagnéticas/ Coordenadas nulas.

I. INTRODUCCIÓN.

El estudio de los campos de radiación es uno de los problemas que ocupa a gran parte de la comunidad científica de la física moderna y computacional. La teoría de campos electromagnéticos comprende un estudio fundamental de las ecuaciones de onda y de los campos eléctricos y magnéticos, de su propagación en el espacio vacío y en otros medios. Los estudios de los campos electromagnéticos se han intensificado enormemente debido a su gran importancia en el mundo moderno.

En este trabajo, la combinación de dos técnicas recientemente propuestas, El Método de las Características Nulas y el Formalismo Eth, permitirán estudiar la radiación electromagnética a distancias muy lejanas de la fuente.

La implementación numérica del método de las características nulas consiste en evolucionar un campo dado (escalar, electromagnético o gravitacional) sobre una familia de hipersuperficies nulas de secuencia discreta de incrementos temporales [1-2]. En este trabajo, se ha desarrollado un código tridimensional estable y convergente a segundo orden basado en la formulación característica de la Relatividad General, para resolver las ecuaciones de Maxwell numéricamente. Este código requiere de un dato sobre la hipersuperficie nula inicial y ciertas condiciones de contorno sobre el tubo mundo interior [3] y se calcula la forma de onda electromagnética en el infinito nulo.

El código desarrollado usa un algoritmo de evolución de diferencias finitas explícitas a segundo orden, basados en pasos temporales retardados sobre una malla de coordenadas nulas uniforme y tridimensional [4]. Otra tecnología esencial del código desarrollado es el módulo Eth (¶), que incorpora una versión computacional del formalismo Eth de Newman-Penrose [5-6-7]. El módulo Eth cubre la esfera topológica con dos mallas estereográficas solapadas, correspondientes a los hemisferios Norte y Sur. Esto permite lograr expresiones precisas de diferencias finitas a segundo orden para campos tensoriales y sus derivadas covariantes sobre la esfera. El cálculo Eth (¶) simplifica las ecuaciones, evita singularidades espurias en las coordenadas angulares y es computacionalmente eficiente.

II. DESARROLLO

1 La Formulación Característica

La formulación característica tiene su fundamento en el problema de valor inicial característico formulado por Bondi [8], habiéndose implementado como un algoritmo computacional robusto para evolucionar espacios- tiempos vacíos o con materia. Además, se ha aplicado para simular la radiación gravitacional emitida en espacios-tiempos que contienen agujeros negros y la estructura del horizonte de eventos en su evolución de los mismos. Debido a que la evolución se lleva a cabo por la foliación del espaciotiempo mediante conos nulos, este esquema presenta algunas ventajas para trabajos numéricos.

1.1 El formalismo Eth

Una versión de este formalismo se usa en la actualidad para discretizar los operadores angulares que aparecen en las ecuaciones de campo de Einstein para la métrica de Bondi-Sachs [8]. El método del paralelogramo nulo junto con el formalismo Eth, se conocen como la formulación característica (que forma parte de la Relatividad Numérica) y han permitido resolver problemas astro-físicos en 3D [9-10-11]. En este trabajo se usa la formulación característica para resolver la ecuación de onda no lineal 3D para campos de espin uno.

2 Solución de la ecuación de onda no lineal 3D para campos electromagnéticos

En el caso de estudio se resolvió la ecuación de onda 3D para campos de espin uno en la forma:

  (1)

donde δ(F) representa la fuente del campo electromagnético y δF representa el operador D`Alambertiano [12].

2.1 El dato inicial y las condiciones de contorno.

Las condiciones de contorno sobre el tubo mundo G, es F = 0.

