DE102010047457A1

DE102010047457A1 - Numerical method for modeling, optimization, regulation and/or approximation of e.g. optical wavefront of mirror of optical system, involves modeling physical mechanical parameter of optical component

Info

Publication number: DE102010047457A1
Application number: DE102010047457A
Authority: DE
Inventors: Dipl.-Phys. Strohmeier Dirk; Prof. Dr. Korvink Jan Gerrit
Original assignee: Albert Ludwigs Universitaet Freiburg
Current assignee: Albert Ludwigs Universitaet Freiburg
Priority date: 2010-10-06
Filing date: 2010-10-06
Publication date: 2012-04-12

Abstract

The method involves modeling a physical parameter (4) of an optical system by adjustment of partial differential equations. Approximation of the modeling of the physical parameter is performed (6) by Zernike approach. A procedure i.e. Galerkin procedure, is applied on the modeling of the physical parameter. The Zernike approach is applied (8) in the modeling of the physical parameter, and boundary conditions (16) are applied and/or used in the modeling when it is required. The modeling of the parameter is comprised of modeling of a physical mechanical parameter of an optical component. The physical mechanical parameter is temperature distribution, mechanical deformation, inner forces and/or pressure. Independent claims are also included for the following: (1) an adaptive optical element comprising a chamber (2) a method for adjustment of an adaptive optical element.

Description

Die Erfindung betrifft ein adaptives optisches Element, ein Verfahren zum Einstellen des optischen Elements sowie numerisches Verfahren zum Modellieren, Optimieren, Regeln und/oder Steuern, insbesondere Approximieren, physikalischer Größen eines optischen Systems mit den Schritten

a. Modellieren mindestens einer physikalischen, insbesondere optischen, Größe, insbesondere eine optische Wellenfront, bevorzugt durch Einstellen mindestens einer partiellen Differentialgleichungen, die einen Operator Θ(∇), eine Ansatzfunktion u(ρ, ϕ) und eine Quelle I(ρ, ϕ) oder allgemeine Inhomogenität umfasst Z m / n(ρ, φ) = z m / n(ρ)α_m(φ)
b. Approximieren der Modellierung der physikalischen Größe, insbesondere der mindestens einen partiellen Differentialgleichung, durch einen durch mindestens ein Zernike-Polynom gebildeten Zernike-Ansatz Z m / n(ρ, φ) = z m / n(ρ)α_m(φ)
c. Anwenden einer Methode der gewichteten Residuen, insbesondere der Petrov-Galerkin-Methode, auf die Modellierung der physikalischen Größe, insbesondere der mindestens einen partielle Differentialgleichung
d. Einsetzen des Zernike-Ansatzes in die Modellierung der physikalischen Größe, insbesondere der mindestens einen partiellen Differentialgleichung, und/oder Abbrechen der Reihe;
e. Ggf. Einsetzen und/oder Anwenden mindestens einer Randbedingungen in die Modellierung der physikalischen Größe, insbesondere der mindestens einen partiellen Differentialgleichung;
f. Lösen der Modellierung der physikalischen Größe, insbesondere der mindestens einen partiellen Differentialgleichung; Verfahren zur Modellierung von optischen Fehlern sind bekannt. Hierbei werden Fehler optischer Größen, beispielsweise Wellenfrontfehler, durch Zernike-Polynome beschrieben.

The invention relates to an adaptive optical element, a method for adjusting the optical element and numerical method for modeling, optimizing, regulating and / or controlling, in particular approximating, physical quantities of an optical system with the steps

a. Modeling at least one physical, in particular optical, size, in particular an optical wavefront, preferably by setting at least one partial differential equations, an operator Θ (∇), a projection function u (ρ, φ) and a source I (ρ, φ) or general Inhomogeneity includes Z m / n (ρ, φ) = zm / n (ρ) α _m (φ)
b. Approximating the modeling of the physical quantity, in particular the at least one partial differential equation, by a Zernike approach formed by at least one Zernike polynomial Z m / n (ρ, φ) = zm / n (ρ) α _m (φ)
c. Applying a method of weighted residuals, in particular the Petrov-Galerkin method, to the modeling of the physical quantity, in particular the at least one partial differential equation
d. Employing the Zernike approach in the modeling of the physical quantity, in particular the at least one partial differential equation, and / or discontinuing the series;
e. Possibly. Inserting and / or applying at least one boundary condition into the modeling of the physical quantity, in particular of the at least one partial differential equation;
f. Solving the modeling of the physical quantity, in particular the at least one partial differential equation; Methods for modeling optical errors are known. In this case, errors of optical quantities, for example wavefront errors, are described by Zernike polynomials.

Zum Beschreiben von Fehlern, die von mechanischen Größen herrühren, beispielsweise Temperaturverteilung, mechanische Verformung, innere Kräfte und/oder Spannungen von Komponenten, wird auf allgemeine Methoden wie Finite Elemente oder Finite Differenzen zurückgegriffen. Das Zusammenführen beider Fehlerquellen, also der Fehler der optischen Größen und der mechanischen Größen erweist sich als umständlich und bedarf eine hohe Rechenzeit. Darüber hinaus ist zum Berechnen der bekannten Verfahren eine große Menge an Speicherkapazität zur Verfügung zu stellen.For describing errors resulting from mechanical quantities, such as temperature distribution, mechanical deformation, internal forces and / or stresses of components, general methods such as finite elements or finite differences are used. The merging of both sources of error, ie the error of the optical quantities and the mechanical quantities proves to be cumbersome and requires a high computing time. Moreover, to calculate the known methods, a large amount of storage capacity must be provided.

Aufgabe der Erfindung ist es, ein numerisches Verfahren vorzuschlagen, das ein schnelleres und Ressourcen schonenderes Modellieren von physikalischen Größen eines optischen Systems ermöglicht.The object of the invention is to propose a numerical method which allows a faster and more resource-conserving modeling of physical quantities of an optical system.

Die Aufgabe wird bei einem erfindungsgemäßen numerischen Verfahren dadurch gelöst, dass das Modellieren der physikalischen Größe, insbesondere die partielle Differentialgleichung, mindestens eine physikalische mechanische Größe, wie Temperaturverteilung, mechanische Verformung, innere Kräfte und/oder Spannungen umfasst.The object is achieved in a numerical method according to the invention in that the modeling of the physical quantity, in particular the partial differential equation, comprises at least one physical mechanical variable, such as temperature distribution, mechanical deformation, internal forces and / or stresses.

