Se les conoce como einsteins, pero no en referencia al celebérrimo físico, sino en alusión a la expresión alemana ein stein, es decir, una piedra. Aunque en este caso sería más apropiado traducirlo como una losa, en referencia a una forma cerrada capaz de cubrir una superficie sin dejar huecos libres. En definitiva, una tesela, pero con unas características singulares que han llevado a responder a uno de los grandes misterios matemáticos.
Las teselas tipo Einstein se distinguen por ser aperiódicas, lo que significa que dispuestas conjuntamente, como formas multiplicadas, son capaces de tapizar en su totalidad un espacio infinito; pero, al mismo tiempo, sin formar patrones repetitivos, de manera que no se pueda reconocer ningún tipo de simetría. Lo dividas como lo dividas, cada sección es única, ninguna repite el patrón de diseño de otra. Son el equivalente en el ámbito de las teselas a los números irracionales.
Este diseño parece increíble o imposible, porque cuesta imaginar que en una extensión infinita no coexistan dos regiones o secciones, por pequeñas que sean, con la misma disposición teselar. De hecho, durante más de medio siglo, los matemáticos han puesto en duda que fuese posible. Hasta que en marzo de 2023 se confirmó el descubrimiento de “el sombrero”: el primer Einstein.
Juego 1: ¿Alguien ha visto mi sombrero? ¿Y a mi tortuga?
Desde casi el mismo momento de su presentación en sociedad, el sombrero ha sido adoptado por diferentes artistas y creadores como motivo para sus diseños, algunos de los cuales son verdaderos juegos en sí mismos. Por ejemplo, en esta composición creada por el artista y matemático norteamericano Robert Fathauer, donde hay que identificar cuántas camisas y cuántos sombreros se incluyen:
Crédito: Robert Fathauer
En el caso de este mosaico, los sombreros han sido transmutados en tortugas y el reto consiste en identificar la otra tortuga especulada, es decir, cuya cabeza mira hacia la izquierda:
Crédito: Yoshiaki Araki
El problema de la existencia o no de este tipo de formas arranca en 1961, cuando el matemático chino Hao Wang formuló la denominada como “conjetura de Wang”, en la que señalaba que cualquier conjunto de formas o teselas que admita cubrir en su totalidad un espacio, también admite una teselación periódica. Una conjetura, que, sin embargo, fue desmontada apenas cinco años más tarde, en 1966, por el también matemático Robert Berger, al identificar el primer conjunto de piezas aperiódicas: un “monstruo” de 2.426 teselas capaz de verificar la aperiodicidad.
A partir de ese momento, muchos matemáticos se han afanado por descubrir un conjunto de formas cada vez más pequeño. Una búsqueda que encumbró en 1974 el genial físico y matemático Roger Penrose cuando presentó una elegante solución basada en dos formas muy simples bautizadas como “la cometa” y “la flecha”.
Desde entonces, y aunque los esfuerzos no han cesado, nadie había conseguido reducir al mínimo el número de formas. Es decir, encontrar un único diseño capaz de teselar una superficie infinita sin ninguna periodicidad.
Juego 2: ¿Te gustan los puzles?
En este juego se propone rellenar cada uno de los tableros encajando las piezas que lo acompañan:
En un giro de guión, hace apenas unos meses, en noviembre de 2022, David Smith, un jubilado británico aficionado a las matemáticas, consiguió resolver el elusivo rompecabezas. Primero, jugando con un programa informático que permite diseñar y ensamblar distintas formas. Y, posteriormente, cuando encontró un diseño prometedor, recortando un set de piezas en papel para experimentar con ellas. Fue así, casi como en un juego de niños, como descubrió “el sombrero”: un polígono de 13 lados, asombrosamente simple que sin embargo, cumple los requisitos para ser un Einstein. O mejor dicho: para ser el primer Einstein. Algo que han acabado de demostrar el experto en computación Craig Kaplan—a quien acudió Smith cuando fue consciente de su descubrimiento— en colaboración con otros matemáticos en un artículo que ha revolucionado a la comunidad matemática. Más aún porque el diseño descubierto no es único, sino solo el primero de toda una familia de Einsteins que se obtienen al modificar la relación y tamaño entre los lados del sombrero original.
Juego 3: El reto definitivo: corta y pega
Como si de un juego de niños se tratase, este reto consiste en teselar este espacio con el sombrero. Se trata de disponer 22 sombreros (el primero ya está colocado) de tal forma que cubran por completo,y sin salirse de los márgenes, esta superficie. Es recomendable recurrir al método aplicado por David Smith: recortar un set de piezas en papel y probar a encajarlas.
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