DE102010047457A1 - Modellierung von adaptiven Optiken - Google Patents

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Dipl.-Phys. Strohmeier Dirk
Prof. Dr. Korvink Jan Gerrit
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    • GPHYSICS
    • G06COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06FELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F30/00Computer-aided design [CAD]
    • G06F30/20Design optimisation, verification or simulation
    • GPHYSICS
    • G06COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06FELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
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    • G06F2111/10Numerical modelling

Abstract

Die Erfindung betrifft ein numerisches Verfahren zum Modellieren, Optimieren, Steuern und/oder Regeln, insbesondere Approxmieren, physikalischer Größen eines optischen Systems mit den Schritten a. Modellieren mindestens einer physikalischen, insbesondere optischen, Größe, insbesondere eine optische Wellenfront, bevorzugt durch Einstellen mindestens einer partiellen Differentialgleichungen, die einen Operator Θ(∇), eine Ansatzfunktion u(ρ, φ) und eine Quelle I(ρ, φ) oder allgemeine Inhomogenität umfasst Θ(∇)u(ρ, φ) = I(ρ, φ) b. Approximieren der Modellierung der physikalischen Größe, insbesondere der mindestens einen partiellen Differentialgleichung, durch einen durch mindestens ein Zernike-Polynom gebildeten Zernike-Ansatz Zmn (ρ, φ) = zmn (ρ)αm(φ) c. Anwenden einer Methode der gewichteten Residuen, insbesondere der Galerkin-Methode, auf die Modellierung der physikalischen Größe, insbesondere der mindestens einen partielle Differentialgleichungd. Einsetzen des Zernike-Ansatzes in die Modellierung der physikalischen Größe, insbesondere der mindestens einen partiellen Differentialgleichung, und/oder Abbrechen der Reihe; e. Ggf. Einsetzen und/oder Anwenden mindestens einer Randbedingungen in die Modellierung der physikalischen Größe, insbesondere der mindestens einen partiellen Differentialgleichung; f. Lösen der Modellierung der physikalischen Größe, insbesondere der mindestens einen partiellen Differentialgleichung. Es zeichnet sich dadurch aus, dass das Modellieren der physikalischen Größe, insbesondere die partielle Differentialgleichung, zusätzlich mindestens eine physikalische mechanische Größe, wie Temperaturverteilung, mechanische Verformung, innere Kräfte und/oder Spannungen umfasst.

Description

  • Die Erfindung betrifft ein adaptives optisches Element, ein Verfahren zum Einstellen des optischen Elements sowie numerisches Verfahren zum Modellieren, Optimieren, Regeln und/oder Steuern, insbesondere Approximieren, physikalischer Größen eines optischen Systems mit den Schritten
    • a. Modellieren mindestens einer physikalischen, insbesondere optischen, Größe, insbesondere eine optische Wellenfront, bevorzugt durch Einstellen mindestens einer partiellen Differentialgleichungen, die einen Operator Θ(∇), eine Ansatzfunktion u(ρ, ϕ) und eine Quelle I(ρ, ϕ) oder allgemeine Inhomogenität umfasst Z m / n(ρ, φ) = z m / n(ρ)αm(φ)
    • b. Approximieren der Modellierung der physikalischen Größe, insbesondere der mindestens einen partiellen Differentialgleichung, durch einen durch mindestens ein Zernike-Polynom gebildeten Zernike-Ansatz Z m / n(ρ, φ) = z m / n(ρ)αm(φ)
    • c. Anwenden einer Methode der gewichteten Residuen, insbesondere der Petrov-Galerkin-Methode, auf die Modellierung der physikalischen Größe, insbesondere der mindestens einen partielle Differentialgleichung
      Figure 00020001
    • d. Einsetzen des Zernike-Ansatzes in die Modellierung der physikalischen Größe, insbesondere der mindestens einen partiellen Differentialgleichung, und/oder Abbrechen der Reihe;
    • e. Ggf. Einsetzen und/oder Anwenden mindestens einer Randbedingungen in die Modellierung der physikalischen Größe, insbesondere der mindestens einen partiellen Differentialgleichung;
    • f. Lösen der Modellierung der physikalischen Größe, insbesondere der mindestens einen partiellen Differentialgleichung; Verfahren zur Modellierung von optischen Fehlern sind bekannt. Hierbei werden Fehler optischer Größen, beispielsweise Wellenfrontfehler, durch Zernike-Polynome beschrieben.
  • Zum Beschreiben von Fehlern, die von mechanischen Größen herrühren, beispielsweise Temperaturverteilung, mechanische Verformung, innere Kräfte und/oder Spannungen von Komponenten, wird auf allgemeine Methoden wie Finite Elemente oder Finite Differenzen zurückgegriffen. Das Zusammenführen beider Fehlerquellen, also der Fehler der optischen Größen und der mechanischen Größen erweist sich als umständlich und bedarf eine hohe Rechenzeit. Darüber hinaus ist zum Berechnen der bekannten Verfahren eine große Menge an Speicherkapazität zur Verfügung zu stellen.