Hierdurch ist ermöglicht, dass Geometrien direkt in den Komponenten der optischen Fehler auflösbar sind, was eine schnelle und ressourcenschonende Lösung der partiellen Differentialgleichungen ermöglicht.This makes it possible for geometries to be directly resolvable in the components of the optical errors, which enables a fast and resource-saving solution of the partial differential equations.

Die mindestens eine Differentialgleichung umfasst eine partielle Differentialgleichung, die in kartesischen, polaren, zylindrischen, sphärischen und anderen Koordinatensystemen ausdrückbar ist.The at least one differential equation comprises a partial differential equation that is expressible in Cartesian, polar, cylindrical, spherical and other coordinate systems.

Die starke Vereinfachung der Bewegungsgleichungen für optische Systeme durch die mathematischen Eigenschaften der Zernike-Polynome führt zu einer Erhöhung der Effizienz der Lösungssuche bei einer gegebenen Problemstellung.The strong simplification of the equations of motion for optical systems by the mathematical properties of the Zernike polynomials leads to an increase in the efficiency of the solution search for a given problem.

Grundsätzlich ist das Verfahren auf jede beliebige Geometrie anwendbar. Bevorzugt werden aber kreisscheibenförmige Geometrien. Solchenfalls sind keine weiteren Berechnungen, beispielsweise Umformungen, notwendig.Basically, the method is applicable to any geometry. But are preferred circular disc-shaped geometries. In this case, no further calculations, such as transformations, are necessary.

Grundsätzlich kann die Ansatzfunktion ausschließlich optische oder ausschließlich mechanische Größen umfassen. Es erweist sich als vorteilhaft, wenn die Ansatzfunktion mindestens eine optische und/oder mindestens eine mechanische Größe umfasst.In principle, the attachment function can comprise exclusively optical or exclusively mechanical variables. It proves to be advantageous if the attachment function comprises at least one optical and / or at least one mechanical variable.

Die Ansatzfunktion kann eine beliebige mechanische Funktion umfassen. Es wird allerdings bevorzugt, wenn die Ansatzfunktion eine räumliche Funktion u(x, y) umfasst, die durch eine Reihe von Zernike-Polynomen Z_i(x, y) approximierbar ist oder approximiert wird, wobei die Approximation u(x, y) darstellbar ist als

The necking function may include any mechanical function. However, it is preferred if the lobes function comprises a spatial function u (x, y) which is approximated or approximated by a series of Zernike polynomials Z _i (x, y), rendering the approximation u (x, y) representable is as

Hierdurch ist beispielsweise die Form eines optischen Körpers modellierbar. Insbesondere sind hierdurch Temperaturverteilung, mechanische Verformung, innere Kräfte und innere Spannungen eines Körpers auf einfache Weise modellierbar.As a result, for example, the shape of an optical body can be modeled. In particular, this temperature distribution, mechanical deformation, internal forces and internal stresses of a body can be modeled in a simple manner.

Darüber hinaus erweist es sich als vorteilhaft, wenn die räumliche Funktion eine Verformung, insbesondere eine Oberflächenkontur, eines optisch wirksamen Körpers umfasst, insbesondere aufgrund eines Einflusses von Kräften, wie Druckkräften, innere Spannungen und Gravitationskräften. Hierdurch sind auch Veränderungen des Körpers erfasst und die Einsetzbarkeit des Verfahrens erweitert.Moreover, it proves to be advantageous if the spatial function comprises a deformation, in particular a surface contour, of an optically active body, in particular due to an influence of forces such as compressive forces, internal stresses and gravitational forces. As a result, changes in the body are detected and the applicability of the method extended.

Die Berechnung der Lösung kann weiter vereinfacht werden, wenn das Anwenden der Methode der gewichteten Residuen eine Auswahl mindestens eines Linearfaktors bzw. Gewichts ζ umfasst, das das Residuum zumindest minimal, insbesondere vernachlässigbar macht.The calculation of the solution can be further simplified if the application of the method of weighted residuals comprises a selection of at least one linear factor or weight ζ which makes the residual at least minimal, in particular negligible.

Bei einer Weiterbildung des erfindungsgemäßen Verfahrens umfasst das Lösen der Modellierung der physikalischen Größe, insbesondere der mindestens einen Differentialgleichung, ein Ansetzen der Randbedingungen und transponierten Randbedingungen an den Operator und/oder ein Erweitern eines Lösungsvektors um Lagrangesche Multiplikatoren und/oder eine Projektion der Quelle oder Inhomogenität in den Funktionenraum der Zernike-Polynome. <I((ρ, φ), Z_j> = ∫_ΩI(ρ, φ)Z_jdΩ In a development of the method according to the invention, the solving of the modeling of the physical quantity, in particular of the at least one differential equation, comprises setting the boundary conditions and transposed boundary conditions to the operator and / or extending a solution vector by Lagrangian multipliers and / or a projection of the source or inhomogeneity into the functions space of the Zernike polynomials. <I ((ρ, φ), Z _j > = ∫ _Ω I (ρ, φ) Z _j dΩ

Es erweist sich ferner als vorteilhaft, wenn eine Dickenverteilung des optisch wirksamen Körpers parametrisierbar ist, insbesondere durch t(ρ, φ) ≈ t(ρ, φ) = Σ N / i=1α_iZ_i(ρ, φ) It also proves to be advantageous if a thickness distribution of the optically active body can be parameterized, in particular by t (ρ, φ) ≈ t (ρ, φ) = Σ N / i = 1α _i Z _i (ρ, φ)

Die Dickeverteilung kann beliebig sein. Beispielsweise ist es denkbar, dass die Dickenverteilung radialsymmetrisch ist und solchenfalls t nur von ρ abhängt, wobei ϕ konstant ist. Allerdings ist es auch denkbar, dass t von ρ und ϕ abhängt. Solchenfalls liegt eine winkelabhängige Dickenverteilung vor.The thickness distribution can be arbitrary. For example, it is conceivable that the thickness distribution is radially symmetric and, if so, t only depends on ρ, where φ is constant. However, it is also conceivable that t depends on ρ and φ. In this case, there is an angle-dependent thickness distribution.