Si G(q, p) = 1 la ecuación (2) corresponde a una onda esférica de radiación electromagnética de magnitud λ localizada entre Ra y Rb y para simulaciones de este trabajo:

donde

3 Dispersión de un pulso electromagnético asimétrico

Para confirmar la robustez del código cuando se incorporan los campos electromagnéticos, se considera la dispersión de un pulso de radiación electromagnética asimétrica por la frontera del tubo mundo. A medida que la evolución se lleva a cabo, se observa claramente la asimetría, por lo que es obvio que para obtener suavidad en las gráficas es necesaria una resolución angular mucho más fina. Las gráficas muestran la evolución de los patrones de radiación para u =1, u = 2, u = 3 y u = 4. (Ver Figuras 1, 2, 3 y 4)

Figura 1: Evolución en el infinito nulo para el tiempo u = 1.

Figura 2: Evolución en el infinito nulo para el tiempo u = 2.

Figura 3: Evolución en el infinito nulo para el tiempo u = 3.

Figura 4: Evolución en el infinito nulo para el tiempo u = 4.

III CONCLUSIONES

1.- El código desarrollado para resolver la ecuación de onda 3D no lineal es el preámbulo para luego proceder a resolver las ecuaciones de Maxwell con las mismas técnicas.

2.- Las simulaciones permitieron estudiar la evolución de los patrones de radiación electromagnética emitidos por una fuente arbitraria.

3.- Las figuras permiten observar la radiación electromagnética de una fuente, donde se aprecia que la magnitud de la onda va incrementando a medida que transcurre el tiempo.

4.- Resueltas las ecuaciones de Maxwell numéricamente, se puede aplicar el código para resolver problemas reales de la Teoría Electromagnética y la Ingeniería Eléctrica.

IV REFERENCIAS

1. Barreto, W., Da Silva, A., Gómez, R., Lehner, L., Rosales, L., and Winicour, J., “Three-dimensional Einstein-Klein- Gordon system in characteristic numerical relativity”, Phys. Rev. D, 71(6), 064028-1-12, (2005).        [ Links ]

2. Gómez, R., Lehner, L., Papadopoulos, P., and Winicour, J., “The eth formalism in numerical relativity”, Class. Quantum Grav., 14(4), 977-990, (1997).        [ Links ]

3. Barreto, W., Gómez, R., Lehner, L., and Winicour, J., “Gravitational Instability of a Kink”, Phys. Rev. D, 54(6), 3834-3839, (1996).        [ Links ]

4. J. W. Thomas “Numerical Partial Differential Equations: Finite Difference Methods”, vol. 1 (Springer-Verlag New York 1995).        [ Links ]

5. Newman, E.T., and Penrose, R., “New conservation laws for zero rest-mass fields in asymptotically flat space-time”, Proc. R. Soc. London, Ser. A, 305, 175-204, (1968).        [ Links ]

6. Penrose, R., “Asymptotic Properties of Fields and Space- Times”, Phys. Rev. Lett., 10, 66-68, (1963).        [ Links ]

7. R. Penrose y W. Rindler “Spinors ans spacetime” Vol. 1 y 2. Cambridge: Cambridge University Press, 1984.        [ Links ]

8. Bondi, H., van der Burg, M.G.J., and Metzner, A.W.K., “Gravitational waves in general relativity VII. Waves from axi-symmetric isolated systems”, Proc. R. Soc. London, Ser. A, 269, 21-52, (1962).        [ Links ]

9. Isaacson, R.A., Welling, J.S., and Winicour, J., “Null cone computation of gravitational radiation”, J. Math. Phys., 24(7), 1824-1834, (1983).        [ Links ]

10. Lehner, L., “Matching characteristic codes: exploiting two directions general relativity”, Int. J. Mod. Phys. D, 9(4), 459- 473, (2000).        [ Links ]

11. Gómez, R., and Winicour, J., “Asymptotics of Gravitational Collapse of Scalar Waves”, J. Math. Phys., 33(4), 1445-1457, (1992).        [ Links ]

12. Lehner, L., “A dissipative algorithm for wave-like equations in the characteristic formulation”, J. Comput. Phys., 149(1), 59-74, (1999).        [ Links ]