  • Aufgabe der Erfindung ist es, ein numerisches Verfahren vorzuschlagen, das ein schnelleres und Ressourcen schonenderes Modellieren von physikalischen Größen eines optischen Systems ermöglicht.
  • Die Aufgabe wird bei einem erfindungsgemäßen numerischen Verfahren dadurch gelöst, dass das Modellieren der physikalischen Größe, insbesondere die partielle Differentialgleichung, mindestens eine physikalische mechanische Größe, wie Temperaturverteilung, mechanische Verformung, innere Kräfte und/oder Spannungen umfasst.
  • Hierdurch ist ermöglicht, dass Geometrien direkt in den Komponenten der optischen Fehler auflösbar sind, was eine schnelle und ressourcenschonende Lösung der partiellen Differentialgleichungen ermöglicht.
  • Die mindestens eine Differentialgleichung umfasst eine partielle Differentialgleichung, die in kartesischen, polaren, zylindrischen, sphärischen und anderen Koordinatensystemen ausdrückbar ist.
  • Die starke Vereinfachung der Bewegungsgleichungen für optische Systeme durch die mathematischen Eigenschaften der Zernike-Polynome führt zu einer Erhöhung der Effizienz der Lösungssuche bei einer gegebenen Problemstellung.
  • Grundsätzlich ist das Verfahren auf jede beliebige Geometrie anwendbar. Bevorzugt werden aber kreisscheibenförmige Geometrien. Solchenfalls sind keine weiteren Berechnungen, beispielsweise Umformungen, notwendig.
  • Grundsätzlich kann die Ansatzfunktion ausschließlich optische oder ausschließlich mechanische Größen umfassen. Es erweist sich als vorteilhaft, wenn die Ansatzfunktion mindestens eine optische und/oder mindestens eine mechanische Größe umfasst.
  • Die Ansatzfunktion kann eine beliebige mechanische Funktion umfassen. Es wird allerdings bevorzugt, wenn die Ansatzfunktion eine räumliche Funktion u(x, y) umfasst, die durch eine Reihe von Zernike-Polynomen Zi(x, y) approximierbar ist oder approximiert wird, wobei die Approximation u(x, y) darstellbar ist als
    Figure 00040001
  • Hierdurch ist beispielsweise die Form eines optischen Körpers modellierbar. Insbesondere sind hierdurch Temperaturverteilung, mechanische Verformung, innere Kräfte und innere Spannungen eines Körpers auf einfache Weise modellierbar.
  • Darüber hinaus erweist es sich als vorteilhaft, wenn die räumliche Funktion eine Verformung, insbesondere eine Oberflächenkontur, eines optisch wirksamen Körpers umfasst, insbesondere aufgrund eines Einflusses von Kräften, wie Druckkräften, innere Spannungen und Gravitationskräften. Hierdurch sind auch Veränderungen des Körpers erfasst und die Einsetzbarkeit des Verfahrens erweitert.
  • Die Berechnung der Lösung kann weiter vereinfacht werden, wenn das Anwenden der Methode der gewichteten Residuen eine Auswahl mindestens eines Linearfaktors bzw. Gewichts ζ umfasst, das das Residuum zumindest minimal, insbesondere vernachlässigbar macht.
  • Bei einer Weiterbildung des erfindungsgemäßen Verfahrens umfasst das Lösen der Modellierung der physikalischen Größe, insbesondere der mindestens einen Differentialgleichung, ein Ansetzen der Randbedingungen und transponierten Randbedingungen an den Operator und/oder ein Erweitern eines Lösungsvektors um Lagrangesche Multiplikatoren und/oder eine Projektion der Quelle oder Inhomogenität in den Funktionenraum der Zernike-Polynome. <I((ρ, φ), Zj> = ∫ΩI(ρ, φ)Zj
  • Es erweist sich ferner als vorteilhaft, wenn eine Dickenverteilung des optisch wirksamen Körpers parametrisierbar ist, insbesondere durch t(ρ, φ) ≈ t(ρ, φ) = Σ N / i=1αiZi(ρ, φ)
  • Die Dickeverteilung kann beliebig sein. Beispielsweise ist es denkbar, dass die Dickenverteilung radialsymmetrisch ist und solchenfalls t nur von ρ abhängt, wobei ϕ konstant ist. Allerdings ist es auch denkbar, dass t von ρ und ϕ abhängt. Solchenfalls liegt eine winkelabhängige Dickenverteilung vor.
  • Der Operator kann grundsätzlich für jede Berechnung eigens bestimmt werden. Allerdings erweist es sich als vorteilhaft, wenn der Operator auf mehrere Quellfunktionen anwendbar ist. Solchenfalls werden die zum Berechnen notwendigen Ressourcen weiter reduziert.