Der Operator kann grundsätzlich für jede Berechnung eigens bestimmt werden. Allerdings erweist es sich als vorteilhaft, wenn der Operator auf mehrere Quellfunktionen anwendbar ist. Solchenfalls werden die zum Berechnen notwendigen Ressourcen weiter reduziert.The operator can in principle be determined separately for each calculation. However, it proves to be advantageous if the operator is applicable to multiple source functions. In such case, the resources required for calculation are further reduced.

Grundsätzlich sind mit dem Verfahren mechanische Größen bestimmbar, insbesondere Temperaturverteilung, mechanische Verformung, innere Kräfte und Spannungen eines Körpers. Es erweist sich jedoch von Vorteil, wenn die mindestens eine physikalische Größe mindestens einen optischen Fehler, wie Aberration, Koma und Astigmatismus, umfasst. Solchenfalls sind mechanische und optische Fehler berechenbar. Dieses ermöglicht eine ganzheitliche Berechnung eines optischen Systems.In principle, mechanical parameters can be determined with the method, in particular temperature distribution, mechanical deformation, internal forces and stresses of a body. However, it proves to be advantageous if the at least one physical variable comprises at least one optical aberration, such as aberration, coma and astigmatism. In that case, mechanical and optical errors can be calculated. This enables a holistic calculation of an optical system.

Bei einer Weiterbildung der Erfindung umfasst der Operator einen mechanischen Operator, die Inhomogenität einwirkende Kräfte Temperaturverteilung, Druck, Spannungen oder innere Kräfte eines Körpers und/oder die Ansatzfunktion eine zu berechnende Formfunktion. Darüber hinaus kann die Ansatzfunktion die Poission-Gleichung umfassen.In a development of the invention, the operator comprises a mechanical operator, the forces acting inhomogeneity, temperature distribution, pressure, stresses or internal forces of a body and / or the attachment function a shape function to be calculated. In addition, the approach function may include the Poission equation.

Die Zernike-Polynome sind auf dem Einheitskreis abbildbar. Daher sind auch ihre Ableitungen auf dem Einheitskreis abbildbar. Hierdurch ist es ermöglicht, dass bei einer Weiterbildung der Erfindung, das Anwenden der Randbedingungen ein Separieren durch äquivalente Integralumformung zur Erlangung einer Schwachen Form und/oder ein Erweitern des Systems durch Lagrangesche Multiplikatoren umfasst. Dabei erweist es sich als vorteilhaft, wenn das Vereinfachen auf eine schwache Form, insbesondere Separieren von Eigenschaften der partiellen Differentialgleichungen, wie Neumannsche Randbedingung, und/oder Einsetzen der schwachen Form in den Zernike-Ansatz umfasst.The Zernike polynomials are mapped on the unit circle. Therefore, their derivatives on the unit circle are also mapped. This makes it possible that, in a development of the invention, the application of the boundary conditions comprises a separation by equivalent integral transformation to obtain a weak form and / or an extension of the system by Lagrangian multipliers. It proves to be advantageous if the simplification to a weak form, in particular separation of properties of the partial differential equations, such as Neumann boundary condition, and / or insertion of the weak form in the Zernike approach.

Das mindestens eine Zernike-Polynom kann in Abhängigkeit von Raumkoordinaten gebildet sein. Es wird allerdings bevorzugt, wenn das mindestens eine Zernike-Polynom in Polarkoordinaten transformierbar ist oder transformiert wird. The at least one Zernike polynomial can be formed as a function of spatial coordinates. However, it is preferred if the at least one Zernike polynomial is transformable in polar coordinates or is transformed.

Darüber hinaus wird die Aufgabe durch ein adaptives optisches Element gelöst, das insbesondere durch das vorgenannte numerischen Verfahren modellierbar, optimierbar, steuerbar oder regelbar ist, das eine Kammer, zumindest einen elastischen optisch wirksamen Körper und ein in der Kammer angeordnetes mit Druck beaufschlagtes Fluid aufweist, mit dem der elastische optisch wirksame Körper spannbar oder gespannt ist, wobei es zusätzlich eine Einstelleinrichtung aufweist, mit der mindestens eine physikalische Eigenschaften des Fluids, wie Masse, Dichte, Temperatur, Volumen und/oder der Druck, einstellbar ist, wobei eine Änderung der physikalischen Eigenschaft des Fluids eine Änderung der Form, insbesondere Oberflächenkontur, des elastischen optisch wirksamen Körpers induziert.Moreover, the object is achieved by an adaptive optical element, which is in particular modelable, optimisable, controllable or regulatable by the aforesaid numerical method, which has a chamber, at least one elastic optically active body and a pressurized fluid arranged in the chamber, with which the elastic optically active body is tensioned or stretched, wherein it additionally comprises an adjusting device with which at least one physical properties of the fluid, such as mass, density, temperature, volume and / or pressure, is adjustable, wherein a change in the physical Property of the fluid induces a change in shape, in particular surface contour of the elastic optically active body.

Das adaptive optische Element ist durch das Verfahren ohne Weiteres modellierbar. Dadurch, dass der optisch wirksame Körper elastisch und verformbar ist, kann sein mechanischer Fehler auf einfache Weise eingestellt und/oder ausgeglichen werden.The adaptive optical element is readily modelable by the method. The fact that the optically effective body is elastic and deformable, its mechanical error can be easily adjusted and / or compensated.

Das Fluid kann grundsätzlich ein Gas oder eine Flüssigkeit umfassen.The fluid may basically comprise a gas or a liquid.

Der optisch wirksame Körper kann eine beliebige Form umfassen. Bevorzugt werden Formen des Körpers, die durch konforme Abbildungen ohne weiteres in Polarkoordinaten umwandelbar und berechenbar sind. Es erweist sich jedoch als besonders einfach zu modellieren, wenn der elastische optisch wirksame Körper eine zirkulare oder ovale Geometrie aufweist.The optically active body may comprise any shape. Preference is given to forms of the body which can be easily converted into polar coordinates by means of conformal mappings. However, it proves to be particularly easy to model when the elastic optically effective body has a circular or oval geometry.

Darüber hinaus wird es bevorzugt, wenn die Form, insbesondere die Oberflächenkontur, des optisch wirksamen Körpers konvex oder konkav ist und dass die Oberflächenkontur des optisch wirksamen Körpers durch eine Formfunktion u(x, y) oder u(ρ, ϕ), insbesondere durch mindestens ein Zernike-Polynom darstellbar ist.Moreover, it is preferred if the shape, in particular the surface contour, of the optically active body is convex or concave and that the surface contour of the optically active body by a shape function u (x, y) or u (ρ, φ), in particular by at least a Zernike polynomial can be represented.

In Weiterbildung, letztgenannten Erfindungsgedankens erweist es sich als vorteilhaft, wenn der elastische optisch wirksame Körper eine radialsymmetrische oder eine winkelabhängige Dickenverteilung aufweist und dass die Dickenverteilung des optisch wirksamen Körpers durch t(ϕ) und/oder t(ρ, ϕ) darstellbar ist, insbesondere durch die Funktion: t(ρ, φ) ≈ t(ρ, φ) = Σ N / i=1 α_iZ_i(ρ, φ) In a further development, the latter idea of the invention, it is advantageous if the elastic optically active body has a radially symmetric or an angle-dependent thickness distribution and that the thickness distribution of the optically active body by t (φ) and / or t (ρ, φ) can be represented, in particular through the function: t (ρ, φ) ≈ t (ρ, φ) = Σ N / i = 1 α _i Z _i (ρ, φ)

Ferner erweist es sich als vorteilhaft, wenn das optische Element eine Transmissions- oder Reflektionsoptik, insbesondere einen Spiegel, eine Paralleloptik, eine Zoomlinse, hierachische Fraktale und/oder Kombinationen hieraus umfasst.Furthermore, it proves to be advantageous if the optical element comprises a transmission or reflection optics, in particular a mirror, a parallel lens, a zoom lens, hierachical fractals and / or combinations thereof.

Die Einstelleinrichtung kann mehrere einzelne Komponenten umfassen, die die physikalischen Eigenschaften des Fluids beeinflussen können. Bevorzugt wird eine Einstelleinrichtung, die eine mit der Kammer verbundene Druckquelle, insbesondere Pumpe, umfasst. Solchenfalls kann der optisch wirksame Körper auf einfache Weise durch Hinzuführen oder durch Abführen von Fluid eingestellt werden.The adjustment means may comprise a plurality of individual components which may affect the physical properties of the fluid. Preference is given to an adjusting device which comprises a pressure source, in particular a pump, connected to the chamber. In such case, the optically active body can be easily adjusted by adding or discharging fluid.

Darüber hinaus wird eine Einstelleinrichtung bevorzugt, die ein Heiz- und/oder Kühlelement zum Einstellen der Temperatur des Fluids umfasst.In addition, an adjusting device is preferred which comprises a heating and / or cooling element for adjusting the temperature of the fluid.

Weiter umfasst die Kammer bei einer Weiterbildung der Erfindung eine parallel zum optisch wirksamen Körper angeordnete Wand, bei der zumindest die dem optisch wirksamen Körper zugewandte Oberfläche plan ist und ein Glas Substrat aufweist, und eine quer zur Wand verlaufende Tragestruktur, die den optisch wirksamen Körper stützt.Furthermore, in a further development of the invention, the chamber comprises a wall arranged parallel to the optically active body, in which at least the surface facing the optically active body is planar and has a glass substrate, and a support structure running transversely to the wall, which supports the optically effective body ,

Die Aufgabe wird ferner durch ein Verfahren zum Einstellen eines erfindungsgemäßen adaptiven optischen Elements gelöst, das eine Kammer, zumindest einen elastischen optisch wirksamen Körper und ein in der Kammer angeordnetes mit Druck beaufschlagtes Fluid aufweist, mit dem der elastische optisch wirksame Körper spannbar oder gespannt ist, mit dem Schritt eines Einstellens der Oberflächenkontur des elastischen optisch wirksamen Körpers durch Einstellen der Masse, der Dichte, der Temperatur, des Volumen und/oder des Drucks des Fluids durch die Einstelleinrichtung;The object is further achieved by a method for adjusting an adaptive optical element according to the invention comprising a chamber, at least one elastic optically active body and a pressurized fluid arranged in the chamber, with which the elastic optically active body can be tensioned or tensioned, with the step of adjusting the surface contour of the elastic optically active body by adjusting the mass, the density, the temperature, the volume and / or the pressure of the fluid through the adjusting device;

Es erweist sich schließlich als vorteilhaft, wenn zum Verstärken einer konvexen Oberflächenkontur zusätzliches Fluid in die Kammer gefördert wird und wenn zum Verstärken einer konkaven Oberflächenkontur Fluid aus der Kammer gefördert wird. Finally, it proves to be advantageous if, in order to reinforce a convex surface contour, additional fluid is conveyed into the chamber and if fluid is conveyed out of the chamber to reinforce a concave surface contour.

Das erfindungsgemäße numerische Verfahren, das adaptierbare optische Element und das Verfahren zum Einstellen des adaptierbaren optischen Elements erweisen sich in vielfacher Hinsicht als vorteilhaft.The numerical method according to the invention, the adaptable optical element and the method for adjusting the adaptable optical element prove to be advantageous in many respects.

Das numerische Verfahren eignet sich, nach einmaligem Aufstellen, für alle verformbaren optischen Komponenten (Spiegel, Linsen, und Kombinationen derer) und Systeme. Durch das Abbilden optischer und mechanischer Fehler, ist das optische System ganzheitlich modellierbar.The numerical method, after being set up once, is suitable for all deformable optical components (mirrors, lenses, and combinations thereof) and systems. By imaging optical and mechanical errors, the optical system is holistically modelable.

Darüber hinaus wird die Modellierung dieser Komponenten und Systeme, insbesondere die partiellen Differentialgleichung, durch die mathematischen Eigenschaften der Zernike-Polynome vereinfacht und die Effizienz der Lösungssuche erhöht.In addition, the modeling of these components and systems, in particular the partial differential equation, is simplified by the mathematical properties of the Zernike polynomials and the efficiency of the solution search is increased.