  • Grundsätzlich sind mit dem Verfahren mechanische Größen bestimmbar, insbesondere Temperaturverteilung, mechanische Verformung, innere Kräfte und Spannungen eines Körpers. Es erweist sich jedoch von Vorteil, wenn die mindestens eine physikalische Größe mindestens einen optischen Fehler, wie Aberration, Koma und Astigmatismus, umfasst. Solchenfalls sind mechanische und optische Fehler berechenbar. Dieses ermöglicht eine ganzheitliche Berechnung eines optischen Systems.
  • Bei einer Weiterbildung der Erfindung umfasst der Operator einen mechanischen Operator, die Inhomogenität einwirkende Kräfte Temperaturverteilung, Druck, Spannungen oder innere Kräfte eines Körpers und/oder die Ansatzfunktion eine zu berechnende Formfunktion. Darüber hinaus kann die Ansatzfunktion die Poission-Gleichung umfassen.
  • Die Zernike-Polynome sind auf dem Einheitskreis abbildbar. Daher sind auch ihre Ableitungen auf dem Einheitskreis abbildbar. Hierdurch ist es ermöglicht, dass bei einer Weiterbildung der Erfindung, das Anwenden der Randbedingungen ein Separieren durch äquivalente Integralumformung zur Erlangung einer Schwachen Form und/oder ein Erweitern des Systems durch Lagrangesche Multiplikatoren umfasst. Dabei erweist es sich als vorteilhaft, wenn das Vereinfachen auf eine schwache Form, insbesondere Separieren von Eigenschaften der partiellen Differentialgleichungen, wie Neumannsche Randbedingung, und/oder Einsetzen der schwachen Form in den Zernike-Ansatz umfasst.
  • Das mindestens eine Zernike-Polynom kann in Abhängigkeit von Raumkoordinaten gebildet sein. Es wird allerdings bevorzugt, wenn das mindestens eine Zernike-Polynom in Polarkoordinaten transformierbar ist oder transformiert wird.
  • Darüber hinaus wird die Aufgabe durch ein adaptives optisches Element gelöst, das insbesondere durch das vorgenannte numerischen Verfahren modellierbar, optimierbar, steuerbar oder regelbar ist, das eine Kammer, zumindest einen elastischen optisch wirksamen Körper und ein in der Kammer angeordnetes mit Druck beaufschlagtes Fluid aufweist, mit dem der elastische optisch wirksame Körper spannbar oder gespannt ist, wobei es zusätzlich eine Einstelleinrichtung aufweist, mit der mindestens eine physikalische Eigenschaften des Fluids, wie Masse, Dichte, Temperatur, Volumen und/oder der Druck, einstellbar ist, wobei eine Änderung der physikalischen Eigenschaft des Fluids eine Änderung der Form, insbesondere Oberflächenkontur, des elastischen optisch wirksamen Körpers induziert.
  • Das adaptive optische Element ist durch das Verfahren ohne Weiteres modellierbar. Dadurch, dass der optisch wirksame Körper elastisch und verformbar ist, kann sein mechanischer Fehler auf einfache Weise eingestellt und/oder ausgeglichen werden.
  • Das Fluid kann grundsätzlich ein Gas oder eine Flüssigkeit umfassen.
  • Der optisch wirksame Körper kann eine beliebige Form umfassen. Bevorzugt werden Formen des Körpers, die durch konforme Abbildungen ohne weiteres in Polarkoordinaten umwandelbar und berechenbar sind. Es erweist sich jedoch als besonders einfach zu modellieren, wenn der elastische optisch wirksame Körper eine zirkulare oder ovale Geometrie aufweist.
  • Darüber hinaus wird es bevorzugt, wenn die Form, insbesondere die Oberflächenkontur, des optisch wirksamen Körpers konvex oder konkav ist und dass die Oberflächenkontur des optisch wirksamen Körpers durch eine Formfunktion u(x, y) oder u(ρ, ϕ), insbesondere durch mindestens ein Zernike-Polynom darstellbar ist.
  • In Weiterbildung, letztgenannten Erfindungsgedankens erweist es sich als vorteilhaft, wenn der elastische optisch wirksame Körper eine radialsymmetrische oder eine winkelabhängige Dickenverteilung aufweist und dass die Dickenverteilung des optisch wirksamen Körpers durch t(ϕ) und/oder t(ρ, ϕ) darstellbar ist, insbesondere durch die Funktion: t(ρ, φ) ≈ t(ρ, φ) = Σ N / i=1 αiZi(ρ, φ)
  • Ferner erweist es sich als vorteilhaft, wenn das optische Element eine Transmissions- oder Reflektionsoptik, insbesondere einen Spiegel, eine Paralleloptik, eine Zoomlinse, hierachische Fraktale und/oder Kombinationen hieraus umfasst.