Durch die Abbildung der Zernike-Polynome auf dem Einheitskreis, ist die Möglichkeit einer schwachen Form der Approximation ermöglicht, wodurch das Verfahren weiter vereinfacht ist.By mapping the Zernike polynomials on the unit circle, the possibility of a weak form of approximation is enabled, further simplifying the process.

Ferner sind die mechanischen Eigenschaften der oben genannten Komponenten und Systeme mit ihren optischen Eigenschaften durch Verwendung derselben Funktionenbasis darstellbar.Furthermore, the mechanical properties of the above-mentioned components and systems with their optical properties can be represented by using the same functional base.

Weitere Merkmale, Einzelheiten und Vorteile der Erfindung ergeben sich aus den beigefügten Patentansprüchen und der zeichnerischen Darstellung und nachfolgender Beschreibung von Ausführungsformen der Erfindung.Further features, details and advantages of the invention will become apparent from the appended claims and the drawings and the following description of embodiments of the invention.

In der Zeichnung zeigt:In the drawing shows:

1 eine schematische Darstellung des erfindungsgemäßen numerischen Verfahrens; 1 a schematic representation of the numerical method according to the invention;

2 eine schematische Darstellung des zu lösenden Gleichungssystems eines Verfahrens gemäß 1; 2 a schematic representation of the system of equations to be solved according to a method according to 1 ;

3 eine schematische Schnittansicht eines ersten Ausführungsbeispiels eines erfindungsgemäßen adaptiven optischen Elements; 3 a schematic sectional view of a first embodiment of an inventive adaptive optical element;

4 eine schematische Schnittansicht eines zweiten Ausführungsbeispiels des erfindungsgemäßen adaptiven optischen Elements. 4 a schematic sectional view of a second embodiment of the inventive adaptive optical element.

1 zeigt eine schematische Darstellung eines insgesamt mit dem Bezugszeichen 2 versehenen erfindungsgemäßen numerischen Verfahrens. Das Verfahren 2 ist dafür geeignet, physikalische Größen eines adaptiven optisches Elements (in 1 nicht dargestellt) zu modellieren, insbesondere zu approximieren. 1 shows a schematic representation of a total with the reference numeral 2 provided numerical method according to the invention. The procedure 2 is suitable for measuring physical quantities of an adaptive optical element (in 1 not shown) to model, in particular to approximate.

Im Folgenden werden die einzelnen Verfahrensschritte des numerischen Verfahrens erläutert. In einem ersten Verfahrensschritt 4 wird mindestens eine physikalische Größe durch eine Diffenrentialgleichung in der Form: Θ(∇)u(ρ, φ) = I(ρ, φ) modelliert. Hierbei bilden Θ(∇) einen Operator, u(ρ, ϕ) eine Ansatzfunktion und I(ρ, ϕ) eine Quelle oder allgemeine Inhomogenität ab. Die physikalische Größe stellt dabei insbesondere einen optischen Fehler, insbesondere einen Wellenfrontfehler, dar. Die Differentialgleichung umfasst eine partielle Differentialgleichung, die in kartesischen, polaren, zylindrischen, sphärischen und anderen Koordinatensystemen ausdrückbar ist.In the following, the individual method steps of the numerical method are explained. In a first process step 4 is at least one physical quantity by a Diffenrentialgleichung in the form: Θ (∇) u (ρ, φ) = I (ρ, φ) modeled. Here, Θ (∇) is an operator, u (ρ, φ) an attachment function and I (ρ, φ) a source or general inhomogeneity. In this case, the physical variable represents in particular an optical error, in particular a wavefront error. The differential equation comprises a partial differential equation that can be expressed in Cartesian, polar, cylindrical, spherical and other coordinate systems.

In einem nachfolgenden Schritt 6 wird die Modellierung der physikalischen Größe, insbesondere die mindestens eine partielle Differentialgleichung, durch einen durch mindestens ein Zernike-Polynom gebildeten Zernike-Ansatz approximiert: Z m / n(ρ, φ) = z m / n(ρ)α_m(φ) In a subsequent step 6 For example, the modeling of the physical quantity, in particular the at least one partial differential equation, is approximated by a Zernike approach formed by at least one Zernike polynomial: Z m / n (ρ, φ) = zm / n (ρ) α _m (φ)

Hierbei bestimmen die Indizes n und m die Gestalt der Polynome. Zernike-Funktionen sind Polynome der Raumkoordinaten auf dem Einheitskreis ρ und φ, und daher sind ihre Ableitungen ebenfalls Polynome. Zernike-Polynome in Polarkoordiatendarstellung lassen sich in einen radialen Anteil (ρ Abhängigkeit) und einen winkelabhängigen Anteil (φ Abhängigkeit) aufspalten. Der radiale Anteil lässt sich berechnen durch:

Here, the indices n and m determine the shape of the polynomials. Zernike functions are polynomials of the space coordinates on the unit circle ρ and φ, and therefore their derivatives are also polynomials. Zero-order polynomials in polar coordinate representation can be split into a radial component (ρ dependency) and an angle-dependent component (φ dependency). The radial component can be calculated by:

Der winkelabhängige Anteil entspricht der Sinus bzw. der Cosinus Funktion, wobei m die Frequenz und den Typ dieser Funktion festlegt: α_m(φ) = sin(mφ) m ≥ 0 cos(mφ) m ≤ 0 The angle-dependent component corresponds to the sine or cosine function, where m specifies the frequency and type of this function: α _m (φ) = sin (mφ) m ≥ 0 cos (mφ) m ≤ 0

Für den radialen Anteil gelten die nachfolgenden drei Rekursionsvorschriften:

For the radial portion, the following three recursion rules apply:

In der oben gewählten Darstellung werden zwei Indizes n und m verwendet. Die Darstellung lässt sich jedoch weiter vereinfachen, indem ein vereinheitlichter Index j verwendet wird. Dieser lässt sich mit Hilfe von:

eindeutig abbilden. Die Darstellung des mindestens einen Zernike-Polynoms des Zernike-Ansatzes vereinfacht sich solchenfalls auf:

Z_i(ρ, φ) = z_i(ρ)α_i(φ)

In the representation selected above, two indices n and m are used. However, the representation can be further simplified by using a unified index j. This can be done with the help of:

clearly represent. The representation of the at least one Zernike polynomial of the Zernike approach is simplified in such cases to:

Z _i (ρ, φ) = z _i (ρ) α _i (φ)

Diese Form wird nun in die Ansatzfunktion der partiellen Differentialgleichung eingesetzt. Um die partielle Differentialgleichung weiter zu vereinfachen, wird diese gewichtet. Hierzu wird eine Gewichtsfunktion Ψ(ρ, φ) eingeführt. Die partielle Differentialgleichung stellst sich solchelfalls, unter Verwendung der Zernike-Polynome, wie folgt dar:

This form is now used in the approach function of the partial differential equation. To further simplify the partial differential equation, it is weighted. For this purpose, a weight function Ψ (ρ, φ) is introduced. The partial differential equation, if so, using the Zernike polynomials, is as follows:

Schritt 6, bei dem eine Methode der gewichteten Residuen angewendet wird, wird auch Petrov-Galerkin-Methode genannt.step 6 , which uses a weighted residual method, is also called the Petrov-Galerkin method.

In einem nachfolgenden Schritt 8 wird der Zernike-Ansatz in die Modellierung der physikalischen Größe, insbesondere der mindestens einen partiellen Differentialgleichung, eingesetzt und die Reihenentwicklung abgebrochen. Dieses führt zu einem kompakten Gleichungssystem. In a subsequent step 8th the Zernike approach is used in the modeling of the physical quantity, in particular the at least one partial differential equation, and the series development is discontinued. This leads to a compact equation system.

Schritt 6 nach- und Schritt 8 vorgeschaltet kann ggf. in einem Schritt 10 geprüft werden, ob eine schwache Form vorliegt. Diese wird erzielt durch Anwenden partieller Ableitungen und/oder Greenscher Integralsätzen auf die gewichtete Form der partiellen Differentialgleichung. Hierdurch wird die Form weiter vereinfacht, wodurch sich Eigenschaften wie die Neumanschen Randbedingungen in der Gleichung heraus separieren lassen.step 6 after and step 8th can precede if necessary in one step 10 be checked if a weak form exists. This is achieved by applying partial derivatives and / or Green's integral theorems to the weighted form of the partial differential equation. This further simplifies the shape, allowing features such as Neuman's boundary conditions to be separated out in the equation.

Darüber hinaus wird ggf. in einem Schritt 12 geprüft, ob eine Quelle vorhanden ist. Solchenfalls wird die Quellfunktion in einem Schritt 14 in den Zernike-Raum projiziert: <I((ρ, φ), Z_j> = ∫_ΩI(ρ, φ)Z_jdΩ In addition, if necessary, in one step 12 Checked if a source exists. In that case, the source function becomes one step 14 projected into the Zernike space: <I ((ρ, φ), Z _j > = ∫ _Ω I (ρ, φ) Z _j dΩ

Hieran anschließend wird in einem Schritt 16 mindestens eine Randbedingungen in die Modellierung der physikalischen Größe, insbesondere der mindestens einen partiellen Differentialgleichung eingesetzt oder angewendet. Diese Randbedingungen werden durch die schwache Form aus Schritt 10 oder aus der Quellfunktion nach Schritt 14 erhalten.This is followed in one step 16 at least one boundary conditions in the modeling of the physical quantity, in particular the at least one partial differential equation used or applied. These constraints are due to the weak shape of step 10 or from the source function after step 14 receive.

Das Einsetzen der Randbedingungen wird hier auf zwei verschiedenen Arten ermöglicht. Entweder durch Ausseperation durch äquivalente Integralumformung wie unter Schritt 10 zur Erlangungen der schwachen Form oder durch eine Erweiterung des Systems mit Hilfe von Lagrangeschen Multiplikatoren.The use of boundary conditions is made possible in two different ways. Either by separation by equivalent integral transformation as under step 10 for the attainment of the weak form or by an extension of the system with the help of Lagrange multipliers.

In einem letzten Schritt 18 wird die mindestens eine partielle Differentialgleich gelöst. 2 zeigt hierzu einen schematischen Aufbau des zu lösenden Gleichungssystems. Das Schema ist in 3 Gruppen unterteilt.In a last step 18 the at least one partial differential equation is solved. 2 shows a schematic structure of the system of equations to be solved. The scheme is divided into 3 groups.

Die erste Gruppe umfasst den Operator 20 mit einer Dimension N × N. An diesen werden M Randbedingungen 22 und deren transponierte Randbedingung 22' angesetzt. Damit die resultierende Matrix eine quadratische Matrix ergibt, wird die entstehende Lücke mit einer Quadratischen Nullmatrix 24 der Größe M × M aufgefüllt.The first group includes the operator 20 with a dimension N × N. At these are M boundary conditions 22 and its transposed boundary condition 22 ' stated. For the resulting matrix to yield a square matrix, the resulting gap becomes a square zero matrix 24 the size M × M filled.

Die zweite Gruppe bildet ein gesuchter Lösungsvektor 26 mit ζ = {ζ1, ζ2, ..., ζi, ..., ζN} der um die Lagrangeschen Multiplikatoren erweitert wird. Diese geben in der Lösung die zum Randwert notwendigen Scheinquellen an. In der Mechanik geben diese oft Zwangskräfte an die dafür sorgen dass ein Körper sich auf seiner dem Problem angepassten Trajektorie durch den Phasenraum bewegt. Für die Lösung des Gleichungssystems sind aber in erster Linie die Lösungen für ζ wichtig.The second group forms a sought solution vector 26 with ζ = {ζ1, ζ2, ..., ζi, ..., ζN} which is extended by the Lagrange multipliers. These indicate in the solution the apparent sources necessary for the boundary value. In mechanics, they often impart compulsive forces that cause a body to move through the phase space on its trajectory adapted to the problem. For the solution of the equation system, however, the solutions for ζ are important in the first place.

Die dritte Gruppe bildet ein Koeffizientenvektor 28, der N Koeffizienten aus der Projektion der Inhomogenität I(ρ, φ) in den Funktionenraum der Zernike-Polynome gebildet ist. Dieser wird um M Einträge mit dem Wert 0 erweitert.The third group forms a coefficient vector 28 , which forms N coefficients from the projection of the inhomogeneity I (ρ, φ) into the function space of the Zernike polynomials. This is extended by M entries with the value 0.