  • Die Einstelleinrichtung kann mehrere einzelne Komponenten umfassen, die die physikalischen Eigenschaften des Fluids beeinflussen können. Bevorzugt wird eine Einstelleinrichtung, die eine mit der Kammer verbundene Druckquelle, insbesondere Pumpe, umfasst. Solchenfalls kann der optisch wirksame Körper auf einfache Weise durch Hinzuführen oder durch Abführen von Fluid eingestellt werden.
  • Darüber hinaus wird eine Einstelleinrichtung bevorzugt, die ein Heiz- und/oder Kühlelement zum Einstellen der Temperatur des Fluids umfasst.
  • Weiter umfasst die Kammer bei einer Weiterbildung der Erfindung eine parallel zum optisch wirksamen Körper angeordnete Wand, bei der zumindest die dem optisch wirksamen Körper zugewandte Oberfläche plan ist und ein Glas Substrat aufweist, und eine quer zur Wand verlaufende Tragestruktur, die den optisch wirksamen Körper stützt.
  • Die Aufgabe wird ferner durch ein Verfahren zum Einstellen eines erfindungsgemäßen adaptiven optischen Elements gelöst, das eine Kammer, zumindest einen elastischen optisch wirksamen Körper und ein in der Kammer angeordnetes mit Druck beaufschlagtes Fluid aufweist, mit dem der elastische optisch wirksame Körper spannbar oder gespannt ist, mit dem Schritt eines Einstellens der Oberflächenkontur des elastischen optisch wirksamen Körpers durch Einstellen der Masse, der Dichte, der Temperatur, des Volumen und/oder des Drucks des Fluids durch die Einstelleinrichtung;
  • Es erweist sich schließlich als vorteilhaft, wenn zum Verstärken einer konvexen Oberflächenkontur zusätzliches Fluid in die Kammer gefördert wird und wenn zum Verstärken einer konkaven Oberflächenkontur Fluid aus der Kammer gefördert wird.
  • Das erfindungsgemäße numerische Verfahren, das adaptierbare optische Element und das Verfahren zum Einstellen des adaptierbaren optischen Elements erweisen sich in vielfacher Hinsicht als vorteilhaft.
  • Das numerische Verfahren eignet sich, nach einmaligem Aufstellen, für alle verformbaren optischen Komponenten (Spiegel, Linsen, und Kombinationen derer) und Systeme. Durch das Abbilden optischer und mechanischer Fehler, ist das optische System ganzheitlich modellierbar.
  • Darüber hinaus wird die Modellierung dieser Komponenten und Systeme, insbesondere die partiellen Differentialgleichung, durch die mathematischen Eigenschaften der Zernike-Polynome vereinfacht und die Effizienz der Lösungssuche erhöht.
  • Durch die Abbildung der Zernike-Polynome auf dem Einheitskreis, ist die Möglichkeit einer schwachen Form der Approximation ermöglicht, wodurch das Verfahren weiter vereinfacht ist.
  • Ferner sind die mechanischen Eigenschaften der oben genannten Komponenten und Systeme mit ihren optischen Eigenschaften durch Verwendung derselben Funktionenbasis darstellbar.
  • Weitere Merkmale, Einzelheiten und Vorteile der Erfindung ergeben sich aus den beigefügten Patentansprüchen und der zeichnerischen Darstellung und nachfolgender Beschreibung von Ausführungsformen der Erfindung.
  • In der Zeichnung zeigt:
  • 1 eine schematische Darstellung des erfindungsgemäßen numerischen Verfahrens;
  • 2 eine schematische Darstellung des zu lösenden Gleichungssystems eines Verfahrens gemäß 1;
  • 3 eine schematische Schnittansicht eines ersten Ausführungsbeispiels eines erfindungsgemäßen adaptiven optischen Elements;
  • 4 eine schematische Schnittansicht eines zweiten Ausführungsbeispiels des erfindungsgemäßen adaptiven optischen Elements.
  • 1 zeigt eine schematische Darstellung eines insgesamt mit dem Bezugszeichen 2 versehenen erfindungsgemäßen numerischen Verfahrens. Das Verfahren 2 ist dafür geeignet, physikalische Größen eines adaptiven optisches Elements (in 1 nicht dargestellt) zu modellieren, insbesondere zu approximieren.
  • Im Folgenden werden die einzelnen Verfahrensschritte des numerischen Verfahrens erläutert. In einem ersten Verfahrensschritt 4 wird mindestens eine physikalische Größe durch eine Diffenrentialgleichung in der Form: Θ(∇)u(ρ, φ) = I(ρ, φ) modelliert. Hierbei bilden Θ(∇) einen Operator, u(ρ, ϕ) eine Ansatzfunktion und I(ρ, ϕ) eine Quelle oder allgemeine Inhomogenität ab. Die physikalische Größe stellt dabei insbesondere einen optischen Fehler, insbesondere einen Wellenfrontfehler, dar. Die Differentialgleichung umfasst eine partielle Differentialgleichung, die in kartesischen, polaren, zylindrischen, sphärischen und anderen Koordinatensystemen ausdrückbar ist.