Die Lösung dieses Gleichungssystems ist mit Hilfe einer mathematischen Umgebung wie Mathematica, Matlab, u. s. w. schnell berechenbar. Schnell heißt hier wenige ms.The solution of this equation system is using a mathematical environment such as Mathematica, Matlab, u. s. w. fast calculable. Fast means here few ms.

3 zeigt ein erstes Ausführungsbeispiel eines insgesamt mit dem Bezugszeichen 30 versehenen adaptiven optischen Elements. Das adaptive optische Element 30 ist durch das vorgenannte numerische Verfahren 2 modellierbar. Es umfasst eine Kammer 32, die eine Wand 34 und eine quer zur Wand 34 verlaufende Tragestruktur 36 aufweist. 3 shows a first embodiment of a total with the reference numeral 30 provided adaptive optical element. The adaptive optical element 30 is by the aforementioned numerical method 2 modeled. It includes a chamber 32 a wall 34 and one across the wall 34 running support structure 36 having.

Parallel zur Wand 34 wird die Kammer 32 durch einen optisch wirksamen Körper 38 nach Außen abgeschlossen. Der optisch wirksame Körper 38 umfasst eine Membran und ist parallel zur Wand 34 angeordnet. Die dem optisch wirksamen Körper 38 zugewandte Oberfläche des Wand 34 ist plan und umfasst ein Glas-Substrat. Der optisch wirksame Körper 38 wird durch die quer zur Wand 34 verlaufende Tragestruktur 36 gestützt.Parallel to the wall 34 becomes the chamber 32 through an optically effective body 38 completed to the outside. The optically effective body 38 includes a membrane and is parallel to the wall 34 arranged. The optically effective body 38 facing surface of the wall 34 is flat and includes a glass substrate. The optically effective body 38 gets through to the wall 34 running support structure 36 supported.

In der Kammer 32 ist ein mit Druck beaufschlagtes Fluid angeordnet, mit dem der elastische optisch wirksame Körper 38 spannbar oder gespannt ist. Hierzu ist eine, im dargestellten Ausfürhungsbeispiel als Pumpe 40 realisierte Einstelleinrichtung 42 vorgesehen, mit der mindestens eine physikalische Eigenschaften des Fluids, wie Masse, Dichte, Temperatur, Volumen und/oder der Druck, einstellbar ist, wobei eine Änderung der physikalischen Eigenschaft des Fluids eine Änderung der Form, insbesondere Oberflächenkontur, des elastischen optisch wirksamen Körpers 38 bewirkt.In the chamber 32 a pressurized fluid is arranged with which the elastic optically active body 38 tensioned or tense. For this purpose, a, in the illustrated embodiment, as a pump 40 realized adjustment device 42 provided, with the at least one physical properties of the fluid, such as mass, density, temperature, volume and / or pressure, is adjustable, wherein a change in the physical property of the fluid is a change in shape, in particular surface contour of the elastic optically active body 38 causes.

Das adaptive optische Element 30 ist durch das Verfahren 2 ohne Weiteres modellierbar. Dadurch, dass der optisch wirksame Körper 38 elastisch und verformbar ist, kann sein mechanischer Fehler auf einfache Weise eingestellt und/oder ausgeglichen werden. Hierzu wird beim dargestellten Ausführungsbeispiel zusätzliches Fluid in die Kammer 32 gepumpt oder Fluid aus der Kammer 32 entfernt. Hierdurch ändert sich auch die Oberflächenkontur des optisch wirksamen Körpers 32.The adaptive optical element 30 is through the process 2 readily modelable. Because of the optically effective body 38 is elastic and deformable, its mechanical error can be easily adjusted and / or compensated. For this purpose, in the illustrated embodiment, additional fluid in the chamber 32 pumped or fluid from the chamber 32 away. This also changes the surface contour of the optically active body 32 ,

Bei dem in 3 dargestellten Ausführungsbeispiel ist der optisch wirksame Körper 38 konvex gebildet. Beim Ausführungsbeispiel gemäß 4 konkav.At the in 3 illustrated embodiment is the optically active body 38 formed convex. According to the embodiment 4 concave.

Die Oberflächenkontur des optisch wirksamen Körpers lässt sich durch eine Formfunktion u(x, y) oder u(ρ, ϕ), insbesondere durch mindestens ein Zernike-Polynom darstellen und ist durch das erfindungsgemäße Verfahren nach 1 berechenbar.The surface contour of the optically active body can be represented by a shape function u (x, y) or u (ρ, φ), in particular by at least one Zernike polynomial, and is produced by the method according to the invention 1 predictable.

Die Dicke des optisch wirksamen Körpers 38 ist durch eine Beziehung t(ρ) beschreibbar. In den dargestellten Ausführungsbeispielen der 3 und 4 hat er jeweils eine radialsymetrische Dickeverteilung und ist vom Winkel φ abhängig. Die in der vorstehenden Beschreibung, in den Ansprüchen sowie in den Zeichnungen offenbarten Merkmale der Erfindung können sowohl einzeln aus auch in jeder beliebigen Kombination für die Verwirklichung der Erfindung in ihren verschiedenen Ausführungsformen wesentlich sein.The thickness of the optically active body 38 is describable by a relation t (ρ). In the illustrated embodiments of the 3 and 4 he has in each case a radial-symmetrical thickness distribution and is dependent on the angle φ. The features of the invention disclosed in the foregoing description, in the claims and in the drawings may be essential both individually and in any combination for the realization of the invention in its various embodiments.

Claims

Numerical method for modeling, optimizing, regulating and / or controlling, in particular approximating, physical quantities of an optical system with the steps a. Modeling at least one physical, in particular optical, size, in particular an optical wavefront, preferably by setting at least one partial differential equations, an operator Θ (∇), a projection function u (ρ, φ) and a source I (ρ, φ) or general Inhomogeneity includes

Θ (∇) u (ρ, φ) = I (ρ, φ)

b. Approximating the modeling of the physical quantity, in particular the at least one partial differential equation, by a Zernike approach formed by at least one Zernike polynomial

Z m / n (ρ, φ) = zm / n (ρ) α _m (φ)

c. Apply a method of weighted residuals, in particular the Galerkin method, to the modeling of the physical quantity, in particular of the at least one partial differential equation

d. Employing the Zernike approach in the modeling of the physical quantity, in particular the at least one partial differential equation, and / or discontinuing the series; e. optionally employing and / or applying at least one boundary condition in the modeling of the physical quantity, in particular the at least one partial differential equation; f. Solving the modeling of the physical quantity, in particular the at least one partial differential equation; characterized in that the modeling of the physical quantity, in particular the partial differential equation, additionally comprises at least one physical mechanical variable, such as temperature distribution, mechanical deformation, internal forces and / or stresses.