  • In einem nachfolgenden Schritt 6 wird die Modellierung der physikalischen Größe, insbesondere die mindestens eine partielle Differentialgleichung, durch einen durch mindestens ein Zernike-Polynom gebildeten Zernike-Ansatz approximiert: Z m / n(ρ, φ) = z m / n(ρ)αm(φ)
  • Hierbei bestimmen die Indizes n und m die Gestalt der Polynome. Zernike-Funktionen sind Polynome der Raumkoordinaten auf dem Einheitskreis ρ und φ, und daher sind ihre Ableitungen ebenfalls Polynome. Zernike-Polynome in Polarkoordiatendarstellung lassen sich in einen radialen Anteil (ρ Abhängigkeit) und einen winkelabhängigen Anteil (φ Abhängigkeit) aufspalten. Der radiale Anteil lässt sich berechnen durch:
    Figure 00110001
  • Der winkelabhängige Anteil entspricht der Sinus bzw. der Cosinus Funktion, wobei m die Frequenz und den Typ dieser Funktion festlegt: αm(φ) = sin(mφ) m ≥ 0 cos(mφ) m ≤ 0
  • Für den radialen Anteil gelten die nachfolgenden drei Rekursionsvorschriften:
    Figure 00110002
  • In der oben gewählten Darstellung werden zwei Indizes n und m verwendet. Die Darstellung lässt sich jedoch weiter vereinfachen, indem ein vereinheitlichter Index j verwendet wird. Dieser lässt sich mit Hilfe von:
    Figure 00120001
    eindeutig abbilden. Die Darstellung des mindestens einen Zernike-Polynoms des Zernike-Ansatzes vereinfacht sich solchenfalls auf: Zi(ρ, φ) = zi(ρ)αi(φ)
  • Diese Form wird nun in die Ansatzfunktion der partiellen Differentialgleichung eingesetzt. Um die partielle Differentialgleichung weiter zu vereinfachen, wird diese gewichtet. Hierzu wird eine Gewichtsfunktion Ψ(ρ, φ) eingeführt. Die partielle Differentialgleichung stellst sich solchelfalls, unter Verwendung der Zernike-Polynome, wie folgt dar:
    Figure 00120002
  • Schritt 6, bei dem eine Methode der gewichteten Residuen angewendet wird, wird auch Petrov-Galerkin-Methode genannt.
  • In einem nachfolgenden Schritt 8 wird der Zernike-Ansatz in die Modellierung der physikalischen Größe, insbesondere der mindestens einen partiellen Differentialgleichung, eingesetzt und die Reihenentwicklung abgebrochen. Dieses führt zu einem kompakten Gleichungssystem.
  • Schritt 6 nach- und Schritt 8 vorgeschaltet kann ggf. in einem Schritt 10 geprüft werden, ob eine schwache Form vorliegt. Diese wird erzielt durch Anwenden partieller Ableitungen und/oder Greenscher Integralsätzen auf die gewichtete Form der partiellen Differentialgleichung. Hierdurch wird die Form weiter vereinfacht, wodurch sich Eigenschaften wie die Neumanschen Randbedingungen in der Gleichung heraus separieren lassen.
  • Darüber hinaus wird ggf. in einem Schritt 12 geprüft, ob eine Quelle vorhanden ist. Solchenfalls wird die Quellfunktion in einem Schritt 14 in den Zernike-Raum projiziert: <I((ρ, φ), Zj> = ∫ΩI(ρ, φ)Zj
  • Hieran anschließend wird in einem Schritt 16 mindestens eine Randbedingungen in die Modellierung der physikalischen Größe, insbesondere der mindestens einen partiellen Differentialgleichung eingesetzt oder angewendet. Diese Randbedingungen werden durch die schwache Form aus Schritt 10 oder aus der Quellfunktion nach Schritt 14 erhalten.
  • Das Einsetzen der Randbedingungen wird hier auf zwei verschiedenen Arten ermöglicht. Entweder durch Ausseperation durch äquivalente Integralumformung wie unter Schritt 10 zur Erlangungen der schwachen Form oder durch eine Erweiterung des Systems mit Hilfe von Lagrangeschen Multiplikatoren.
  • In einem letzten Schritt 18 wird die mindestens eine partielle Differentialgleich gelöst. 2 zeigt hierzu einen schematischen Aufbau des zu lösenden Gleichungssystems. Das Schema ist in 3 Gruppen unterteilt.