Numerical method according to claim 1, characterized in that the attachment function comprises at least one optical and / or at least one mechanical variable.

Numerical method according to claim 1 or 2, characterized in that the projection function comprises a spatial function u (x, y) which is approximated or approximated by a series of Zernike polynomials Z _i (x, y), the approximation u (x, y) can be represented as

Numerical method according to one or more of the preceding claims, characterized in that the spatial function comprises a deformation, in particular a surface contour, of an optically active body, in particular due to an influence of forces such as compressive forces, internal stresses and gravitational forces.

Numerical method according to one or more of the preceding claims, characterized in that the application of the method of weighted residuals comprises a selection of at least one linear factor or weight ζ which makes the residual at least minimal, in particular negligible.

Numerical method according to one or more of the preceding claims, characterized in that solving the modeling of the physical quantity, in particular of the at least one differential equation, applying the boundary conditions and transposed boundary conditions to the operator and / or extending a solution vector by Lagrangian multipliers and / or or a projection of the source or inhomogeneity into the function space of the Zernike polynomials.

<I ((ρ, φ), Z _j > = ∫ _Ω I (ρ, φ) Z _j dΩ

Numerical method according to one or more of the preceding claims, characterized in that a thickness distribution of the optically active body is parametrisierbar by

t (ρ, φ) ≈ t (ρ, φ) = Σ N / i = 1 α _i Z _i (ρ, φ)

Numerical method according to one or more of the preceding claims, characterized in that the operator is applicable to a plurality of source functions.

Numerical method according to one or more of the preceding claims, characterized in that the at least one physical variable comprises at least one optical aberration, such as aberration, coma and astigmatism.

Numerical method according to one or more of the preceding claims, characterized in that the operator comprises a mechanical operator, the source or inhomogeneity forces, temperature distribution, pressure, tensions or internal forces of a body and / or the approach function comprises a function to be calculated form function.

Numerical method according to one or more of the preceding claims, characterized in that the projection function comprises the Poission equation.

A numerical method according to one or more of the preceding claims, characterized in that said applying the boundary conditions comprises separation by equivalent integral transformation to obtain a weak form and / or extension of the system by Lagrangian multipliers.

Numerical method according to one or more of the preceding claims, characterized in that the simplification to a weak form, in particular separation of properties of the partial differential equations, such as Neumann boundary condition, and / or insertion of the weak form in the Zernike approach.

Numerical method according to one or more of the preceding claims, characterized in that the at least one Zernike polynomial is transformable or transformed in polar coordinates.

Adaptive optical element ( 30 ), which can be modeled, optimized, controlled or controlled, in particular by a numerical method according to one of claims 1 to 14, which has a chamber ( 32 ), at least one elastic optically active body ( 38 ) and one in the chamber ( 32 ) has pressurized fluid with which the elastic optically active body ( 38 ) is tensioned or tensioned, characterized in that it additionally comprises an adjustment device ( 42 ), with at least one physical properties of the fluid, such as mass, density, temperature, volume and / or pressure, is adjustable, wherein a change in the physical property of the fluid is a change in shape, in particular surface contour, of the elastic optically active body ( 38 ).

Adaptive optical element ( 30 ) according to claim 15, characterized in that the surface contour of the optically active body ( 38 ) is convex or concave and that the surface contour of the optically active body ( 38 ) can be represented by a shape function u (x, y) or u (ρ, φ), in particular by at least one Zernike polynomial.

Adaptive optical element ( 30 ) according to one of claims 15 or 16, characterized in that the elastic optically active body ( 38 ) has a radially symmetric or angle-dependent thickness distribution and that the thickness distribution of the optically active body ( 38 ) can be represented by t (φ) and / or t (ρ, φ), in particular by the function:

t (ρ, φ) ≈ t (ρ, φ) = Σ N / i = 1 α _i Z _i (ρ, φ)

Adaptive optical element ( 30 ) according to one of claims 15 to 17, characterized in that the elastic optically active body ( 38 ) has a circular or oval geometry.

Adaptive optical element ( 30 ) according to one of claims 15 to 18, characterized in that the optical element ( 30 ) comprises a transmission or reflection optics, in particular a mirror, a parallel lens, a zoom lens and / or hierachical fractals.

Adaptive optical element ( 30 ) according to one of claims 15 to 19, characterized in that the adjusting device ( 42 ) one with the chamber ( 32 ) connected pressure source, in particular pump ( 40 ).

Adaptive optical element ( 30 ) according to one of claims 15 to 20, characterized in that the adjusting device ( 42 ) comprises a heating and / or cooling element for adjusting the temperature of the fluid.

Adaptive optical element ( 30 ) according to one of claims 15 to 21, characterized in that the chamber ( 32 ) a parallel to the optically active body ( 38 ) wall ( 34 ), in which at least the optically active body ( 38 ) facing surface and having a glass substrate, and a transverse to the wall ( 34 ) carrying structure ( 36 ), which the optically effective body ( 38 ).

Method for adjusting an adaptive optical element ( 30 ), in particular according to one of claims 15 to 22, which has a chamber ( 32 ), at least one elastic optically active body ( 38 ) and one in the chamber ( 32 ) has pressurized fluid with which the elastic optically active body ( 38 ) is tensioned or stretched, characterized by the step a. Adjusting the surface contour of the elastic optically active body ( 38 by adjusting the mass, the density, the temperature, the volume and / or the pressure of the fluid through the adjusting device ( 42 );

A method according to claim 23, characterized in that for amplifying a convex surface contour additional fluid in the chamber ( 32 ) and that for enhancing a concave surface contour fluid from the chamber ( 32 ).