  • Die erste Gruppe umfasst den Operator 20 mit einer Dimension N × N. An diesen werden M Randbedingungen 22 und deren transponierte Randbedingung 22' angesetzt. Damit die resultierende Matrix eine quadratische Matrix ergibt, wird die entstehende Lücke mit einer Quadratischen Nullmatrix 24 der Größe M × M aufgefüllt.
  • Die zweite Gruppe bildet ein gesuchter Lösungsvektor 26 mit ζ = {ζ1, ζ2, ..., ζi, ..., ζN} der um die Lagrangeschen Multiplikatoren erweitert wird. Diese geben in der Lösung die zum Randwert notwendigen Scheinquellen an. In der Mechanik geben diese oft Zwangskräfte an die dafür sorgen dass ein Körper sich auf seiner dem Problem angepassten Trajektorie durch den Phasenraum bewegt. Für die Lösung des Gleichungssystems sind aber in erster Linie die Lösungen für ζ wichtig.
  • Die dritte Gruppe bildet ein Koeffizientenvektor 28, der N Koeffizienten aus der Projektion der Inhomogenität I(ρ, φ) in den Funktionenraum der Zernike-Polynome gebildet ist. Dieser wird um M Einträge mit dem Wert 0 erweitert.
  • Die Lösung dieses Gleichungssystems ist mit Hilfe einer mathematischen Umgebung wie Mathematica, Matlab, u. s. w. schnell berechenbar. Schnell heißt hier wenige ms.
  • 3 zeigt ein erstes Ausführungsbeispiel eines insgesamt mit dem Bezugszeichen 30 versehenen adaptiven optischen Elements. Das adaptive optische Element 30 ist durch das vorgenannte numerische Verfahren 2 modellierbar. Es umfasst eine Kammer 32, die eine Wand 34 und eine quer zur Wand 34 verlaufende Tragestruktur 36 aufweist.
  • Parallel zur Wand 34 wird die Kammer 32 durch einen optisch wirksamen Körper 38 nach Außen abgeschlossen. Der optisch wirksame Körper 38 umfasst eine Membran und ist parallel zur Wand 34 angeordnet. Die dem optisch wirksamen Körper 38 zugewandte Oberfläche des Wand 34 ist plan und umfasst ein Glas-Substrat. Der optisch wirksame Körper 38 wird durch die quer zur Wand 34 verlaufende Tragestruktur 36 gestützt.
  • In der Kammer 32 ist ein mit Druck beaufschlagtes Fluid angeordnet, mit dem der elastische optisch wirksame Körper 38 spannbar oder gespannt ist. Hierzu ist eine, im dargestellten Ausfürhungsbeispiel als Pumpe 40 realisierte Einstelleinrichtung 42 vorgesehen, mit der mindestens eine physikalische Eigenschaften des Fluids, wie Masse, Dichte, Temperatur, Volumen und/oder der Druck, einstellbar ist, wobei eine Änderung der physikalischen Eigenschaft des Fluids eine Änderung der Form, insbesondere Oberflächenkontur, des elastischen optisch wirksamen Körpers 38 bewirkt.
  • Das adaptive optische Element 30 ist durch das Verfahren 2 ohne Weiteres modellierbar. Dadurch, dass der optisch wirksame Körper 38 elastisch und verformbar ist, kann sein mechanischer Fehler auf einfache Weise eingestellt und/oder ausgeglichen werden. Hierzu wird beim dargestellten Ausführungsbeispiel zusätzliches Fluid in die Kammer 32 gepumpt oder Fluid aus der Kammer 32 entfernt. Hierdurch ändert sich auch die Oberflächenkontur des optisch wirksamen Körpers 32.
  • Bei dem in 3 dargestellten Ausführungsbeispiel ist der optisch wirksame Körper 38 konvex gebildet. Beim Ausführungsbeispiel gemäß 4 konkav.
  • Die Oberflächenkontur des optisch wirksamen Körpers lässt sich durch eine Formfunktion u(x, y) oder u(ρ, ϕ), insbesondere durch mindestens ein Zernike-Polynom darstellen und ist durch das erfindungsgemäße Verfahren nach 1 berechenbar.
  • Die Dicke des optisch wirksamen Körpers 38 ist durch eine Beziehung t(ρ) beschreibbar. In den dargestellten Ausführungsbeispielen der 3 und 4 hat er jeweils eine radialsymetrische Dickeverteilung und ist vom Winkel φ abhängig. Die in der vorstehenden Beschreibung, in den Ansprüchen sowie in den Zeichnungen offenbarten Merkmale der Erfindung können sowohl einzeln aus auch in jeder beliebigen Kombination für die Verwirklichung der Erfindung in ihren verschiedenen Ausführungsformen wesentlich sein.

Claims (24)

  1. Numerisches Verfahren zum Modellieren, Optimieren, Regeln und/oder Steuern, insbesondere Approximieren, physikalischer Größen eines optischen Systems mit den Schritten a. Modellieren mindestens einer physikalischen, insbesondere optischen, Größe, insbesondere eine optische Wellenfront, bevorzugt durch Einstellen mindestens einer partiellen Differentialgleichungen, die einen Operator Θ(∇), eine Ansatzfunktion u(ρ, ϕ) und eine Quelle I(ρ, ϕ) oder allgemeine Inhomogenität umfasst Θ(∇)u(ρ, φ) = I(ρ, φ) b. Approximieren der Modellierung der physikalischen Größe, insbesondere der mindestens einen partiellen Differentialgleichung, durch einen durch mindestens ein Zernike-Polynom gebildeten Zernike-Ansatz Z m / n(ρ, φ) = z m / n(ρ)αm(φ) c. Anwenden einer Methode der gewichteten Residuen, insbesondere der Galerkin-Methode, auf die Modellierung der physikalischen Größe, insbesondere der mindestens einen partielle Differentialgleichung
    Figure 00180001
    d. Einsetzen des Zernike-Ansatzes in die Modellierung der physikalischen Größe, insbesondere der mindestens einen partiellen Differentialgleichung, und/oder Abbrechen der Reihe; e. ggf. Einsetzen und/oder Anwenden mindestens einer Randbedingungen in die Modellierung der physikalischen Größe, insbesondere der mindestens einen partiellen Differentialgleichung; f. Lösen der Modellierung der physikalischen Größe, insbesondere der mindestens eine partiellen Differentialgleichung; dadurch gekennzeichnet, dass das Modellieren der physikalischen Größe, insbesondere die partielle Differentialgleichung, zusätzlich mindestens eine physikalische mechanische Größe, wie Temperaturverteilung, mechanische Verformung, innere Kräfte und/oder Spannungen umfasst.
  2. Numerisches Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass die Ansatzfunktion mindestens eine optische und/oder mindestens eine mechanische Größe umfasst.
  3. Numerisches Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, dass die Ansatzfunktion eine räumliche Funktion u(x, y) umfasst, die durch eine Reihe von Zernike-Polynomen Zi(x, y) approximierbar ist oder approximiert wird, wobei die Approximation u(x, y) darstellbar ist als
    Figure 00190001
  4. Numerisches Verfahren nach einem oder mehreren der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, das die räumliche Funktion eine Verformung, insbesondere eine Oberflächenkontur, eines optisch wirksamen Körpers umfasst, insbesondere aufgrund eines Einflusses von Kräften, wie Druckkräften, inneren Spannungen und Gravitationskräften.
  5. Numerisches Verfahren nach einem oder mehreren der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass das Anwenden der Methode der gewichteten Residuen eine Auswahl mindestens eines Linearfaktors bzw. Gewichts ζ umfasst, die das Residuum zumindest minimal, insbesondere vernachlässigbar macht.
  6. Numerisches Verfahren nach einem oder mehreren der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass das Lösen der Modellierung der physikalischen Größe, insbesondere der mindestens einen Differentialgleichung, ein Ansetzen der Randbedingungen und transponierten Randbedingungen an den Operator und/oder ein Erweitern eines Lösungsvektors um Lagrangesche Multiplikatoren und/oder eine Projektion der Quelle oder Inhomogenität in den Funktionenraum der Zernike-Polynome umfasst. <I((ρ, φ), Zj> = ∫ΩI(ρ, φ)Zj
  7. Numerisches Verfahren nach einem oder mehreren der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass eine Dickenverteilung des optisch wirksamen Körpers parametrisierbar ist, durch t(ρ, φ) ≈ t(ρ, φ) = Σ N / i=1 αiZi(ρ, φ)
  8. Numerisches Verfahren nach einem oder mehreren der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass der Operator auf mehrere Quellfunktionen anwendbar ist.
  9. Numerisches Verfahren nach einem oder mehreren der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass die mindestens eine physikalische Größe mindestens einen optischen Fehler, wie Aberration, Koma und Astigmatismus, umfasst.
  10. Numerisches Verfahren nach einem oder mehreren der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass der Operator einen mechanischen Operator, die Quelle oder Inhomogenität einwirkenden Kräfte, Temperaturverteilung, Druck, Spannungen oder innere Kräfte eines Körpers und/oder die Ansatzfunktion eine zu berechnende Formfunktion umfasst.
  11. Numerisches Verfahren nach einem oder mehreren der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass die Ansatzfunktion die Poission-Gleichung umfasst.
  12. Numerisches Verfahren nach einem oder mehreren der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass das Anwenden der Randbedingungen ein Separieren durch äquivalente Integralumformung zur Erlangung einer Schwachen Form und/oder ein Erweitern des Systems durch Lagrangesche Multiplikatoren umfasst.
  13. Numerisches Verfahren nach einem oder mehreren der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass das Vereinfachen auf eine schwache Form, insbesondere Separieren von Eigenschaften der partiellen Differentialgleichungen, wie Neumannsche Randbedingung, und/oder Einsetzen der schwachen Form in den Zernike-Ansatz umfasst.
  14. Numerisches Verfahren nach einem oder mehreren der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass das mindestens eine Zernike-Polynom in Polarkoordinaten transformierbar oder transformiert ist.
  15. Adaptives optisches Element (30), das insbesondere mit einem numerischen Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 14 modellierbar, optimierbar, regel- oder steuerbar ist, das eine Kammer (32), zumindest einen elastischen optisch wirksamen Körper (38) und ein in der Kammer (32) angeordnetes mit Druck beaufschlagtes Fluid aufweist, mit dem der elastische optisch wirksame Körper (38) spannbar oder gespannt ist, dadurch gekennzeichnet, dass es zusätzlich eine Einstelleinrichtung (42) aufweist, mit der mindestens eine physikalische Eigenschaften des Fluids, wie Masse, Dichte, Temperatur, Volumen und/oder der Druck, einstellbar ist, wobei eine Änderung der physikalischen Eigenschaft des Fluids eine Änderung der Form, insbesondere Oberflächenkontur, des elastischen optisch wirksamen Körpers (38) induziert.
  16. Adaptives optisches Element (30) nach Anspruch 15, dadurch gekennzeichnet, dass die Oberflächenkontur des optisch wirksamen Körpers (38) konvex oder konkav ist und dass die Oberflächenkontur des optisch wirksamen Körpers (38) durch eine Formfunktion u(x, y) oder u(ρ, ϕ), insbesondere durch mindestens ein Zernike-Polynom darstellbar ist.
  17. Adaptives optisches Element (30) nach einem der Ansprüche 15 oder 16, dadurch gekennzeichnet, dass der elastische optisch wirksame Körper (38) eine radialsymmetrische oder eine winkelabhängige Dickenverteilung aufweist und dass die Dickenverteilung des optisch wirksamen Körpers (38) durch t(ϕ) und/oder t(ρ, ϕ) darstellbar ist, insbesondere durch die Funktion: t(ρ, φ) ≈ t(ρ, φ) = Σ N / i=1 αiZi(ρ, φ)
  18. Adaptives optisches Element (30) nach einem der Ansprüche 15 bis 17, dadurch gekennzeichnet, dass der elastische optisch wirksame Körper (38) eine zirkulare oder ovale Geometrie aufweist.
  19. Adaptives optisches Element (30) nach einem der Ansprüche 15 bis 18, dadurch gekennzeichnet, dass das optische Element (30) eine Transmissions- oder Reflektionsoptik, insbesondere einen Spiegel, eine Paralleloptik, eine Zoomlinse und/oder hierachische Fraktale umfasst.
  20. Adaptives optisches Element (30) nach einem der Ansprüche 15 bis 19, dadurch gekennzeichnet, dass die Einstelleinrichtung (42) eine mit der Kammer (32) verbundene Druckquelle, insbesondere Pumpe (40), umfasst.
  21. Adaptives optisches Element (30) nach einem der Ansprüche 15 bis 20, dadurch gekennzeichnet, dass die Einstelleinrichtung (42) ein Heiz- und/oder Kühlelement zum Einstellen der Temperatur des Fluids umfasst.
  22. Adaptives optisches Element (30) nach einem der Ansprüche 15 bis 21, dadurch gekennzeichnet, dass die Kammer (32) eine parallel zum optisch wirksamen Körper (38) angeordnete Wand (34), bei der zumindest die dem optisch wirksamen Körper (38) zugewandte Oberfläche plan ist und ein Glas Substrat aufweist, und eine quer zur Wand (34) verlaufende Tragestruktur (36), die den optisch wirksamen Körper (38) stützt, umfasst.
  23. Verfahren zum Einstellen eines adaptiven optischen Elements (30), insbesondere nach einem der Ansprüche 15 bis 22, das eine Kammer (32), zumindest einen elastischen optisch wirksamen Körper (38) und ein in der Kammer (32) angeordnetes mit Druck beaufschlagtes Fluid aufweist, mit dem der elastische optisch wirksame Körper (38) spannbar oder gespannt ist, gekennzeichnet durch den Schritt a. Einstellen der Oberflächenkontur des elastischen optisch wirksamen Körpers (38) durch Einstellen der Masse, der Dichte, der Temperatur, des Volumen und/oder des Drucks des Fluids durch die Einstelleinrichtung (42);
  24. Verfahren nach Anspruch 23, dadurch gekennzeichnet, dass zum Verstärken einer konvexen Oberflächenkontur zusätzliches Fluid in die Kammer (32) gefördert wird und dass zum Verstärken einer konkaven Oberflächenkontur Fluid aus der Kammer (32) gefördert wird.
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